Эконометрика как наука

<

092713 1511 1 Эконометрика как наука

1.1. Понятие, цели, методы и задачи эконометрики как науки

 

Термин «эконометрика» был впервые введен бухгалтером П. Цьемпой (Австро-Венгрия, 1910 г.) («эконометрия» – у Цьемпы). Цьемпа считал, что если к данным бухгалтерского учета применить методы алгебры и геометрии, то будет получено новое, более глубокое представление о результатах хозяйственной деятельности. Это употребление термина, как и сама концепция, не прижилось, но название «эконометрика» оказалось весьма удачным для определения нового направления в экономической науке, которое выделилось в 1930 г.

Слово «эконометрика» представляет собой комбинацию двух слов: «экономика» и «метрика» (от греч. «метрон»). Таким образом, сам термин подчеркивает специфику, содержание эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Й. Шумпетер (1883—1950), один из первых сторонников выделения этой новой дисциплины полагал, что в соответствии со своим назначением эта дисциплина должна называться «экономометрика».

Советский ученый А.Л. Вайнштейн (1892—1970) считал, что название настоящей науки основывается на греческом слове метрия (геометрия, планиметрия и т.д.), соответственно по аналогии – эконометрия. Однако в мировой науке общеупотребимымстал термин «эконометрика». В любом случае, какой бы мы термин ни выбрали, эконометрика является наукой об измерении и анализе экономических явлении.

Зарождение эконометрики является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения в особый «сплав» трех компонент: экономической теории, статистических и математических методов. Впоследствии к ним присоединилось развитие вычислительной техники как условие развития эконометрики.

В журнале «Эконометрика», основанном в 1933 г. Р. Фришем (1895—1973), он дал следующее определение эконометрики: «Эконометрика — это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек — статистика, экономическая теория и математика — необходимое, но недостаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это — единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».1

Таким образом, эконометрика — это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Нельзя утверждать, что достигнуто однозначное определение эконометрики.

Так, Э. Маленво придерживался широкого понимания, интерпретируя эконометрику как «любое приложение математики или статистических методов к изучению экономических явлений».2

О. Ланге (1904—1965) писал, что эконометрика занимается определением наблюдаемых в экономической жизни конкретных количественных закономерностей, применяя для этой цели статистические методы. Статистический подход к эконометрическим измерениям стал доминирующим.

Согласно Большому Энциклопедическому словарю3, эконометрика – наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Эконометрические методы — это прежде всего методы статистического анализа конкретных экономических данных, естественно, с помощью компьютеров.

В нашей стране они пока сравнительно мало известны, хотя именно в России уже полтора столетия активно работает наиболее мощная (в мире) научная школа в области основы эконометрики – теории вероятностей.

Статистические (эконометрические) методы используются в зарубежных и отечественных экономических и технико-экономических исследованиях, работах по управлению (менеджменту).

Эконометрика — это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С. Фишер и др.).

Основная задача эконометрики — наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения (Л. Клейн).

Основными задачами эконометрики являются: получение наилучших оценок параметров экономико-математических моделей, конструируемых в прикладных целях; проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале; создание универсальных и специальных методов для обнаружения статистических закономерностей в экономике.

Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов (Э. Маленво).

Эконометрика является не более чем набором инструментов, хотя и очень полезных… Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира (Ц. Грилихес).

Объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и с помощью методов математической статистики.

Р. Фриш указывает на то, что эконометрика есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики.

С.А. Айвазян полагает, что эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математика-статистического инструментария придавать количественные выражения качественным зависимостям.

Основные результаты экономической теории носят качественный характер, а эконометрика вносит в них эмпирическое содержание.

Математическая экономика выражает экономические законы в виде математических соотношений, а эконометрика осуществляет опытную проверку этих законов. Экономическая статистика дает информационное обеспечение исследуемого процесса в виде исходных (обработанных) статистических данных и экономических показателей, а эконометрика, используя традиционные математико-статистические и специально разработанные методы, проводит анализ количественных взаимосвязей между этими показателями.

Многие базовые понятия эконометрики имеют два определения — «экономическое» и «математическое». Подобная двойственность имеет место и в формулировках результатов. Характер научных работ по эконометрике варьируется от «классических» экономических работ, в которых почти не используется математический аппарат, до солидных математических трудов, использующих достаточно тонкий аппарат современной математики.

 

1.2. Возникновение эконометрики как науки

 

Каждая наука проходит сложный путь зарождения и выделения в самостоятельную область знания. Эконометрика — не исключение.

