Исследование однопродуктовой макромодели

<

011514 0340 1 Исследование однопродуктовой макромодели 1. Общие понятия эконометрических моделей.

 

При анализе экономических явлений на основе экономико-математических методов особое место занимают модели, выявляющие количественные связи между изучаемыми показателями и влияющими на них факторами. Научной дисциплиной, предмет которой составляет изучение этой количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа, является эконометрика, в которой результаты теоретического анализа экономики синтезируются с выводами математики и статистики. Основная задача эконометрии — проверка экономических теорий на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов магматической статистики.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, т.е. экономико-математическая модель факторного анализа, параметры которой оцениваются средствами математической статистики. Эта модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Эконометрические модели можно классифицировать по ряду классификационных признаков. Так, по аналитической форме модели (уравнения) выделяют линейные, нелинейные, степенные модели, Брандона и др.

Одной из основных классификационных рубрик эконометрических моделей является классификация по направлению и сложности причинных связей между показателями, характеризующими экономическую систему. Если пользоваться термином «переменная», то в любой достаточно сложной экономической системе можно выделить внутренние переменные (например, выпуск продукции, численность работников, производительность труда) и внешние переменные (например, поставка ресурсов, климатические условия и др.). Тогда по направлению и сложности связей между внутренними (эндогенными, выходными), переменными и внешними (экзогенными, входными) переменными выделяют следующие эконометрические модели: регрессионные модели, взаимозависимые системы, рекурсивные системы.

Процесс построения и использования эконометрических моделей является достаточно сложным и включает в себя следующие основные этапы: определение цели исследования, построение системы показателей и логический отбор факторов, наиболее влияющих на каждый показатель; выбор формы связи изучаемых показателей между собой и отобранными факторами, другими словами, выбор типа эконометрической модели; сбор исходных данных и анализ информации; построение эконометрической модели, т.е. определение ее параметров; проверка качества построенной модели, в первую очередь ее адекватности изучаемому экономическому процессу, использование модели для экономического анализа и прогнозирования.

При практической реализации указанных этапов очень важным является построение системы показателей исследуемого экономического процесса и определение перечня факторов, влияющих на каждый показатель.

  1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.

     

    Экономика – сложная иерархическая динамическая система. В зависимости от цели исследования ее представляют в различных разрезах. Так, на верхнем уровне иерархии экономику рассматривают как систему общественного производства, распределения, обмена и потребления. Такое разбиение удобно для исследования общественных отношений, складывающихся в процессе производства.

    Это описание служит основой политэкономического способа соединения факторов производства: средств производства, рабочей силы – и определяет непосредственное положение производителя в общественном производстве.

    В процессе труда люди воздействуют друг на друга, соединяясь определенным образом для совместной деятельности. Отношение людей в производстве определяет социальную структуру общества и распределение результатов. Общественный способ соединения работников и средств труда характеризует тип производственных отношений.

    Исследование взаимосвязей элементов производства вне общественной формы приводит к рассмотрению производственно-технологической интерпретации экономики.

    Выделим факторы, характеризующие производство: труд (L), средства труда (основные производственные фонды) (K) и предметы труда (W). Последние включают, с одной стороны, элементы природы, или природные ресурсы (W), и предметы труда (011514 0340 2 Исследование однопродуктовой макромодели), возвращенные в производство как часть совокупного общественного продукта.

    Результатом производственной деятельности является валовой продукт (Х), распределяемый на производственное потребление (W), и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится на валовые капитальные вложения (I) и непроизводственное потребление (С). Валовые капитальные вложения (I) делятся на амортизационные отчисления (А) и чистые капитальные вложения, идущие на расширение производственных фондов.

    Механизм воздействия чистых капитальных вложений на основные производственные фонды (ОПФ) сложен и при моделировании связан с определенными трудностями. Он составляет предмет самостоятельных экономико-математических исследований.

    Представляет интерес изучение взаимосвязей между синтетическими показателями верхнего уровня экономической иерархии. Одним из подходов к решению данной проблемы является построение однопродуктовой макроэкономической модели.

    Однопродуктовые макроэкономические модели – это модели, изучающие свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических показателей, таких, как валовой продукт, конечный продукт, трудовые ресурсы, производственные фонды, капитальные вложения, потребление и т.д. Так на макроуровне взаимосвязь между валовым продуктом X, производственным потреблением W и конечным продуктом Y имеет вид:

    X=W+Y. (1)

    Конечны продукт в свою очередь делится на две составляющие: валовые капитальные вложения I и непроизводственное потребление C, т.е.

    Y=I+C. (2)

    Капитальные вложения составляют материальную основу наращивания и перевооружения производственного аппарата и являются средством повышения уровня благосостояния населения.

    За счет капитальных вложений осуществляется ввод в действие основных производственных фондов. Однако формализация взаимосвязи «капитальные вложения – ввод в действие основных производственных фондов» сопряжена с определенными трудностями. Оной из которых является учет распределенного запаздывания прироста основных фондов от капитальных вложений. В экономико-математическом моделировании существует ряд подходов к описанию этой взаимосвязи.

    В простейшей однопродуктовой модели делают предположение, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов в том же году и на амортизационные отчисления:

    а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

    011514 0340 3 Исследование однопродуктовой макромодели (3)

    где 011514 0340 4 Исследование однопродуктовой макромодели – прирост основных производственных фондов в году t; q – параметр модели; 011514 0340 5 Исследование однопродуктовой макромодели– амортизационные отчисления; 011514 0340 6 Исследование однопродуктовой макромодели – коэффициент амортизации; 011514 0340 7 Исследование однопродуктовой макромодели– основные производственные фонды в году t.

    б) аналогом этого уравнения в непрерывном варианте является

    011514 0340 8 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда можно получить уравнение движения фондов:

    011514 0340 9 Исследование однопродуктовой макромодели

    Объединяя уравнения (1) – (3), получим однопродуктовую динамическую макромодель в дискретном варианте:

    011514 0340 10 Исследование однопродуктовой макромодели

    Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции Х, т.е.

    W=аX,

    То дискретная однопродуктовая динамическая модель примет вид

    011514 0340 11 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    011514 0340 12 Исследование однопродуктовой макромодели

    а в непрерывном варианте – соответственно

    011514 0340 13 Исследование однопродуктовой макромодели.

  2. Постановка задачи оптимального управления, решение задачи, оптимальная траектория.

     

    В данном параграфе рассматривается общая постановка задачи, к которой приводят проблемы, возникающие при оптимизации экономических систем в частности. Будем считать, что имеется система, состояние которой может измениться под воздействием некоторого количества управляющих воздействий. Задавая тем или иным способом эти воздействия, мы получим определенный процесс изменения состояния системы. Первая задача, которая возникает при управлении системой, – выбор таких воздействий на систему, чтобы происходящий процесс удовлетворял заданным условиям. Подобные процессы принято называть допустимыми.

    Решение этой задачи неоднозначно. Допустимые процессы в системе образуют множество. Тогда возникает следующая задача – выбор из этого множества процесса, который является в некотором смысле наилучшим Другими словами, это задача выбора оптимального процесса.

    Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью математических методов, нужно, прежде всего, сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы и их математические модели. Далее требуется дать математическое выражение понятию «наилучший» – свойству, которым должен обладать искомый процесс. Наконец, необходимо с помощью математических средств уметь отразить те ограничения, которые накладываются на состояние системы и управления.

    Введем некоторые понятия и обозначения, которые
    будут использованы в дальнейшем. Рассмотрим множество М с элементами 011514 0340 14 Исследование однопродуктовой макромодели, причем элементы можно представить как пары следующего вида:

    011514 0340 15 Исследование однопродуктовой макромодели

    где 011514 0340 16 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 17 Исследование однопродуктовой макромодели, а X, Y – некоторые заданные множества. Проекцией множества М на множество X назовем подмножество 011514 0340 18 Исследование однопродуктовой макромодели
    обладающее тем свойством, что для каждого 011514 0340 19 Исследование однопродуктовой макромодели
    существует такой элемент 011514 0340 20 Исследование однопродуктовой макромодели, что пара 011514 0340 21 Исследование однопродуктовой макромодели содержится в множестве М.

