Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии » Буквы.Ру Научно-популярный портал<script async custom-element="amp-auto-ads" src="https://cdn.ampproject.org/v0/amp-auto-ads-0.1.js"> </script>

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

<

092613 0133 1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии1. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить ее двумя способами:

1) методом Крамера;

2) средствами матричного исчисления.

092613 0133 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Решение.

Запишем систему в матричной форме

092613 0133 3 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 4 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 5 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 6 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии— расширенная матрица.

Получим 092613 0133 7 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы 092613 0133 8 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии равнялся рангу расширенной матрицы этой системы 092613 0133 9 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, т.е. 092613 0133 10 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Найдем ранг матрицы 092613 0133 11 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 12 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{умножим 2-ю строку на -2 и прибавим к 1-й строке}~ ~092613 0133 13 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{умножим 1-ю строку на -2 и прибавим к 2-й строке, умножим 1-ю строку на -1 и прибавим к 3-й строке}~092613 0133 14 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{сократим 3-ю строку на -4}~ ~092613 0133 15 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{умножим 3-ю строку на 10 и прибавим к 2-й строке}~ ~092613 0133 16 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{умножим 2-ю строку на 3 и прибавим к 3-й строке }~092613 0133 17 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

В этой расширенной матрице есть минор 3-го порядка, определитель которого не равен 0, например

092613 0133 18 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Значит, 092613 0133 19 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как в расширенной матрице содержится матрица 092613 0133 20 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то 092613 0133 21 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Следовательно, система линейных алгебраических уравнений, совместна, т.е. имеет решение.

1) методом Крамера;

Если определитель 092613 0133 22 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии матрицы системы 092613 0133 23 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии отличен от нуля, то система имеет единственное решение 092613 0133 24 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, определяемое формулами Крамера 092613 0133 25 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, где 092613 0133 26 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — определитель матрицы 3 -го порядка, полученной из матрицы 092613 0133 27 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии системы заменой 092613 0133 28 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии— го столбца столбцом правых частей 092613 0133 29 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как после элементарных преобразований определитель матрицы не изменяется, то

092613 0133 30 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 31 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 32 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 33 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Тогда решение системы 092613 0133 34 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 35 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 36 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 3,-1,0.

2) средствами матричного исчисления.

Матричное уравнение 092613 0133 37 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, можно решить также

092613 0133 38 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 39 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

где 092613 0133 40 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — обратная матрица, а 092613 0133 41 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — алгебраическое дополнение.

092613 0133 42 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 43 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 44 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 45 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 46 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 47 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 48 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 49 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 50 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 51 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда получим

092613 0133 52 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Сделаем проверку

092613 0133 53 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Тогда решение уравнения найдется

092613 0133 54 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 3,-1,0.

 

 

 

 

 

 

 

11. Даны координаты вершин пирамиды 092613 0133 55 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребер;

2) угол между ребрами 092613 0133 56 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 57 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

3) площадь грани 092613 0133 58 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

4) объем пирамиды.

092613 0133 59 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 60 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 61 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 62 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

1) длину ребер найдем по формуле расстояние между двумя точками 092613 0133 63 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 64 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
092613 0133 65 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 66 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 67 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 68 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 69 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 70 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 71 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

2) угол между ребрами 092613 0133 72 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 73 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Найдем как угол между векторами 092613 0133 74 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 75 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 76 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 77 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 78 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 79 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 80 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда

092613 0133 81 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

3) площадь грани 092613 0133 82 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Площадь грани найдем по формуле 092613 0133 83 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 84 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 85 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 86 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 87 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 88 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 89 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

4) объем пирамиды.

Объем пирамиды найдем по формуле 092613 0133 90 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 91 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 92 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 93 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Составим определитель из координат этих векторов и вычислим его:

092613 0133 94 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Так как определитель не равен 0, то векторы не являются компланарными.

Найдем объем пирамиды, построенной на этих векторах:

092613 0133 95 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

21. Доказать, что векторы 092613 0133 96 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии линейно независимы и найти разложение вектора 092613 0133 97 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии по векторам 092613 0133 98 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 99 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 100 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 101 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 102 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

092613 0133 103 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — система из трех векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства 092613 0133 104 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, достаточно доказать ее линейную независимость.

Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы 092613 0133 105 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 106 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Определитель Δ≠0, следовательно 092613 0133 107 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства 092613 0133 108 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Для нахождения координат вектора 092613 0133 109 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в этом базисе, разложим вектор 092613 0133 110 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии по базису

092613 0133 111 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Найдем 092613 0133 112 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — координаты вектора 092613 0133 113 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в этом базисе.

Решим эту систему методом Гаусса.

092613 0133 114 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{умножим 2-ю строку на -2 и прибавим к 3-й строке}~092613 0133 115 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~ ~{умножим 3-ю строку на -1 и прибавим к 1-й строке}~092613 0133 116 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии~{множим 1-ю строку на 2 и прибавим к 2-й строке}~092613 0133 117 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда получим 092613 0133 118 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 119 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 120 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Вектор 092613 0133 121 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в базисе 092613 0133 122 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии имеет координаты 092613 0133 123 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 092613 0133 124 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31. Даны вершины треугольника ABC. Найти

1) общее уравнение стороны AB;

2) длину стороны BC;

3) уравнение высоты, опущенной из вершины A;

4) систему неравенств, определяющих треугольник ABC.