Первоначальные попытки количественных исследований в экономике относятся к XVII в. «Политические арифметики» — В. Петти (1623-1667). Г. Кинг (1648-1712), Ч. Давенант (1656—1714) — вот первая когорта ученых, систематически использовавших цифры и факты в своих исследованиях, прежде всего в расчете национального дохода.1

Круг их интересов был связан в основном с практическими вопросами: налогообложением, денежным обращением, международной торговлей и финансам и. Политическую арифметику можно назвать описательным политико-эконометрическим анализом. Это направление пробудило поиск законов в экономике.

Одним из первых был сформулирован так называемый «закон Книга», в котором на основе соотношения между урожаем зерновых и ценами на зерно была выявлена закономерность спроса. Исследователям хотелось достичь в экономике того, что И. Ньютон достиг в физике.

Неопределенная природа экономических закономерностей еще не была осознана. В этот же период все больше учетных данных становятся доступными, создавая основу для измерений.

Существенным толчком явилось развитие статистической теории в трудах Ф. Гальтона (1822-1911), К. Пирсона (1857-1936), Ф. Эджворта (1845—1926).2 Появились первые применения парной корреляции: при изучении связей между уровнем бедности и формами помощи бедным (Дж. Э. Юл, 1895, 1896); между уровнем брачности в Великобритании и благосостоянием (Г. Хукер, 1901), в котором использовалось несколько индикаторов благосостояния, к тому же исследовались временные ряды экономических переменных. Это были шаги по созданию современной эконометрики.

Параллельно происходил процесс создания маржиналистской (неоклассической) теории, зарождение которой можно датировать 60-ми годами XIX о. (появление работ С.Джепонса, Л.Вальраса, К.Менгера).

С 30-х гг. XIX в. страны с наиболее высоким уровнем развития капитализма стали испытывать спорадические потрясения — упадок деловой активности, возникновение массовой безработицы. Эти явления не находили теоретического объяснения. Быстрая индустриализация выявила огромный диапазон социальных проблем, которые также не согласовывались с теорией.

Неоклассическая теория стала восприниматься как слишком удаленная от действительности. Для ее практического значения требовались количественные выражения базовых понятий, таких как «эластичность спроса» или «предельная полезность».

Теория спроса могла стать убедительной в том случае, если она смогла бы объяснить и оценить фактические кривые спроса и предложения, продемонстрировать формирование равновесных цен в конкретных условиях.

К этому же времени относится привлечение ученых-экономистов (А. Маршалла, С. Джепонса, К. Менгера) к парламентской деятельности, что подтолкнуло их к анализу макроэкономических проблем на основе временных рядов таких показателей, как, например, валютные курсы и т.п. Это также явилось важным шагом в подготовке развития эконометрики.

Многие исследователи признают первой работой, которая могла бы быть названа эконометрической, книгу американского ученого Г. Мура (1869—1958) «Законы заработной платы: эссе по статистической экономике» (1911). Г. Муром были проведены анализ рынка труда, статистическая проверка теории производительности Дж. Кларка, а также изложены основы стратегии объединения пролетариата и т. д.1

В это время для США решение этих вопросов было безотлагательным: рабочий класс стремительно рос, возникали такие объединения, как «Индустриальные рабочие мира» и другие радикально настроенные организации. Г. Мур подошел к анализу поставленных проблем с позиций «высшей», как он называл, статистики, используя все достижения теории корреляции, регрессии, анализа динамических рядов. Он стремился показать, что сложные математические построения, наполненные фактическими данными, могли составить основу для разработки социальной стратегии.

К этому же периоду относится первое применение итальянским ученым Р. Бенини (1862 – 1956) метода множественной регрессии для оценки функции спроса. Значительным вкладом в становление эконометрики явились исследования по цикличности экономики.

К. Жюгляр (1819-1905), французский физик, ставший экономистом, первым занялся исследованием экономических временных рядов с целью выделения бизнес-циклоп. Им была обнаружена цикличность инвестиций (продолжительность цикла — 7—11 лет). Вслед за ним С. Китчин, С. Кузнец, Н. Кондратьев, автономно занимаясь этой проблемой, выявили цикличность обновления оборотных средств (3 –5 лет), циклы в строительстве (15 – 20 лет), долгосрочные волны, или «большие циклы» Кондратьева, продолжительностью 45—60 лет.

 

1.3. Модели экономических барометров

 

Значительной вехой в формировании эконометрики явилось построение экономических барометров, прежде всего так называемого гарвардского барометра. Большинство экономических барометров, включая названный, основано на следующей идее: в динамике различных элементов экономики существуют такие показатели, которые в своих изменениях идут впереди других, а потому могут служить предвестниками последних.