    Пусть множества X и У
    соответственно оси абсцисс и ординат. Множество всех пар 011514 0340 22 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 23 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 24 Исследование однопродуктовой макромодели, – точки координат плоскости. Множество М является его некоторым подмножеством. Точка 011514 0340 25 Исследование однопродуктовой макромодели принадлежит проекции 011514 0340 26 Исследование однопродуктовой макромодели, так как найдется такая точка (например, 011514 0340 27 Исследование однопродуктовой макромодели), что 011514 0340 28 Исследование однопродуктовой макромодели. Точка 011514 0340 29 Исследование однопродуктовой макромодели
    таким свойством не обладает, так как не существует ни одной точки 011514 0340 30 Исследование однопродуктовой макромодели такой, что пара 011514 0340 31 Исследование однопродуктовой макромодели принадлежит множеству М. Следовательно, 011514 0340 32 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Введем понятие сечения 011514 0340 33 Исследование однопродуктовой макромодели
    множества М при данном х. Сечением 011514 0340 34 Исследование однопродуктовой макромодели
    будем называть множество всех у, при которых пара 011514 0340 35 Исследование однопродуктовой макромодели принадлежит множеству М.

    Введем понятие функционала. Будем говорить, что на множестве М задан функционал F, если известно правило, которое каждому элементу 011514 0340 36 Исследование однопродуктовой макромоделиставит в соответствие определенное действительное число 011514 0340 37 Исследование однопродуктовой макромодели. Можно сказать, что функционал осуществляет отображение множества М на множество действительных чисел.

    Понятие функционала является обобщением понятия функции, когда аргументом является элемент произвольного множества. С другой стороны, функция 011514 0340 38 Исследование однопродуктовой макромодели сама является примером функционала, заданного на множестве 011514 0340 39 Исследование однопродуктовой макромодели,
    являющемся подмножеством п – мерного евклидова пространства 011514 0340 40 Исследование однопродуктовой макромодели.

    В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функционала 011514 0340 41 Исследование однопродуктовой макромодели на множестве М. Эта задача ставится аналогично задаче об отыскании экстремума функции.

    Предположим, что требуется минимизировать функционал 011514 0340 42 Исследование однопродуктовой макромодели
    на множестве М. Под решением такой задачи мы будем понимать значение v такое, что для остальных элементов v множества М выполняется неравенство

    011514 0340 43 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Если решение этой задачи существует, то 011514 0340 44 Исследование однопродуктовой макромодели называется оптимальным элементом множества М, а величина 011514 0340 45 Исследование однопродуктовой макромодели
    оптимальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и 011514 0340 46 Исследование однопродуктовой макромодели будем записывать следующим образом:

    011514 0340 47 Исследование однопродуктовой макромодели

    Аналогично формулируется задача о нахождении максимального значения функционала. Решение задачи о максимизации функционала – 011514 0340 48 Исследование однопродуктовой макромодели сводится к задаче о минимизации функционала – 011514 0340 49 Исследование однопродуктовой макромодели, т.е. если на элементе 011514 0340 50 Исследование однопродуктовой макромодели множества М достигает минимума функционала – 011514 0340 51 Исследование однопродуктовой макромодели, то 011514 0340 52 Исследование однопродуктовой макромоделидостигает на 011514 0340 53 Исследование однопродуктовой макромодели искомого максимума.

    Введем понятие точной нижней и верхней границы функционала. Точной нижней границей функционала 011514 0340 54 Исследование однопродуктовой макромодели на множестве М назовем Тае число т, если:

  3. 011514 0340 55 Исследование однопродуктовой макромодели для любого 011514 0340 56 Исследование однопродуктовой макромодели;
  4. Существует последовательность 011514 0340 57 Исследование однопродуктовой макромодели, на которой 011514 0340 58 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Точная нижняя граница функционала обозначается

    011514 0340 59 Исследование однопродуктовой макромодели

    Последовательность 011514 0340 60 Исследование однопродуктовой макромодели называется минимизирующей последовательностью.

    Точно так же определяется точная верхняя граница п функционала 011514 0340 61 Исследование однопродуктовой макромодели:

    011514 0340 62 Исследование однопродуктовой макромодели

    Аналогично задачам о минимизации и максимизации функционала задачи о нахождении точной нижней и верхней границ функционала сводятся одна к другой. Например, для нахождения точной верхней границы п функционала 011514 0340 63 Исследование однопродуктовой макромодели достаточно найти точную нижнюю границу т функционала – 011514 0340 64 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда т = – п – искомое значение точной нижней границы, а последовательность 011514 0340 65 Исследование однопродуктовой макромодели, максимизирующая – 011514 0340 66 Исследование однопродуктовой макромодели, будет минимизирующей для 011514 0340 67 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Назовем функционал 011514 0340 68 Исследование однопродуктовой макромодели ограниченным снизу (сверху) на множестве М, если существует такое число А, что при всех 011514 0340 69 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 70 Исследование однопродуктовой макромодели. Если функционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахождении его точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следующая теорема.

    Теорема. Пусть на множестве М задан ограниченный снизу функционал 011514 0340 71 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда реализуется одна из двух возможностей:

  5. Существует элемент 011514 0340 72 Исследование однопродуктовой макромоделии число 011514 0340 73 Исследование однопродуктовой макромодели, при которых 011514 0340 74 Исследование однопродуктовой макромодели и 011514 0340 75 Исследование однопродуктовой макромодели при всех 011514 0340 76 Исследование однопродуктовой макромодели.
  6. Существует последовательность 011514 0340 77 Исследование однопродуктовой макромодели элементов множества М и число 011514 0340 78 Исследование однопродуктовой макромодели, удовлетворяющее условиям 011514 0340 79 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 80 Исследование однопродуктовой макромодели и 011514 0340 81 Исследование однопродуктовой макромодели при всех 011514 0340 82 Исследование однопродуктовой макромодели.

     

    3.1 Задача оптимизации управляемых процессов.

     

    Задачи оптимального управления представляют собой важный класс задач оптимизации. Эти задачи являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации.

    Необходимость управлять процессом оптимально, т. е. наилучшим в определенном смысле образом, возникает в системах, характеристики которых меняются во времени под влиянием управлений. К такому классу систем относится и экономическая система. Для того чтобы сформулировать на математическом языке задачу управления в таких системах, необходимо ввести некоторые понятия и построить соответствующую математическую модель.

    Важнейшими понятиями в теории оптимального управления являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х
    п-мерного векторного пространства с координатами 011514 0340 83 Исследование однопродуктовой макромодели. Пространство Х будем называть пространством состояний системы.

    Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы 011514 0340 84 Исследование однопродуктовой макромодели называют траекторией системы.

    Переменную t, которая является независимой, назовем аргументом процесса. Аргументом процесса может быть любая величина, но чаще всего – время. Переменная t может пробегать некоторый отрезок числовой прямой, если 011514 0340 85 Исследование однопродуктовой макромодели, или отрезок натурального ряда 011514 0340 86 Исследование однопродуктовой макромодели. В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае – многошаговым. Системы в этих случаях назовем соответственно непрерывными и дискретными.

    Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить под воздействием управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного векторного пространства U:

    011514 0340 87 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 88 Исследование однопродуктовой макромодели

    Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t. Тем самым реализуется определенный способ управления системой. В этом случае будем говорить о задании программы 011514 0340 89 Исследование однопродуктовой макромодели

    На возможные (допустимые) состояния системы x(t) и управления и u(t) могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек 011514 0340 90 Исследование однопродуктовой макромодели – совокупность (n+r+1) – мерных векторов в пространстве 011514 0340 91 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда ограничения на состояние системы и управления в самом общем случае могут быть записаны в виде

    011514 0340 92 Исследование однопродуктовой макромодели011514 0340 93 Исследование однопродуктовой макромодели,

    где 011514 0340 94 Исследование однопродуктовой макромодели – некоторая область (подмножество) рассматриваемого (n+r+1) – мерного пространства. Ограничения на величины x(t),
    u(t) в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

    011514 0340 95 Исследование однопродуктовой макромодели

    где 011514 0340 96 Исследование однопродуктовой макромодели
    – сечение множества V при заданном t.

    Пару функций 011514 0340 97 Исследование однопродуктовой макромодели
    назовем процессом. Между функциями x(t),
    u(t) имеется связь: как только задано управление u(t) системой, последовательность ее состояний (траектория системы) x(t) определятся однозначно. Связь между x(t) и u(t) моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

    Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида

    011514 0340 98 Исследование однопродуктовой макромодели

    или в векторной форме

    011514 0340 99 Исследование однопродуктовой макромодели (1)

    В дальнейшем для компактности будем пользоваться векторной записью переменных и систем уравнений. Однако иногда, если это будет диктоваться соображениями удобства, воспользуемся записью системы (1) в виде

    011514 0340 100 Исследование однопродуктовой макромодели

    Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент 011514 0340 101 Исследование однопродуктовой макромодели. Этот момент в дальнейшем для определенности примем равным нулю, а момент окончания процесса 011514 0340 102 Исследование однопродуктовой макромодели – равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах 011514 0340 103 Исследование однопродуктовой макромодели, а начальным состоянием системы будет вектор

    011514 0340 104 Исследование однопродуктовой макромодели (2)

    где 011514 0340 105 Исследование однопродуктовой макромодели – начальное значение i-й координаты вектора состояния системы.

    Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке 011514 0340 106 Исследование однопродуктовой макромодели
    задано управление u(t). Подставляя его в правую часть системы (1), получим

    011514 0340 107 Исследование однопродуктовой макромодели (3)

    Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неизвестной вектор – функции 011514 0340 108 Исследование однопродуктовой макромодели. Решая ее с учетом начальных условий (2), получим x(t). Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению u(t). При этом мы предполагаем, что для системы (3) выполнены условия, обеспечивающие существование и единственность ее решения при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

    Итак, задание управления в непрерывной модели однозначно определяет ее поведение. Задавая различные законы управления, получаем, следовательно, различные траектории системы.

    Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

    011514 0340 109 Исследование однопродуктовой макромодели

    В векторной форме эту модель, как и в непрерывном случае, будем записывать в виде

    011514 0340 110 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    011514 0340 111 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 112 Исследование однопродуктовой макромодели (4)

    Здесь t принимает значение t = 0, 1, …, Т — 1. Начальное значение 011514 0340 113 Исследование однопродуктовой макромодели будем, как и выше, считать известным.

    В дискретной системе, как и в непрерывной, задание программы управления u(t) при t = 0, 1, …, Т — 1 позволяет однозначно определить отвечающую ей траекторию системы. При этом в дискретном случае не требуется наложение каких-либо условий на правые части уравнений (4), как в непрерывном случае где требовалось обеспечить существование и единственность задачи Коши. В самом деле, при подстановке значения u(t) в правую часть (4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния x(t) в момент времени t определить состояние x(t+1) в следующий момент времени. Так как в начальный момент t = 0 состояние 011514 0340 114 Исследование однопродуктовой макромодели известно, то, подставив его в правую часть (4), получим

    011514 0340 115 Исследование однопродуктовой макромодели

    Подставляя затем найденное значение x(1) и t=1 в (4) так же найдем значение х(2). Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение х(Т).

    Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4) позволяют однозначно определить траекторию системы х(t), если задано управление u(t).

    Следовательно, процесс 011514 0340 116 Исследование однопродуктовой макромодели должен удовлетворять следующим ограничениям:

  7. 011514 0340 117 Исследование однопродуктовой макромодели.
  8. Пара 011514 0340 118 Исследование однопродуктовой макромодели удовлетворяет системе уравнений процесса:

    а) системе (1) в непрерывном случае при 011514 0340 119 Исследование однопродуктовой макромодели;


    б) системе (4) в дискретном случае при t = 0, 1, …, Т-1.

  9. Заданы начальные условия (2).
  10. В непрерывном случае на вектор-функции х(t),
    u(t) накладываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Вектор-функцию u(t) будем считать кусочно-непрерывной, а вектор-функцию х(t) – непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

    Процессы 011514 0340 120 Исследование однопродуктовой макромодели, удовлетворяющие условиям 1)4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс это программа управления u(t) и соответствующая ей траектория системы х(t), удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

     

    3.2 Постановка задачи оптимального управления

     

    Множество допустимых процессов в задаче оптимального управления и представляет собой множество М допустимых элементов, о которых шла речь выше при обсуждении обшей задачи оптимизации. Теперь для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F заданий на множестве М. Задача оптимального управления будет стоять в выборе элемента 011514 0340 121 Исследование однопродуктовой макромодели множества М на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс мы будем называть оптимальным процессом, управление 011514 0340 122 Исследование однопродуктовой макромодели – оптимальным управлением. А траекторию 011514 0340 123 Исследование однопродуктовой макромодели– оптимальной траекторией.

    Функционал F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс. Значение 011514 0340 124 Исследование однопродуктовой макромодели, которое функционал принимает на данном процессе, характеризует качество процесса и позволяет сравнить два любых процесса. С точки зрения принятого функционала более предпочтительным является процесс, на котором его значения меньше. А оптимальным, т. е. более предпочтительным по сравнению с любым другим процессом, будет тот, где значение функционала минимально.

    В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:

    011514 0340 125 Исследование однопродуктовой макромодели (5)

    где 011514 0340 126 Исследование однопродуктовой макромодели; 011514 0340 127 Исследование однопродуктовой макромодели – заданные функции. Выражение (5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса 011514 0340 128 Исследование однопродуктовой макромодели определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить х(t),
    u(t) вместо аргументов функции 011514 0340 129 Исследование однопродуктовой макромодели, которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции F(x) при х = х(Т).

    Функционал 011514 0340 130 Исследование однопродуктовой макромодели
    состоит из двух частей: 011514 0340 131 Исследование однопродуктовой макромодели

    и функции конечного состояния F(x(T)) – терминальной составляющей. Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на 011514 0340 132 Исследование однопродуктовой макромодели на всем промежутке [0, Т], второе слагаемое – качество конечного состояния системы. Иногда в задачах оптимального управления конечное состояние системы 011514 0340 133 Исследование однопродуктовой макромодели задается. В этом случае второе слагаемое функционала (5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фиксированным правым концом траектории. Условие 011514 0340 134 Исследование однопродуктовой макромодели следует добавить в качестве дополнительного ограничения к условиям 1) – 4), определяющим множество допустимых процессов.

    Функционал (5) выбирается таким образом, чтобы содержательный смысл входящих в него слагаемых отвечал цели управления в конкретной задаче.

    В частных случаях любое из слагаемых в (5) может отсутствовать. Тогда функционал будет иметь вид

    011514 0340 135 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    F(v)=F(x(T))

    Возникающие в этих случаях оптимизационные задачи могут быть сведены одна к другой и, следовательно, ни одна из них не является более общей.

  11. Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели

     

    Рассмотрим однопродуктовую модель развития экономики. Уравнения модели можно записать в следующем виде:

    011514 0340 136 Исследование однопродуктовой макромодели (4.1)

    Здесь Х – валовой национальный продукт; Y – конечный (чистый) продукт; I – инвестиции в развитие производства; С – непроизводственное потребление; К – основные непроизводственные фонды; L – трудовые ресурсы; а – коэффициент прямых затрат; 011514 0340 137 Исследование однопродуктовой макромодели – норма выбытия основных фондов; F(K,L) – производственная функция экономики.

    В данной модели трудовые ресурсы L(t) задаются экзогенно. Предположим, что рост трудовых ресурсов происходит с постоянным темпом, равным п, тогда

    011514 0340 138 Исследование однопродуктовой макромодели (4.2)

    или 011514 0340 139 Исследование однопродуктовой макромодели

    Введем величину s с помощью соотношения s=I/Y. Эта величина представляет собой долю конечной продукции, вкладываемую в расширение производства, и называется долей накопления. Ее связь с величиной u=C/Y – долей потребления – выражается соотношением s=u+1.

    Данная модель – это модель экономики как управляемой системы. Управление системой ведется заданием доли потребления и накопления. Из соотношений (4.1) следует, что, задавая с помощью зависимостей C(t), I(t), связанных соотношением I+C=Y, программу потребления и расширения производства, мы тем самым получаем однозначный ответ, какими будут остальные экономические показатели, характеризующие в рамках данной модели экономику.

    Для математического исследования модели удобно ввести «относительные» переменные. Переход к новым переменным задается формулами

    011514 0340 140 Исследование однопродуктовой макромодели

    Эти переменные имеют следующий экономический смысл: х – производительность труда, т.е. количество произведенной продукции в расчете на одного рабочего; k – фондовооруженность труда; с – потребление на одного рабочего. Исключая теперь из системы (4.1) переменные I и Y, представим ее в виде

    011514 0340 141 Исследование однопродуктовой макромодели (4.3)

    Производя в уравнении (3.3) замену переменных X=xL, K=kL, C=cL, получим

    011514 0340 142 Исследование однопродуктовой макромодели

    Учитывая (4.2) и сокращая обе части равенства на L, будем иметь

    011514 0340 143 Исследование однопродуктовой макромодели (4.4)

    В свою очередь, выражение для производственной функции также может быть преобразовано. Воспользуемся свойством линейной однородности производственной функции и положим 011514 0340 144 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда 011514 0340 145 Исследование однопродуктовой макромодели или, вводя соответствующие обозначения,

    011514 0340 146 Исследование однопродуктовой макромодели (4.5)

    Здесь функция 011514 0340 147 Исследование однопродуктовой макромодели, как вытекает из свойств производственной функции, будет обладать следующими свойствами:

  12. f(0)=0.
  13. 011514 0340 148 Исследование однопродуктовой макромодели
    <
  14. 011514 0340 149 Исследование однопродуктовой макромодели
  15. 011514 0340 150 Исследование однопродуктовой макромодели при 011514 0340 151 Исследование однопродуктовой макромодели


    011514 0340 152 Исследование однопродуктовой макромодели при 011514 0340 153 Исследование однопродуктовой макромодели

    Заменим теперь с помощью (4.5) величину х в (4.4). Получим уравнение, описывающее модель Слоу:

    011514 0340 154 Исследование однопродуктовой макромодели (4.6)

    Используя введенную выше долю накопления s, моно написать следующее равенство:

    011514 0340 155 Исследование однопродуктовой макромодели (4.7)

    Подставив это равенство в (3.6), получим другую форму уравнения модели:

    011514 0340 156 Исследование однопродуктовой макромодели (4.8)

    Таким образом, исследование величин X, Y, I, C, K, описывающих поведение экономической системы. Сводится к решению уравнения (4.8). Действительно, с помощью решения уравнения (4.8) определена величина k(t). Так как L(t) является известной функцией времени, из равенства (4.7) можно получить величину c(t), а вместе с ней и C(t)=c(t)L(t). Основные производственные фонды также могут быть легко определены: K(t)=k(t)L(t). Аналогично X(t)=f(k(t))L(t).

     

    4.1 Сбалансированный рост в модели Солоу.

     

    Введем понятие сбалансированного роста. Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором показатели, характеризующие экономику, растут с постоянным темпом. Применительно к данной модели это значит, что с постоянным темпом должны возрастать величины X, Y, I, C, K, L.

    Оказывается, что темпы роста данных показателей не только постоянны, но и одинаковы. Обозначим 011514 0340 157 Исследование однопродуктовой макромодели темпы роста первых пяти показателей и сохраним принятое в (4.2) обозначение для темпа роста трудовых ресурсов. Тогда рост показателей носит экспоненциальный характер:

    011514 0340 158 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 159 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 160 Исследование однопродуктовой макромодели


    011514 0340 161 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 162 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 163 Исследование однопродуктовой макромодели (4.9)

     

    Так как Y=(1– a ) X, то 011514 0340 164 Исследование однопродуктовой макромодели откуда 011514 0340 165 Исследование однопродуктовой макромодели. С учетом (4.1)

    011514 0340 166 Исследование однопродуктовой макромодели

    Учитывая, что 011514 0340 167 Исследование однопродуктовой макромодели получаем 011514 0340 168 Исследование однопродуктовой макромодели. Используя уравнение (4.3) и подставляя в него сбалансированное решение (4.9), будем иметь


    011514 0340 169 Исследование однопродуктовой макромодели (4.10)

    Покажем, что последнее равенство возможно лишь при 011514 0340 170 Исследование однопродуктовой макромодели. Разделив обе части (4.10) на 011514 0340 171 Исследование однопродуктовой макромодели. Получим


    011514 0340 172 Исследование однопродуктовой макромодели (4.11)

    Так как правая часть последнего равенства постоянна при любом t, ее производная обращается в нуль. Отсюда после некоторых преобразований получим

    011514 0340 173 Исследование однопродуктовой макромодели

    Следовательно, так как показатели экспонент в последнем равенстве должны совпадать, то получаем 011514 0340 174 Исследование однопродуктовой макромодели. Подставляя полученный результат в (4.10), будем, аналогично рассуждая, иметь 011514 0340 175 Исследование однопродуктовой макромодели. Сопоставляя теперь полученные соотношения между темпами роста, получим, что все они совпадают, т.е.

    011514 0340 176 Исследование однопродуктовой макромодели

    Покажем, что все эти величины равны п – темпу роста трудовых ресурсов. Действительно, так как величины X, K и L связаны производственной функцией, то

    011514 0340 177 Исследование однопродуктовой макромодели

    Используя линейную однородность производственной функции. Получим

    011514 0340 178 Исследование однопродуктовой макромодели

    Так как 011514 0340 179 Исследование однопродуктовой макромодели, то отсюда следует

    011514 0340 180 Исследование однопродуктовой макромодели (4.12)

    Как отмечено выше. Производственная функция монотонно возрастает по каждой переменной. А так как первый аргумент 011514 0340 181 Исследование однопродуктовой макромодели и значение самой функции 011514 0340 182 Исследование однопродуктовой макромодели постоянны, равенство (4.12) при всех значениях t может выполняться лишь при 011514 0340 183 Исследование однопродуктовой макромодели. Отсюда с учетом полученного выше вытекает

    011514 0340 184 Исследование однопродуктовой макромодели

    Таким образом, мы получили, что определение траектории сбалансированного роста данной модели приводит к тому, что темпы прироста всех показателей оказываются одинаковыми. Отсюда, в частности, вытекает, что на траектории сбалансированного роста доля накопления s=I(t)/Y(t) постоянна.

    Из равенства темпов роста показателей следует, что на данной траектории показатели фондовооруженности труда будут постоянными. Это означает, что траектории сбалансированного роста в рассматриваемой модели отвечает решение (4.8), имеющее вид k=const при s=const. Найдя решение 011514 0340 185 Исследование однопродуктовой макромодели, остальные переменные модели получаем с помощью следующих формул:

    011514 0340 186 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 187 Исследование однопродуктовой макромодели

    011514 0340 188 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 189 Исследование однопродуктовой макромодели

    011514 0340 190 Исследование однопродуктовой макромодели

    Искомое решение 011514 0340 191 Исследование однопродуктовой макромодели обращает в ноль левую часть уравнения (3.8). Следовательно, для отыскания 011514 0340 192 Исследование однопродуктовой макромодели(при заданном постоянном значении нормы накопления s) требуется решить уравнение

    011514 0340 193 Исследование однопродуктовой макромодели (4.13)

    Покажем, что это уравнение имеет в области k>0 (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании решения уравнения (4.13). для этого рассмотрим производную левой части (4.13), которая равна 011514 0340 194 Исследование однопродуктовой макромодели. как было отмечено выше, при 011514 0340 195 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 196 Исследование однопродуктовой макромоделиСледовательно в некотором промежутке 011514 0340 197 Исследование однопродуктовой макромодели величина 011514 0340 198 Исследование однопродуктовой макромодели будет положительной, т.е. левая часть (4.13) – возрастающая функция. Таким образом, в некоторой точке 011514 0340 199 Исследование однопродуктовой макромодели (любой из окрестности 011514 0340 200 Исследование однопродуктовой макромодели) будет выполняться неравенство

    011514 0340 201 Исследование однопродуктовой макромодели (4.14)

    При 011514 0340 202 Исследование однопродуктовой макромодели в силу свойств функции 011514 0340 203 Исследование однопродуктовой макромоделипроизводная 011514 0340 204 Исследование однопродуктовой макромодели становится сколь угодно малой. Следовательно, начиная с некоторого значения 011514 0340 205 Исследование однопродуктовой макромодели выражение 011514 0340 206 Исследование однопродуктовой макромоделибудет строго отрицательным и меньше некоторого отрицательного числа 011514 0340 207 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда для значений 011514 0340 208 Исследование однопродуктовой макромодели будет выполняться неравенство

    011514 0340 209 Исследование однопродуктовой макромодели или

    011514 0340 210 Исследование однопродуктовой макромодели,

    интегрируя которое в пределах от 011514 0340 211 Исследование однопродуктовой макромодели до 011514 0340 212 Исследование однопродуктовой макромодели получим

    011514 0340 213 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    011514 0340 214 Исследование однопродуктовой макромодели (4.15)

    где 011514 0340 215 Исследование однопродуктовой макромодели

    Правая часть неравенства (4.15) при 011514 0340 216 Исследование однопродуктовой макромодели стремится к 011514 0340 217 Исследование однопродуктовой макромодели (так как 011514 0340 218 Исследование однопродуктовой макромодели). Следовательно, и левая часть этого неравенства также стремится к 011514 0340 219 Исследование однопродуктовой макромодели. Отсюда вытекает, что при некотором 011514 0340 220 Исследование однопродуктовой макромодели значение левой части будет отрицательным, т.е.

    011514 0340 221 Исследование однопродуктовой макромодели

    Сопоставив этот результат с (4.14), получим, что выражение

    011514 0340 222 Исследование однопродуктовой макромодели

    на концах промежутка 011514 0340 223 Исследование однопродуктовой макромодели имеет различные знаки. Тогда по известной теореме о том, что функция принимает все свои промежуточные значения в некоторой точке (по крайней мере одной) этого промежутка 011514 0340 224 Исследование однопродуктовой макромодели, оно обратится в ноль, т.е. уравнение (4.13) имеет по крайней мере одно решение.