Гарвардский барометр был создан под руководством У. Персонса (1878—1937) и У. Митчелла (1874-1948). В течение 1903-1914 гг. он состоял из пяти групп показателей, которые в дальнейшем были сведены в три отдельные кривые: кривая А характеризовала фондовый рынок; кривая В — товарный рынок; кривая С — денежный рынок.

Каждая из этих кривых представляла среднюю арифметическую из рядов входящих в нее нескольких показателей. Эти ряды предварительно статистически обрабатывались путем исключения тенденции, сезонной волны и приведения колебаний отдельных кривых к сравнимому масштабу колеблемости.

В основу прогноза гарвардского барометра было положено свойство каждой отдельной кривой повторять движение остальных в определенной последовательности и с определенным отставанием.

Так, с 1903 г. и до первой мировой войны поворотные пункты кривой А предшествовали поворотным пунктам кривой В на 6—10 месяцев (в среднем — на 8 месяцев); поворотные пункты кривой В обгоняли аналогичные пункты кривой С на 2-8 месяцев (в среднем на 4 месяца); наконец, колебания кривой С предшествовали колебаниям кривой А следующего цикла на 6-12 месяцев.1

Гарвардский барометр представлял собой описание подмеченных эмпирических закономерностей и экстраполяции последних на ближайшие месяцы. Однако в построении гарвардского барометра можно обнаружить и некоторые теоретические предпосылки. Естественно, например, что изменение средних биржевых курсов и показателей фондового рынка (индекс спекуляции А) означало изменение спроса на товары, что влекло за собой, в свою очередь, изменение в том же направлении индекса оптовых цен, объема производства и товарооборота (индекс В). Возрастание, например, объема производства вызывало напряжение на денежном рынке, рост учетной ставки и падение курса ценных бумаг с фиксированным доходом (кривая С). Поэтому максимум кривой А обычно должен был совпадать с минимумом кривой С.

Успех гарвардского барометра породил буквально эпидемию таких построений в других странах (в частности, аналогичный барометр был построен в Великобритании). Несколько лет после первой мировой войны он еще удовлетворительно выполнял свое предназначение.

Но затем гарвардский барометр (приблизительно с 1925 г.) потерял чувствительность и сошел со сцены, пережив свою славу. Авторы гарвардского барометра объясняли его крах появлением мощного регулирующего фактора в экономике США. В этих условиях основным методом макроэкономического анализа становится метод «Затраты-выпуск» В.В. Леонтьева (1906-1999).

Что касается экономических барометров, то советский математик-статистик Е. Слуцкий (1880-1948) в работе «Сложение случайных причин как источник циклических процессов» (1927), взяв в качестве случайных рядов последние цифры номеров облигаций из тиражных таблиц выигрышного займа, блестяще доказал, что сложение случайных причин порождает волнообразные ряды, имеющие тенденцию на протяжении большего или меньшего числа волн имитировать гармонические ряды, сложенные из небольшого числа синусоид».1 Таким образом, никакой закономерности в любом экономическом барометре могло и не существовать.

В этот же период делались эконометрические построения, использующие методы гармонического анализа и периодограмм-анализа (Г.Мур в США, Бэвэридж в Энстром в Швеции) Эти методы перенесены в экономику из области астрономии, метеорологии, физики.

В основе гармонического анализа и периодограмм-анализа лежит теорема Фурье, согласно которой всякая периодическая функция, произвольно данная в некотором промежутке, может быть разложена на ряд простых гармонических колебаний и в конечном счете представлена тригонометрическим рядом вида

y = f(t) = A0 + A1sin(kt + l1) + A2sin(2kt + l2) + … . (1)

Каждое слагаемое представляет здесь синусоиду — формулу простого гармонического колебания (гармонику), где:

А, — полуамплитуда;

li — фаза колебания, т. е. характеризует точку, в которой ордината соответствующей синусоиды имеет нулевое значение;

k — связано с периодом колебания равенством 092713 1511 2 Эконометрика как наука.

 

1.4. Направления развития эконометрики

 

Динамика каждого элемента экономики после исключения из нее тенденции представляется в виде волнообразной кривой. Если бы оказалось возможным эту кривую разложить, хотя бы приближенно, на сумму гармоник, то это дало бы базу для прогноза движения интересующего нас элемента.