    Покажем, что это решение единственно. Предположим противное. Пусть 011514 0340 225 Исследование однопродуктовой макромодели – положительные корни уравнения (4.13). Так как k=0 также есть решение этого уравнения, у него, следовательно, не менее трех неотрицательных корней: 011514 0340 226 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 227 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 228 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Производная левой части (3.13) должна обратится в ноль по известной теореме о функциях, принимающих одинаковые значения на концах промежутка.

    В то же время вторая производная левой части (4.13) с точностью до положительного сомножителя s(1–a) совпадает с 011514 0340 229 Исследование однопродуктовой макромодели, которая в силу свойств функции f(k) отрицательна. Отсюда втекает, что левая часть уравнения (4.13) является выпуклой функцией, а ее первая производная монотонно убывает. Последнее означает, что производная левой части (4.13) не может принимать одинаковых значений при различных k. Следовательно, и в ноль эта производная не может обратиться в двух различных точках. Это, в свою очередь, противоречит сделанному предположению о наличии двух положительных решений уравнения (4.13).

    Таким образом, мы установили, что в рассматриваемой модели для каждой фиксированной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.

    Режим сбалансированного роста – это одна из возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение дифференциального уравнения (4.8) с начальным условием 011514 0340 230 Исследование однопродуктовой макромодели – значением фондовооруженности в начальный момент времени и не обязательно является траекторией сбалансированного роста.

    Вместе с тем траектория сбалансированного роста играет важную роль среди множества траекторий однопродуктовой микромодели. А именно, исследуя поведение траектории модели, можно выяснить, что любая из них по прошестивии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста. Следовательно, режим сбалансированного роста может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно больших значений времени независимо от начальных значений этих показателей.

    С математической точки зрения описанное свойство траекторий модели выглядит следующим образом. Пусть k – значение фондовооруженности на траектории сбалансированного роста; k(t) – траектория модели с начальным условием 011514 0340 231 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда независимо от значения 011514 0340 232 Исследование однопродуктовой макромодели справедливо соотношение

    011514 0340 233 Исследование однопродуктовой макромодели (4.16)

    Соотношение (4.16) гарантирует асимптотическую устойчивость сбалансированного роста. Вместе с тем отметим, что описанное им свойство траектории модели являются более значительно более сильными, так как асимптотическая устойчивость означает сходимость к 011514 0340 234 Исследование однопродуктовой макромодели только тех траекторий, начальные значения которых достаточно близки к этому 011514 0340 235 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Для доказательства свойства (4.16) исследуем траекторию k(t) – решение уравнения (4.8) с начальным условием 011514 0340 236 Исследование однопродуктовой макромодели. Рассмотрим сначала случай, когда начальное значение 011514 0340 237 Исследование однопродуктовой макромодели лежит в области 011514 0340 238 Исследование однопродуктовой макромодели. Функция 011514 0340 239 Исследование однопродуктовой макромодели, являющаяся правой частью уравнения (4.8). эта функция обладает двумя участками монотонности: до некоторого значения k монотонно возрастает, затем монотонно убывает. При этом функция g(k) имеет единственный положительный корень 011514 0340 240 Исследование однопродуктовой макромодели.

    В рассматриваемой области 011514 0340 241 Исследование однопродуктовой макромодели, где лежит начальное значение 011514 0340 242 Исследование однопродуктовой макромодели, g(k)>0, т.е. правая часть уравнения (4.8) положительна. Следовательно, на некотором интервале 011514 0340 243 Исследование однопродуктовой макромодели будет монотонно возрастать. При этом монотонное возрастание k(t) сохранится до тех пор, пока k(t) будет продолжать находится в области 011514 0340 244 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Покажем, что в действительности k(t) не покинет данной области ни при каком t.

    Заметим, что если в некоторый момент времени значение k(t) станет больше 011514 0340 245 Исследование однопродуктовой макромодели, то в силу ее непрерывности найдется такая точка 011514 0340 246 Исследование однопродуктовой макромодели, в которой 011514 0340 247 Исследование однопродуктовой макромодели. Но так как 011514 0340 248 Исследование однопродуктовой макромодели также является решением уравнения (4.8), то в точке 011514 0340 249 Исследование однопродуктовой макромодели будет нарушаться единственность решения уравнения (4.8), поскольку по меньшей мере два решения k(t) и 011514 0340 250 Исследование однопродуктовой макромодели этого уравнения будут проходить через данную точку. Но этого не может быть, так как с учетом свойств функции f(k) правая часть уравнения (4.8) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Таким образом, мы получили, что при всех 011514 0340 251 Исследование однопродуктовой макромодели исследуемое решение k(t) остается в области 011514 0340 252 Исследование однопродуктовой макромодели. Следовательно, k(t) монотонно возрастает, так как в этой области правая часть g(k) уравнения (4.8) и производная k(t) положительны.

    Итак, мы выяснили, что любое решение с начальным условием 011514 0340 253 Исследование однопродуктовой макромодели, удовлетворяющим неравенству 011514 0340 254 Исследование однопродуктовой макромодели, является монотонно возрастающей функцией. Тогда, по теореме Вейерштрасса, существует 011514 0340 255 Исследование однопродуктовой макромодели. Покажем, что этот предел совпадает с 011514 0340 256 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Предположим, что это не так, т.е.

    011514 0340 257 Исследование однопродуктовой макромодели (4.17)

    Тогда, если учесть, что решение k(t) монотонно возрастает и ограниченно, то

    011514 0340 258 Исследование однопродуктовой макромодели

    Подставляя теперь k(t) в обе части уравнения (4.8) и переходя в полученном равенстве к пределу при 011514 0340 259 Исследование однопродуктовой макромодели, с учетом последнего соотношения получим

    011514 0340 260 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда, учитывая непрерывность правой части уравнения (4.8) и соотношение (4.17), будем иметь

    011514 0340 261 Исследование однопродуктовой макромодели

    Следовательно, величина 011514 0340 262 Исследование однопродуктовой макромодели, так же как и 011514 0340 263 Исследование однопродуктовой макромодели, является решением уравнения (4.8). Но, как было установлено выше, это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, 011514 0340 264 Исследование однопродуктовой макромодели совпадает с 011514 0340 265 Исследование однопродуктовой макромодели. Полагая теперь в (4.17) 011514 0340 266 Исследование однопродуктовой макромодели, получим (3.16), что и требовалось доказать.

    Таким образом, мы получили, что все траектории k(t) модели Солоу, начинающиеся в точке 011514 0340 267 Исследование однопродуктовой макромодели, при 011514 0340 268 Исследование однопродуктовой макромодели являются монотонно возрастающими функциями и неограниченно приближаются к траектории сбалансированного роста. Аналогично можно показать, что если начальное значение 011514 0340 269 Исследование однопродуктовой макромодели лежит в области 011514 0340 270 Исследование однопродуктовой макромодели, то соответствующая траектория k(t) является монотонно убывающей функцией, причем при 011514 0340 271 Исследование однопродуктовой макромодели также имеет место свойство (4.6).

    Более слабая по сравнению с (4.7) асимптотическая устойчивость сбалансированного роста может быть легко получена с помощью изложенных в данной главе общих методов исследования устойчивости. Для этого запишем уравнение модели (4.8) в линеаризованном виде, введя для этого переменную 011514 0340 272 Исследование однопродуктовой макромодели:

    011514 0340 273 Исследование однопродуктовой макромодели

    Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости сводится к определению знака выражения 011514 0340 274 Исследование однопродуктовой макромодели, который, как было уже показано, отрицателен. Следовательно, согласно результатам траектория 011514 0340 275 Исследование однопродуктовой макромодели является асимптотически устойчивой.

    В заключение рассмотрим случай задания производственной функции F в виде функции Кобба-Дугласа. В этом случае 011514 0340 276 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда решения уравнения (4.8) для рассматриваемого случая будет иметь вид

    011514 0340 277 Исследование однопродуктовой макромодели (4.18)

    Произведя замену переменных по формуле 011514 0340 278 Исследование однопродуктовой макромодели и продифференцировав ее, получим 011514 0340 279 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда уравнение (4.18) можно переписать в следующем виде:

    011514 0340 280 Исследование однопродуктовой макромодели

    Эта линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В качестве частного решения уравнения можно взять следующее:

    011514 0340 281 Исследование однопродуктовой макромодели

    Тогда общее решение выражается формулой

    011514 0340 282 Исследование однопродуктовой макромодели

    где С – производная постоянная.