Следовательно, задача сводится к нахождению коэффициентов искомого ряда — полуамплитуд А, — по наблюденным значениям, если известны периоды отдельных гармоник. Для отыскания периода колебания Гили связанного с ним k применяется метол псриодограмм-анализа. Он состоит в том, что в качестве первого приближения берутся два первых члена вышеприведенного ряда, т. е. полагают, что y = f(t) = A0 + A1sin(kt + l1), и затем испытывают различные произвольные значения Т (целые и дробные).

Для каждого из испытываемых периодов вычисляются А1 и l1,. Затем строится периодографик или периодограмма, где на оси абсцисс отмечаются периоды, а на оси ординат откладывается А12, или интенсивность ко­лебания, соответствующая этим периодам.

Большей интенсивности колебания отвечает большая вероятность того, что соответствующий ей период колебания не случаен. Затем, выбрав периоды, соответствующие наибольшим интенсивностям, можем представить рассматриваемую волнообразную кривую в виде суммы простых гармоник, имеющих эти периоды, соответствующие А,. Эта сумма может сколь угодно близко подойти к исследуемой кривой. К этому нужно добавить, что при применении гармонического метода и периодограмм-анализа не требуется предварительного исключения тенденции.

К 30-м гг. сложились все предпосылки для выделения эконометрики в отдельную науку.1 Стало ясно, что специалисты, занимающиеся развитием эконометрической науки, должны использовать в той или иной степени математику и статистику. Возникла необходимость появления особого термина, объединяющего все исследования в этом направлении, подобно биометрике — науке, изучающей биологию статистическими методами.

В 1912г. И. Фишер попытался создать группу ученых для стимулирования развития экономической теории путем ее связи со статистикой и математикой. Но тогда эту группу создать не удалось. Тогда Р. Фриш и математик-экономист Ч. Рус обратились с идеей собрать специальный форум экономистов, готовых к использованию математики и статистики.

29 декабря 1930 г. по инициативе И. Фишера (1867—1947), Р. Фриша, Я. Тинбергена (1903-1995). И. Шумпетера, О. Андер-сона (1887-1960) и других ученых на заседании Американской ассоциации развития науки (США, Кливленд, штат Огайо) было создано эконометрическое общество, на котором норвежский ученый Р. Фриш дал новой науке название — «эконометрика».1

С самого начала эконометрическое общество было интернациональным. Уже в 1950 г. общество насчитывало почти 1000 членов. С 1933 г. под редакцией Р. Фриша стал издаваться журнал «Эконометрика» («Econometrica»), который и сейчас играет важную роль в развитии эконометрической науки. В 30—40-е гг. развитию эконометрики способствовала деятельность Департамента прикладной экономики под руководством Р. Стоуна (Великобритания). В 1941 г. появился первый учебник по эконометрике, который был создан Я. Тинбергеном (1913-1994).

В эти годы вплоть до 70-х гг. XX в. эконометрика понималась как эмпирическая оценка моделей, разработанных экономической теорией. Р. Фриш определял соотношение между теорией и данными наблюдений следующим образом: теория, абстрактно формулирующая количественные соотношения, должна быть проверена множеством наблюдений.

Свежие статистические данные и другие факты должны предотвратить теорию от опасного догматизма. Под влиянием лидеров, таких как Р. Фриш, Т. Хаавелмо, Я. Тинберген, Л. Клейн, экономические модели, построенные в этом периоде, всегда были кейнсианскими.

Все изменилось в 70-е гг. В макроэкономике возникли противоречия между кейнсианцами, монетаристами и марксистами. Формальные методы стали использоваться для доказательства причинности при выборе теоретических концепций. Экономическая теория потеряла свое решающее значение.

Другим важным событием стало появление компьютеров с высоким быстродействием и мошной оперативной памятью. Существенное развитие получил статистический анализ временных рядов. Г. Бокс и Г. Дженкинс создали ARIMA-модсль и 1970 г., а К. Симе и другие ученые — VAR-модели, ставшие популярными в начале 80-х гг. Вершиной этой стадии развития явился метод коинтеграции, развитый С. Йохансеном и др. (1990 г.).1

<

В настоящее время эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей — от больших макроэкономических моделей, включающих несколько сот, а иногда и тысяч уравнений, до малых коинтеграционных моделей, предназначенных для решения специфических проблем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ И АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

 

2.1. Характеристика и описание классической вероятностной модели

 

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная задача эконометрики — создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы подгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны.

Математическая статистика является тем универсальным аппаратом, который удачно вписывается в содержание различных эконометрических исследований. Такие ее разделы, как корреляционный и регрессионный анализы, метод наименьших квадратов и прогнозирование, как нельзя лучше подходят для выявления статистических закономерностей в экономике.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связи между большим числом взаимодействующих экономических явлений как между случайными величинами. Его применение делает возможным проверку различных экономических гипотез о наличии и силе связи между двумя величинами или группой величин. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом, задача которого состоит в экспериментальном определении параметров корреляционных зависимостей, между экономическими показателями путем наблюдения за характером их изменения. Одним из основных методов регрессионного анализа является метод наименьших квадратов.

Модели, полученные с помощью регрессионного анализа, позволяют прогнозировать варианты развития экономических процессов и явлений, изучить тенденции изменения экономических показателей, т.е. служат инструментом научно-обоснованных предсказаний. Результаты прогноза являются исходным материалом для постановки реальных экономических целей и задач, для выявления и принятия наилучших управленческих решений, для разработки хозяйственной и финансовой стратегий в будущем.

Как составная часть математической экономики, эконометрика вполне естественно вписывается в общий алгоритм экономико-математических исследований. Эконометрические исследования начинаются после того, как

  1. определен общий вид математической модели с неизвестными параметрами;
  2. собраны все необходимые статистические данные, имеющие отношение к оцениваемым параметрам;
  3. поставлена задача отыскания значений неизвестных параметров, обеспечивающих наилучшее приближение модельных значений к их значениям, наблюдавшимся в действительности.

    Пусть существо реального явления описывается выборкой x1 , x2 , …, xn . В вероятностной теории математической статистики, выборка – это набор независимых в совокупности одинаково распределенных случайных величин. Однако беспристрастный и тщательный анализ подавляющего большинства реальных задач показывает, что статистику известна отнюдь не выборка x1 , x2 , …, xn , а величины

    yj = xj + 092713 1511 3 Эконометрика как наукаj , j = 1, 2, … , n , (2)

    где 092713 1511 4 Эконометрика как наука некоторые погрешности измерений, наблюдений, анализов, опытов, исследований (например, инструментальные ошибки).

    Одна из причин появления погрешностей — запись результатов наблюдений с конечным числом значащих цифр. Дело в том, что для случайных величин с непрерывными функциями распределения событие, состоящее в попадании хотя бы одного элемента выборки в множество рациональных чисел, согласно правилам теории вероятностей имеет вероятность 0, а такими событиями в теории вероятностей принято пренебрегать. Поэтому при рассуждениях о выборках из нормального, логарифмически нормального, экспоненциального, равномерного, гамма — распределений, распределения Вейбулла-Гнеденко и др. приходится принимать, что эти распределения имеют элементы исходной выборки x1 , x2 , …, xn , в то время как статистической обработке доступны лишь искаженные значения yj = xj + 092713 1511 5 Эконометрика как наукаj.

    Введем обозначения

    x = (x1 , x2 , …, xn ), y = (y1 , y2 , …, yn ), , (3)


    092713 1511 6 Эконометрика как наука , (4)

    Пусть статистические выводы основываются на статистике 092713 1511 7 Эконометрика как наука используемой для оценивания параметров и характеристик распределения, проверки гипотез и решения иных статистических задач. Принципиально важная для статистики интервальных данных идея такова: СТАТИСТИК ЗНАЕТ ТОЛЬКО f(y), НО НЕ f(x).

    Очевидно, в статистических выводах необходимо отразить различие между f(y) и f(x). Одним из двух основных понятий статистики интервальных данных является понятие нотны.

    Величину максимально возможного (по абсолютной величине) отклонения, вызванного погрешностями наблюдений 092713 1511 8 Эконометрика как наука, известного статистику значения f(y) от истинного значения f(x), т.е.

    Nf(x) = sup | f(y) — f(x) | ,, (5)

    где супремум берется по множеству возможных значений вектора погрешностей 092713 1511 9 Эконометрика как наука , будем называть НОТНОЙ..

    Если функция f имеет частные производные второго порядка, а ограничения на погрешности имеют вид

    092713 1511 10 Эконометрика как наука  (6)

    092713 1511 11 Эконометрика как наука, (7)

     

    причем 092713 1511 12 Эконометрика как наукамало, то можно показать, что нотна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеет вид

    Условие (1) означает, что исходные данные представляются статистику в виде интервалов 092713 1511 13 Эконометрика как наука (отсюда и название этого научного направления). Ограничения на погрешности могут задаваться разными способами — кроме абсолютных ошибок используются относительные или иные показатели различия между x и y.