    Переходя к исходной переменной k(t), получим формулу для общего решения уравнения (4.18):

    011514 0340 283 Исследование однопродуктовой макромодели

    При 011514 0340 284 Исследование однопродуктовой макромоделиполучим, что первое слагаемое в скобках будет стремиться к нулю, следовательно,

    011514 0340 285 Исследование однопродуктовой макромодели (4.19)

    Вычислим значение 011514 0340 286 Исследование однопродуктовой макромодели, отвечающее сбалансированному росту для рассматриваемого случая производственной функции Кобба-Дугласа. Уравнение (4.13) для определения 011514 0340 287 Исследование однопродуктовой макромодели примет вид

    011514 0340 288 Исследование однопродуктовой макромодели

    Искомый положительный корень этого уравнения 011514 0340 289 Исследование однопродуктовой макромодели будет определяться выражением

    011514 0340 290 Исследование однопродуктовой макромодели

    Сравнивая это выражение с (4.19), получим для рассматриваемого случая

    011514 0340 291 Исследование однопродуктовой макромодели

    что совпадает с полученным выше результатом (4.16) для произвольно линейно однородной производственной функции.

    5. Моделирование производства на макроуровне.

     

    При математическом моделировании взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно отражают с помощью производственных функций. При построении производственных функций следует иметь в виду, что затраты факторов производства на выпуск продукции всегда неотрицательны. Кроме того, при моделировании производственных функций надо отметить, что отсутствие одного из факторов приводит к нулевому выпуску продукция. Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно, а выпуск продукции изменяется достаточно гладко при изменении факторов, что естественно при рассмотрении производства на макроуровне.

    Экономически целесообразно также, чтобы при увеличении количества используемого ресурса выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой производственной функции можно записать следующие неравенства:

    011514 0340 292 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 293 Исследование однопродуктовой макромодели

    где К – основные производственные фонды; L – трудовые ресурсы.

    Перечисленным условиям отвечают мультипликативные производственные функции вида

    011514 0340 294 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 295 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 296 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 297 Исследование однопродуктовой макромодели

    где Х – выпуск продукции; 011514 0340 298 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 299 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 300 Исследование однопродуктовой макромодели
    параметры производственной функции.

    Мультипликативная производственная функция дает возможность отразить эффект масштаба производства, который существует только при одновременном изменении факторов К и L. Пусть эти факторы изменятся в 011514 0340 301 Исследование однопродуктовой макромодели
    раз. Тогда

    011514 0340 302 Исследование однопродуктовой макромодели

    В этом случае:

  16. если 011514 0340 303 Исследование однопродуктовой макромодели>1, то имеет место интенсивный способ развития, т. е. с ростом масштаба производства в 011514 0340 304 Исследование однопродуктовой макромодели
    раз, выпуск продукции возрастает более чем в 011514 0340 305 Исследование однопродуктовой макромодели раз;
  17. если 011514 0340 306 Исследование однопродуктовой макромодели<1, то рост масштаба производства отрицательно сказывается на выпуске продукции, т. е. при росте затрат в 011514 0340 307 Исследование однопродуктовой макромодели
    раз выпуск продукции растет менее чем в 011514 0340 308 Исследование однопродуктовой макромодели раз;
  18. если 011514 0340 309 Исследование однопродуктовой макромодели=1, то происходит экстенсивный рост экономики только за счет факторов производства.

    Длительные наблюдения показывают, что в условиях чисто экстенсивного производства увеличение затрат только одного из факторов производства приводит к снижению эффективности его использования, т. е.

    011514 0340 310 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 311 Исследование однопродуктовой макромодели

    Это означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего в условиях неизменной технологии, квалификации персонала и характеристик станков, уменьшает эффективность использования оборудования.

    Для экстенсивного способа развития характерно


    011514 0340 312 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 313 Исследование однопродуктовой макромодели


    011514 0340 314 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 315 Исследование однопродуктовой макромодели

    Производственная функция Кобба—Дугласа является модели экстенсивного способа развития:

    011514 0340 316 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 317 Исследование однопродуктовой макромодели
    =1,

    где 011514 0340 318 Исследование однопродуктовой макромодели—коэффициент эластичности выпуска по протводственным фондам; 011514 0340 319 Исследование однопродуктовой макромодели—коэффициент эластичности выпуска по труду.

    Под эластичностью производственной функции по фактору (фонду, труду и т.д.) понимается отношение относительного прироста функции к относительному приросту фактора. Эластичность численно равна числу процентов, на которое изменятся выпуск продукции при изменений фактора на 1%. Нетрудно показать, что коэффициенты эластичности можно определить как отношение предельной эффективности функции по фактору к средней эффективности:

    011514 0340 320 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 321 Исследование однопродуктовой макромодели

    Важной характеристикой производственных функций является эластичность замены ресурсов 011514 0340 322 Исследование однопродуктовой макромодели, так как она бывает постоянной для большинства производственных функций, используемых в экономико-математическом моделировании. Эластичность замены ресурсов показывает, на сколько процентов изменится фондовооруженность 011514 0340 323 Исследование однопродуктовой макромодели при изменении предельной нормы замещения 011514 0340 324 Исследование однопродуктовой макромодели (предельной фондовооруженности) на 1% при измененном выпуске продукции:

    011514 0340 325 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда

    011514 0340 326 Исследование однопродуктовой макромодели

    где
    011514 0340 327 Исследование однопродуктовой макромодели
    — предельная эффективность по труду; 011514 0340 328 Исследование однопродуктовой макромодели — предельная эффективность по основным производственным фондам.

    Эластичность замены ресурсов 011514 0340 329 Исследование однопродуктовой макромодели для функции Кобба—Дугласа равна

    011514 0340 330 Исследование однопродуктовой макромодели

    так как для нее предельная норма замещения

    011514 0340 331 Исследование однопродуктовой макромодели где 011514 0340 332 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Часто экономические соображения подсказывают, что хотя эластичность замещения ресурсов и можно считать постоянной, но все-таки она отлична от единицы. В связи с этим представляет интерес линейно однородная производственная функция Солоу:

    011514 0340 333 Исследование однопродуктовой макромодели

    Для того чтобы найти эластичность замены ресурсов 011514 0340 334 Исследование однопродуктовой макромодели для функции Солоу, вычислим предварительно предельную норму замещения s. Для этого найдем предельную фондоотдачу:

    011514 0340 335 Исследование однопродуктовой макромодели,

    где 011514 0340 336 Исследование однопродуктовой макромодели — производительность труда; k — фондовооруженность труда.

    Теперь найдем предельную производительность труда, учитывая, что

    011514 0340 337 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    011514 0340 338 Исследование однопродуктовой макромодели

    Окончательно

    011514 0340 339 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда эластичность замены ресурсов для функции Солоу

    011514 0340 340 Исследование однопродуктовой макромодели

    Нетрудно заметить, что функция Кобба-Дугласа является частным случаем функции Солоу при 011514 0340 341 Исследование однопродуктовой макромодели

     

  19. Решение задачи управления экономикой на макроуровне.

     

    Рассмотрим экономику, характеризующуюся в каждый момент времени t набором переменных

    X, Y, C, K, L, I,

    где X
    интенсивность валового продукта; Y – интенсивность конечного продукта; C — непроизводственное потребление; I — валовые капитальные вложения; K — объем основных производственных фондов; L — трудовые ресурсы.

    Эти переменные взаимосвязаны, прежде всего, имеет место условие баланса в каждый момент времени

    X=aX+Y,

    где 0<a<1.

    В свою очередь, конечный продукт распределяется на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление

    Y=I+C,

    где валовые капитальные вложения расходуются на прирост основных производственных фондов и их восстановление за счет амортизационных отчислений:

    011514 0340 342 Исследование однопродуктовой макромодели

    где 011514 0340 343 Исследование однопродуктовой макромодели – коэффициент амортизации.

    Тогда

    011514 0340 344 Исследование однопродуктовой макромодели

    или


    011514 0340 345 Исследование однопродуктовой макромодели (1)

    где и – С/Y – доля непроизводственного потребления:


    011514 0340 346 Исследование однопродуктовой макромодели
    (2)

    Будем считать, что размеры валового продукта определяются заданной производственной функцией, характеризующей возможности производства в зависимости от величины производственных фондов К трудовых ресурсов и времени t, т.е.