    В классической вероятностной модели имеют элементы исходной выборки x1 , x2 , …, xn рассматриваются как независимые одинаково распределенные случайные величины. Как правило, существует некоторая константа C > 0 такая, что в смысле сходимости по вероятности

    092713 1511 14 Эконометрика как наука          (8)

    Соотношение (8) доказывается отдельно для каждой конкретной задачи.

    При использовании классических эконометрических методов в большинстве случаев используемая статистика f (x) является асимптотически нормальной. Это означает, что существуют константы а и 092713 1511 15 Эконометрика как наука такие, что

    092713 1511 16 Эконометрика как наука, (9)

    где 092713 1511 17 Эконометрика как наука функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При этом обычно оказывается, что

    092713 1511 18 Эконометрика как наука, (10)

    и

    092713 1511 19 Эконометрика как наука, (11)

    а потому в классической эконометрике средний квадрат ошибки статистической оценки равен

    092713 1511 20 Эконометрика как наука, (12)

    с точностью до членов более высокого порядка.

    В статистике интервальных данных ситуация совсем иная — обычно можно доказать, что средний квадрат ошибки равен

    092713 1511 21 Эконометрика как наука          (13)

    Из соотношения (13) можно сделать ряд важных следствий. Прежде всего отметим, что правая часть этого равенства, в отличие от правой части соответствующего классического равенства, не стремится к 0 при безграничном возрастании объема выборки. Она остается больше некоторого положительного числа, а именно, квадрат нотны. Следовательно, статистика f(x) не является состоятельной оценкой параметра a. Более того, состоятельных оценок вообще не существует.

    Пусть доверительным интервалом для параметра a, соответствующим заданной доверительной вероятности 092713 1511 22 Эконометрика как наука, в классической математической статистике является интервал 092713 1511 23 Эконометрика как наука В статистике интервальных данных аналогичный доверительный интервал является более широким. Он имеет вид 092713 1511 24 Эконометрика как наукаТаким образом, его длина увеличивается на две нотны. Следовательно, при увеличении объема выборки длина доверительного интервала не может стать меньше, чем 092713 1511 25 Эконометрика как наука (см. формулу (12)).

    В статистике интервальных данных методы оценивания параметров имеют другие свойства по сравнению с классической математической статистикой. Так, при больших объемах выборок метод моментов может быть заметно лучше, чем метод максимального правдоподобия (т.е. иметь меньший средний квадрат ошибки — см. формулу (13)), в то время как в классической математической статистике второй из названных методов всегда не хуже первого.

     

    2.2. Основные аксиомы теории вероятности

     

    Одним из основных понятий является — случайное событие.

    Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

    Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

    Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.

    Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

    Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество
    092713 1511 26 Эконометрика как наукавсех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент 092713 1511 27 Эконометрика как наука  (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества 092713 1511 28 Эконометрика как наука  и является случайным событием, т. е. любое событие А – это подмножество множества 092713 1511 29 Эконометрика как наука: А
    092713 1511 30 Эконометрика как наука092713 1511 31 Эконометрика как наука..

    В общем случае, если множество 092713 1511 32 Эконометрика как наукасодержит n элементов, то в нем можно выделить 2n подмножеств (событий).

    Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

    Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

    Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается 092713 1511 33 Эконометрика как наука).

    Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.

    Вероятность события А  обозначается P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:

    092713 1511 34 Эконометрика как наука

    (14)

    092713 1511 35 Эконометрика как наука

    (15)

     
     

     Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai 092713 1511 36 Эконометрика как наукаAj = 092713 1511 37 Эконометрика как наука, то

     
     

    092713 1511 38 Эконометрика как наука

    (16)

     
     

    где 092713 1511 39 Эконометрика как наука— знак логического сложения событий, 092713 1511 40 Эконометрика как наука– пустое множество (отсутствие событий).

    Аксиома (3)  обобщается на любое  число несовместных событий { Аi }n
    i=1 :

    092713 1511 41 Эконометрика как наука

    (17)

     
     

     
     

     

    Частотное определение вероятности любого события А:

    092713 1511 42 Эконометрика как наука

    (18)

     представляет отношение числа случаев (mA), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.

    При неограниченном возрастании числа n наблюдается статистическое упорядочение, когда частота события А (выборочная оценка) все меньше изменяется и приближается к постоянному значению —  вероятности события А.

     В теории вероятностей каждому событию A ставится в соответствие определенное число P(A) , которое называется вероятностью события A . Потребуем, чтобы вероятность удовлетворяла следующим аксиомам:

    1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей 0£P(A)£1;

    2) Вероятность известного события равна единице P(W)=1;

    3) Вероятность невозможного события равна нулю P(Q)=0;

    4) Аксиома сложения: если A и B — несовместные события, то: P(A+B)=P(A)+P(B);

        5) Аксиома умножения P(A*B)=P(A)*P(B½A),

    где P(B½A) — условная вероятность, т.е. вероятность события B, определяемая при условии, что событие A уже наступило.

    Отметим некоторые следствия, вытекающие из этих аксиом:

  4. Если события A1,A2,…,An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице


    n

    å P(Ai)=1

                         i=1

    2) Сумма вероятностей противоположных событий равна единице P(A)+P(Â)=1.

    События A и B называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависят от того, наступило или нет другое событие. Это значит, что P(B½A)=P(B) , P(A½B)=P(A), и аксиома умножения принимает вид P(A*B)=P(A)*P(B)

    События A1,A2,…,An называются независимыми в совокупности , если каждое из этих событий и любая комбинация остальных являются независимыми событиями, т.е. если

    P(Ar1½Ak2,Ak3,…,Akm)=P(Ak1),

    где Ak1,Ak2,…,Akn — любые из рассматриваемых событий.

    Теорема умножения вероятностей.     Применяя n-1 раз теорему умножения, получим P(A1,A2,…,An)=P(An½A1,A2,…,An-1), т.е. вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий, определяемых при условии, что наступили все предыдущие события. В случае несовместных событий теорема умножения вероятностей упрощается и записывается в виде P(A1,A2,…,An)=P(A1)*P(A2)*…*P(An), т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

    Теорема сложения вероятностей.
    Если A и B — произвольные события, то P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Аналогично вероятность суммы любого числа совместных событий вычисляется по формуле:

     

     

             n
    n-1    

    P( å Ai ) = å P(Ai ) — å P(Ai,Aj) + å P(AiAjAk) — … + (-1) P(A1,A2,…,An). , (19)

             i=1
    i i,j     i,,j,k

    Если события A1,A2,…,An совместны, но независимы, то

                         n     n    

    P( å Ai) = 1 — Õ P(Âi). , (20)

                         i=1     i=1

    Пусть события E1,E2,…,En образуют полную группу, тогда

                      n    


    å P(Ei) = 1.    
    (21)

                     i+1    

    Предположим, что некоторое событие A является суммой произвольного числа m элементарных событий A=Ek1+Ek2+…+Ekm . Т.к. события Ek1,Ek2,…,Ekm несовместны, то по аксиоме сложения вероятностей

                         m    

                P(A) = å P(Eki) , (22)

                             i=1     

    Если все элементарные события равновероятны то вероятность каждого из них равна

    P(E1)=P(E2)=…=P(En)=1/n, (23)

    Отсюда непосредственно вытекает так называемая классическая формула вычисления вероятности события : если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события A вычисляется как отношение числа случаев, благоприятных событию A к общему числу случаев P(A)=m/n .

    Формула полной вероятности. Если событие A может наступить лишь при условии, что наступит одно из событий H1,H2,…,Hn, образующих полную группу событий ( обязательно не совместных ) , и называемых гипотезами, то P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события A при этой гипотезе        


    n        

    P(A) = å P(Hi)*P(A½Hi). , (24)

                     i=1

    Формула Байеса (теорема гипотез). Пусть имеется полная группа несовместных событий H1,H2,…,Hn . Вероятности этих гипотез до опыта до опыта известны и равны соответственно P(H1),P(H2),…,P(Hn) . Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события A . Тогда вероятность гипотезы Hj в связи с появлением этого события следует пересчитать по формуле

     

    P(Hj)*P(A½Hj)

    P(Hi½A) = j=1,n.


    å P(Hi)*P(A½Hi)    

                     i=1

    Теоремы о повторении опытов. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может наступить некоторое событие A, причем P(A)=p, P(Â)=q, p+q=1. Вероятность элементарного события, состоящего в том, что в результате n опытов событие A наступит ровно k раз и следовательно не наступит n-k раз, по теореме умножения, вероятность независимых событий равна pkqn-k . Но всех таких элементарных событий столько сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементам, т.е. Cnk . Эти события не совместны, сумма их событие, состоящее в том, что событие A настанет k раз в произвольном порядке. Применяя к этой сумме теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получаем формулу Бернулли, являющуюся математической записью частной теоремы о повторении опытов

    Pn(k) = Cnkpkqn-k, , (25)

    где Pn(k) — вероятность того, что в результате n независимых опытов событие A наступит k раз и не наступит n-k раз. Если опыты проводятся до первого наступления события A, то вероятность того что опыт придется повторить n раз равна