    011514 0340 347 Исследование однопродуктовой макромодели
    (3)

    Предполагается, что производственная функция 011514 0340 348 Исследование однопродуктовой макромоделинепрерывна и дважды диффреренцируема, причем выполняются следующие условия:

  20. функция всегда неотрицательная: 011514 0340 349 Исследование однопродуктовой макромодели>0;
  21. функция возрастает по каждому из аргументов: 011514 0340 350 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 351 Исследование однопродуктовой макромодели;
  22. если хотя бы один из ресурсов K или L равен нулю, то и 011514 0340 352 Исследование однопродуктовой макромодели=0, 011514 0340 353 Исследование однопродуктовой макромодели=0, 011514 0340 354 Исследование однопродуктовой макромодели=0.
  23. Предполагается, что с ростом каждого из аргументов прирост валового продукта убывает: 011514 0340 355 Исследование однопродуктовой макромодели, 011514 0340 356 Исследование однопродуктовой макромодели.
  24. 011514 0340 357 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 358 Исследование однопродуктовой макромодели;
  25. Функция обладает свойством однородости по аргументам K и L, т.е. изменение масштаба производства приводит к пропорционалному изменению выпуска продукта:

    011514 0340 359 Исследование однопродуктовой макромодели

    Параметр t вводится в производственную функцию, чтобы учесть целый ряд внешних факторов, воздействующих на модель, в том числе влияние научно-технического прогресса;

  26. Функция возрастает по времени:

    011514 0340 360 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Решение задачи будем искать при условии


    011514 0340 361 Исследование однопродуктовой макромодели, (4)

    где 011514 0340 362 Исследование однопродуктовой макромодели – заданный уровень основных производственных фондов.

    Пусть заданы производственные фонды в начальный момент времени:


    011514 0340 363 Исследование однопродуктовой макромодели (5)

    Допустимое множество М в рассматриваемой задаче описывается условиями (1) – (5). Допустимый процесс предоставлен совокупностью функций

    011514 0340 364 Исследование однопродуктовой макромодели

    удовлетворяющей этим условиям. Он описывает состояние экономики, а Х и и – управление.

    Задача управления в данной модели состоит в том, чтобы найти такой процесс 011514 0340 365 Исследование однопродуктовой макромодели который обеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на рассматриваемом временном интервале с учетом дисконтированя потребления, т.е.


    011514 0340 366 Исследование однопродуктовой макромодели (6)

     

    Проведем редукцию задачи. Для этого введем в дифференциальное уравнение (1) относительные переменные: k = K/L — фондовооруженность, c = C/L—среднедушевое потребление, x = X/L производительность труда. Так как K=kL, X=xL, то уравнение (1) примет вид

    011514 0340 367 Исследование однопродуктовой макромодели

    Учитывая правило дифференцирования сложной функции, получим

    011514 0340 368 Исследование однопродуктовой макромодели

    Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется
    с постоянным темпом, т.е.


    011514 0340 369 Исследование однопродуктовой макромодели=nL

    Тогда

    011514 0340 370 Исследование однопродуктовой макромодели

    Окончательно дифференциальное уравнение связи в относительных переменных примет вид


    011514 0340 371 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 372 Исследование однопродуктовой макромодели

    Ограничение на управление и останется тем же:


    011514 0340 373 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 374 Исследование однопродуктовой макромодели
    а на производительность труда х примет вид


    011514 0340 375 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 376 Исследование однопродуктовой макромодели

    где – 011514 0340 377 Исследование однопродуктовой макромодели

    ограничения на производственные фонды заменим ограничениями на фондовооруженность:


    011514 0340 378 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 379 Исследование однопродуктовой макромодели


    011514 0340 380 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 381 Исследование однопродуктовой макромодели

    Проведем преобразование функционала (6) к относительным переменным:

    011514 0340 382 Исследование однопродуктовой макромодели

    или


    011514 0340 383 Исследование однопродуктовой макромодели
    011514 0340 384 Исследование однопродуктовой макромодели

    В задаче (1) – (6) требуется определить процесс 011514 0340 385 Исследование однопродуктовой макромодели обращающий в минимум функционал 011514 0340 386 Исследование однопродуктовой макромодели на множестве 011514 0340 387 Исследование однопродуктовой макромодели011514 0340 388 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Таким образом, в редуцированной задаче состоянием системы является фондовооруженность k
    управлением – производительность труда х и доля потребления и. Уравнением
    процесса служит дифференциальное уравнение роста фондовооруженности.

    Для решения поставленной задачи воспользуемся теоремой № 1 о достаточных условиях оптимальности.

    Пусть задан функционал


    011514 0340 389 Исследование однопродуктовой макромодели (1.1)

    011514 0340 390 Исследование однопродуктовой макромоделиявляются решением функционала (1.1), тогда: для того чтобы процесс (011514 0340 391 Исследование однопродуктовой макромодели) был оптимальным т.е. минимизировал функционал (1.1, необходимо и достаточно, чтобы при всех t=0, 1, …, T-1

    011514 0340 392 Исследование однопродуктовой макромодели

    Функция R примет вид

    011514 0340 393 Исследование однопродуктовой макромодели

    Выделим в R слагаемые, содержащие компоненты вектора управления (и, х), и приравняем сумму коэффициентов при нем нулю. Тем самым на 011514 0340 394 Исследование однопродуктовой макромодели накладывается требование

    011514 0340 395 Исследование однопродуктовой макромодели

    следовательно

    011514 0340 396 Исследование однопродуктовой макромодели

    Тогда

    011514 0340 397 Исследование однопродуктовой макромодели

    где 011514 0340 398 Исследование однопродуктовой макромодели – произвольная функция. Положим 011514 0340 399 Исследование однопродуктовой макромодели, тогда

    011514 0340 400 Исследование однопродуктовой макромодели

    и

    011514 0340 401 Исследование однопродуктовой макромодели

    При этом условии функция R не зависит от и:

    011514 0340 402 Исследование однопродуктовой макромодели

    Оптимальные 011514 0340 403 Исследование однопродуктовой макромодели найдем из условия

    011514 0340 404 Исследование однопродуктовой макромодели

    Так как a<1, то (1-a)>0 и, следовательно, 011514 0340 405 Исследование однопродуктовой макромодели достигается при 011514 0340 406 Исследование однопродуктовой макромодели Для однопродуктовой модели это равенство очевидно, но в многоотраслевой модели может оказаться, что некоторые отрасли недогружены.

    Проведем теперь максимизацию R по k при оптимальном 011514 0340 407 Исследование однопродуктовой макромодели. Обозначим:

    011514 0340 408 Исследование однопродуктовой макромодели

    Следовательно, максимум 011514 0340 409 Исследование однопродуктовой макромоделибудет результатом максимализации 011514 0340 410 Исследование однопродуктовой макромодели по k.

    Введем 011514 0340 411 Исследование однопродуктовой макромодели. Тогда, учитывая, что 011514 0340 412 Исследование однопродуктовой макромодели, можно записать

    011514 0340 413 Исследование однопродуктовой макромодели

    Проанализируем поведение функции r(t,k) по k. Эта функция является суммой двух слагаемых: производственной функции с точностью до постоянного множителя и линейного выражения.

    Функция r(t,k) строго выпукла по k:011514 0340 414 Исследование однопродуктовой макромодели
    при всех t, k>0. График r(t,k) в окрестности нуля близок к (1-a)f(t,k), так как, в частности, 011514 0340 415 Исследование однопродуктовой макромодели, а на бесконечности близок к 011514 0340 416 Исследование однопродуктовой макромодели, так как 011514 0340 417 Исследование однопродуктовой макромодели011514 0340 418 Исследование однопродуктовой макромодели. Поэтому функция r(t,k) имеет единственный максимум по k, который достигается в точке 011514 0340 419 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Необходимым условием максимума r(t,k) по k является равенство нулю частной производной:

    011514 0340 420 Исследование однопродуктовой макромодели

    Учитывая, что 011514 0340 421 Исследование однопродуктовой макромодели, имеем

    011514 0340 422 Исследование однопродуктовой макромодели

    Так как 0<011514 0340 423 Исследование однопродуктовой макромодели<1 и 1 – 011514 0340 424 Исследование однопродуктовой макромодели=011514 0340 425 Исследование однопродуктовой макромодели, то


    011514 0340 426 Исследование однопродуктовой макромодели (7)

    Найденное 011514 0340 427 Исследование однопродуктовой макромодели назовем магистралью данной динамической модели экономики. Она играет важную роль в структуре оптимального решения.

    Управление, реализующее эту магистраль, найдем подстановкой найденного 011514 0340 428 Исследование однопродуктовой макромодели в дифференциальное уравнение развития системы (1)


    011514 0340 429 Исследование однопродуктовой макромодели (8)

    Так как 011514 0340 430 Исследование однопродуктовой макромодели, где f(k,t)= 011514 0340 431 Исследование однопродуктовой макромодели есть функция Кобба-Дугласа, то, решая уравнение процесса относительно и, получим


    011514 0340 432 Исследование однопродуктовой макромодели (9)

    Из формулы (7) найдем

    011514 0340 433 Исследование однопродуктовой макромодели

    Тогда

    011514 0340 434 Исследование однопродуктовой макромодели

    или

    011514 0340 435 Исследование однопродуктовой макромодели

    Так как

    011514 0340 436 Исследование однопродуктовой макромодели

    то получим оптимальное управление


    011514 0340 437 Исследование однопродуктовой макромодели (10)

    в предположении, что 011514 0340 438 Исследование однопродуктовой макромодели

    Рассмотрим специальный случай, когда краевые условия лежат на магистрали:


    011514 0340 439 Исследование однопродуктовой макромодели (11)

    Тогда процесс 011514 0340 440 Исследование однопродуктовой макромоделиоптимален вследствие теоремы № 1. действительно, этот процесс обеспечивает максимум R при каждом t:

    а) по и
    в силу независимости R от управления и, что достигается выбором функции у (к, t);

    б) по k и х
    по построению.