    P(n)=qn-1p . , (26)

    На практике часто приходится встречаться со случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, если производится рад выстрелов по мешеным с различной вероятностью поражения. Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или не появится некоторое событие A, причем вероятность появления события A в i-ом опыте равна pi, а вероятность Pm,n того что в результате n опытов событие A появится ровно m раз равна коэффициенту при Zm в вырождении производящей функции

                     n     n    

    jn(Z) = Õ (qi+piZ) = å Pm,n Zm . , (27)

                     i=1     m=0

    Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики     случайных величин. Нормальное распределение вероятностей. Случайные векторы и их     законы распределения. Числовые характеристики случайных векторов. Нормальный закон распределения для случайных векторов.

    Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно. Различают случайные величины прерывного ( дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения дискретных величин могут быть заранее перечислены. Возможное значение непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

    Законом распределения
    случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания этого закона является таблица

    xi

    x1

    x2

    xn

    pi

    p1

    p2

    pn

    Такая таблица называется рядом распределения. Для полной характеристики распределения вероятностей случайных величин удобно пользоваться не вероятностью события X = x, а вероятностью события X Ì x , где X — значение случайной величины в данном опыте, а x — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция от x. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

    F(x)=P(X Ì x). , (28)

    Функция распределения является более универсальной характеристикой случайной величины, т.к. в отличие от ряда распределения, она существует и для непрерывных случайных величин.

        Функция распределения обладает следующими свойствами:

        1) 0£F(x)£1 , —¥<x, (29)

        2) F(-¥)=0

        3) F(¥)=1

        4) F(x’)£F(x»), для любых x’<x».

    Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке P(a£x£b) = F(b)-F(a).

                 P(x<X<x+Ùx)

    Предел f(x) = lim ¾¾¾¾¾¾¾ ,

                     Ùx    

     

    если он существует, называется плотностью вероятности случайной величины X . Если существует F'(x), то

                         F(x+Dx)-F(x)     

    f(x) = lim ¾¾¾¾¾
    ¾¾¾ = F'(x). , (30)

                             Dx

    Следовательно плотность вероятности равна производной от функции распределения .

    т.к. F(-¥)=0, то


    b
    b

    F(x) = F(x) — F(-¥) = ò F'(x) dx = ò f(x) dx. , (31)


    a     a    

        Плотность вероятности удовлетворяет следующим условиям

        1) f(x) ³ 0 , —¥ < x < ¥

         ¥    

        2) ò f(x) dx =1 (условие нормировки).

         ¥

    Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от a до b через плотность вероятности

                             b

    P(a £ x £ b) = ò f(x) dx . , (32)

                             a    

    Назначение числовых характеристик
    случайных величин — выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений n

                             n    

    M[x] = mx = å xipi . , (33)

                             i=1

        Для непрерывной случайной величины математическое ожидание выражается интегралом

                             ¥    

    M[x] = mx = ò x f(x) dx. , (34)

                         ¥        

        Наряду с математическим ожиданием для приближенного описания случайных величин используются моменты. Начальным моментом k-ого порядка дискретной случайной величины xk , т.е.

                                 n k    

    nx [x] = M[xk] = å xipi , (35)

                                 i=1    

     

    Для непрерывной случайной величины начальным моментом k-ого порядка называется интеграл

                     ¥    

    nx [x] = M[xk] = ò xk f(x) dx, (36)

                         ¥    

    Центрированной случайной величиной, соответствующей величине x, называется отклонение случайной величины x от ее математического ожидания X = x — mx . Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Центральным моментом порядка k случайной величины x называется математическое ожидание k — ой степени соответствующей центрированной случайной величины

    mk[x] = M[Xk] = M[(x-mx)k] . , (37)

    Для дискретной случайной величины k — ый центральный момент выражается суммой        


    n                    

    mk = å (xi — mx)k pi , , (38)

                 i=1    

    а для непрерывной – интегралом


    ¥

    mk =
    ò (xi — mx)k f(x) dx . , (39)

                     ¥

    Особо важная роль принадлежит центральному моменту второго порядка, который называется дисперсией случайной величины x и обозначается D[x] или Dx . Дисперсию случайной величины можно также вычислить как разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. Dx = M[x2] — M2[x] . Для описания степени рассеяния случайной величины x кроме дисперсии иногда используют величину sx = ÖDx , где sx — среднее квадратическое отклонение случайной
    величины x.

     


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.01MB/0.00135 sec

WordPress: 24.41MB | MySQL:122 | 1,612sec