    С другой стороны, 011514 0340 441 Исследование однопродуктовой макромодели представляет допустимый процесс, так как:

    а) удовлетворяет уравнению процесса (и находили подстановкой 011514 0340 442 Исследование однопродуктовой макромоделив уравнение процесса);

    б) 011514 0340 443 Исследование однопродуктовой макромодели

    в) граничные условия были специально подобраны.

    Отметим, что условие реализуемости 011514 0340 444 Исследование однопродуктовой макромодели в данной задаче выполняется. Это можно проверить. Для функции КоббаДугласа экономической магистралью является кривая постоянного темпа роста фондовооруженности, пропорционального темпу роста технического прогресса р, а оптимальное управление, реализующее данную магистраль, – постоянная величина (10).

    Таким образом, для специально подобранных краевых условий (11) магистраль является оптимальным режимом развития экономики:

    011514 0340 445 Исследование однопродуктовой макромодели

    В других же случаях магистрали в структуре решения поводится существенная роль.

    В действительности очень редко встречаются случаи, когда
    краевые условия принадлежат магистрали. Рассмотрим общий случай.

    Пусть

    011514 0340 446 Исследование однопродуктовой макромодели

    Для решения этой задачи применим прием, аналогичный рассмотренному при решении задачи, линейной относительно управления. Найдем

    011514 0340 447 Исследование однопродуктовой макромодели

    В реальных экономических задачах минимальный уровень потребления строго положителен:

    011514 0340 448 Исследование однопродуктовой макромодели

    Посмотрим границы 011514 0340 449 Исследование однопродуктовой макромодели, i=
    1, 2, j=0, 1, допустимой области V. Функции 011514 0340 450 Исследование однопродуктовой макромодели являются решениями дифференциального уравнения процесса


    011514 0340 451 Исследование однопродуктовой макромодели (12)

    При соответствующих краевых условиях [если j=0, то берется 011514 0340 452 Исследование однопродуктовой макромодели, если j=1, то используется 011514 0340 453 Исследование однопродуктовой макромодели] и ограничениях на управление (если i=1, то берется нижний предел 011514 0340 454 Исследование однопродуктовой макромодели, если i=
    2, то 011514 0340 455 Исследование однопродуктовой макромодели).

    Рассмотрим пример, когда 011514 0340 456 Исследование однопродуктовой макромодели, Тогда оптимальная траектория будет состоять из трех участков с моментами переключения 011514 0340 457 Исследование однопродуктовой макромодели и 011514 0340 458 Исследование однопродуктовой макромодели где 011514 0340 459 Исследование однопродуктовой макромодели является точкой пересечения границы 011514 0340 460 Исследование однопродуктовой макромодели с магистралью 011514 0340 461 Исследование однопродуктовой макромодели, а 011514 0340 462 Исследование однопродуктовой макромодели
    точкой пересечения магистрали 011514 0340 463 Исследование однопродуктовой макромодели
    с 1раницей 011514 0340 464 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Из рисунка видно, что вначале па временном интервале (0,011514 0340 465 Исследование однопродуктовой макромодели) почти все вкладывается в накопление (потребление в этот период на минимальном уровне 011514 0340 466 Исследование однопродуктовой макромодели). Начиная с 011514 0340 467 Исследование однопродуктовой макромодели развитие идет по магистрали 011514 0340 468 Исследование однопродуктовой макромодели

    вплоть до момента 011514 0340 469 Исследование однопродуктовой макромодели, с которого опять почти все вкладывается в экономику (потребление опять находится на нижнем уровне 011514 0340 470 Исследование однопродуктовой макромодели).

    Найдем решение дифференциального уравнения (12). Учитывая, что f(t)= 011514 0340 471 Исследование однопродуктовой макромодели, получим


    011514 0340 472 Исследование однопродуктовой макромодели (13)

    Перепишем уравнение (13) в виде


    011514 0340 473 Исследование однопродуктовой макромодели (14)

    где 011514 0340 474 Исследование однопродуктовой макромодели

    Введем новую переменную


    011514 0340 475 Исследование однопродуктовой макромодели (15)

    где 011514 0340 476 Исследование однопродуктовой макромодели.

    Так как

    011514 0340 477 Исследование однопродуктовой макромодели

    то имеем


    011514 0340 478 Исследование однопродуктовой макромодели (16)

    Подставляя (16) в дифференциальное уравнение (14), получаем


    011514 0340 479 Исследование однопродуктовой макромодели (17)

    Разделив обе части дифференциального уравнения (17) на 011514 0340 480 Исследование однопродуктовой макромоделии используя соотношение (15), получим


    011514 0340 481 Исследование однопродуктовой макромодели (18)

    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения 011514 0340 482 Исследование однопродуктовой макромодели и частного решения неоднородного уравнения 011514 0340 483 Исследование однопродуктовой макромодели:

    011514 0340 484 Исследование однопродуктовой макромодели

    Найдем общее решение линейного однородного уравнения


    011514 0340 485 Исследование однопродуктовой макромодели (19)

    характеристическим уравнением которого является

    011514 0340 486 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда определим корень характеристического уравнения:

    011514 0340 487 Исследование однопродуктовой макромодели

    Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения (19) примет вид

    011514 0340 488 Исследование однопродуктовой макромодели

    Частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде правой части (18)


    011514 0340 489 Исследование однопродуктовой макромодели (20)

    где В – неопределенный коэффициент, подлежащий определению.

    Дифференцируя (20) его по t, получим

    011514 0340 490 Исследование однопродуктовой макромодели

    Подставим 011514 0340 491 Исследование однопродуктовой макромодели в уравнение (18):

    011514 0340 492 Исследование однопродуктовой макромодели

    После сокращения на 011514 0340 493 Исследование однопродуктовой макромодели получим

    011514 0340 494 Исследование однопродуктовой макромодели

    откуда

    011514 0340 495 Исследование однопродуктовой макромодели

    Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) имеет вид

    011514 0340 496 Исследование однопродуктовой макромодели

    Так как 011514 0340 497 Исследование однопродуктовой макромодели, т.е. 011514 0340 498 Исследование однопродуктовой макромодели, то общее решение дифференциального уравнения (14) будет иметь вид

    011514 0340 499 Исследование однопродуктовой макромодели

    где j=0, 1.

    По определению 011514 0340 500 Исследование однопродуктовой макромодели i=
    1, 2, j=0, 1, являются границами допустимой области 011514 0340 501 Исследование однопродуктовой макромодели и получается как частные решения дифференциального уравнения (14) при замене и на граничные значения 011514 0340 502 Исследование однопродуктовой макромодели, i=
    1, 2,
    011514 0340 503 Исследование однопродуктовой макромодели, j=0, 1, в зависимости от краевого условия, тогда


    011514 0340 504 Исследование однопродуктовой макромодели (21)

    где i=
    1, 2, j=0, 1.

    Найдем интегральные константы 011514 0340 505 Исследование однопродуктовой макромодели, j=0, 1, в зависимости от граничных условий. Так как

    011514 0340 506 Исследование однопродуктовой макромодели

    то

    011514 0340 507 Исследование однопродуктовой макромодели

    Аналогично определяем 011514 0340 508 Исследование однопродуктовой макромодели из граничного условия

    011514 0340 509 Исследование однопродуктовой макромодели

    Получая

    011514 0340 510 Исследование однопродуктовой макромодели

    Найдем точки переключения. Обозначим через 011514 0340 511 Исследование однопродуктовой макромодели, i=
    1, 2, j=0, 1, точки пересечения границ 011514 0340 512 Исследование однопродуктовой макромодели, i=
    1, 2, j=0, 1, с магистралью 011514 0340 513 Исследование однопродуктовой макромодели. Моменты переключения 011514 0340 514 Исследование однопродуктовой макромодели получим, приравняв

    011514 0340 515 Исследование однопродуктовой макромодели

    Используя формулы (7) и (21), получим

    011514 0340 516 Исследование однопродуктовой макромодели

    Отсюда

    011514 0340 517 Исследование однопродуктовой макромодели

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.21MB/0.00073 sec

WordPress: 22.89MB | MySQL:114 | 3,713sec