092613 0133 125 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 126 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 127 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

1) Напишем уравнение прямой AB, воспользуемся уравнение проходящей через две точки 092613 0133 128 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 129 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 130 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 131 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — уравнение стороны AB.

2) Длину стороны BC найдем, используя формулу расстояния между двумя точками 092613 0133 132 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 133 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

3) Высота 092613 0133 134 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии это перпендикуляр к основанию BC. Напишем уравнение BC, воспользуемся уравнение проходящей через две точки 092613 0133 135 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 136 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 137 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 138 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 139 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 140 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 141 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — уравнение стороны BC.

Так прямые перпендикулярные, используем свойство перпендикулярности 092613 0133 142 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 143 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Высота проходит через вершину A, то 092613 0133 144 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 145 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 146 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — уравнение высоты, опущенной из вершины A.

4) сторона AB: 092613 0133 147 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

сторона BC: 092613 0133 148 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

сторона AC: 092613 0133 149 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 150 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 151 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда область треугольника задается системой неравенств.

092613 0133 152 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Дифференциальное исчисление.

 

 

41. Не применяя правило Лопиталя, найти пределы функций:

а) 092613 0133 153 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; б) 092613 0133 154 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; в) 092613 0133 155 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; г) 092613 0133 156 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

а) 092613 0133 157 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Предел имеет неопределенность вида 092613 0133 158 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Из числителя и знаменателя вынесем за скобки переменную наибольшей степенью. Тогда

092613 0133 159 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как 092613 0133 160 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 161 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 162 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

б) 092613 0133 163 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Предел имеет неопределенность вида 092613 0133 164 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Умножим числитель и знаменатель на 092613 0133 165 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 166 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

в) 092613 0133 167 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Предел имеет неопределенность вида 092613 0133 168 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Используя формулу тригонометрии, представим 092613 0133 169 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 170 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как по 1-му замечательному пределу 092613 0133 171 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 172 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

г) 092613 0133 173 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Предел имеет неопределенность вида 092613 0133 174 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Представим предел в виде

092613 0133 175 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как по 2-му замечательному пределу 092613 0133 176 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то получим

092613 0133 177 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

51. Найти точки разрыва функции, если они существует, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

092613 0133 178 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Решение.

Данная функция определена на всей числовой оси. Задается тремя различными формулами для интервалов 092613 0133 179 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 180 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 181 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, может иметь разрывы в точках 092613 0133 182 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 183 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Найдем односторонние пределы в точке 092613 0133 184 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 185 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 186 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

В точке 092613 0133 187 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии функция конечные односторонние пределы равные между собой, то в точке 092613 0133 188 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии функция имеет устранимый разрыв.

Найдем односторонние пределы в точке 092613 0133 189 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 190 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 191 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

В точке 092613 0133 192 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии функция конечные односторонние пределы не равные между собой 092613 0133 193 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Следовательно, в точке 092613 0133 194 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии имеет разрыв I рода, скачок 092613 0133 195 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 196 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

61. Найти производные 092613 0133 197 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии данных функций.

а) 092613 0133 198 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; б) 092613 0133 199 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; в) 092613 0133 200 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; г) 092613 0133 201 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

а) 092613 0133 202 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

Для вычисления производной этой функции используем производную сложной функции 092613 0133 203 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Также производную функций 092613 0133 204 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 205 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

б) 092613 0133 206 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

Воспользуемся свойством 092613 0133 207 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, производную сложной функции 092613 0133 208 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, а так же производные формул 092613 0133 209 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 210 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 211 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

в) 092613 0133 212 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

Для вычисления производной этой функции используем производную сложной функции 092613 0133 213 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, так же производные 092613 0133 214 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 215 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

<

092613 0133 216 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

г) 092613 0133 217 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Для вычисления производной этой функции используем 092613 0133 218 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии производную сложной функции 092613 0133 219 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и производную степенной функции 092613 0133 220 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 221 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

71. Из куска проволоки длиной l согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.

Решение.

Пусть ширина прямоугольника равна 092613 0133 222 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, а длина 092613 0133 223 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. По условии задачи 092613 0133 224 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда 092613 0133 225 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Площадь прямоугольника 092613 0133 226 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Найдем критические точки.

Вычислим производную 092613 0133 227 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда 092613 0133 228 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 229 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Ширина прямоугольника принадлежит промежутку 092613 0133 230 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 231 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 232 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 233 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Длина прямоугольника равна 092613 0133 234 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Получим при ширине и длине прямоугольника равной 092613 0133 235 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, площадь наибольшая равная 092613 0133 236 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

81. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить график.

092613 0133 237 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

1) Область определения. Так как функция определена при всех значения 092613 0133 238 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то 092613 0133 239 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

2) Четность и нечетность. 092613 0133 240 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Функция четная.

3) Пересечения с осями координат.

С осью Ox: 092613 0133 241 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Точки 092613 0133 242 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 243 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

С осью Oy: 092613 0133 244 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 245 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Точка 092613 0133 246 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

4) Промежутки монотонности и точки экстремума.

092613 0133 247 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 248 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 249 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

Получим 092613 0133 250 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 251 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 252 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 253 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 254 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 255 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Функция возрастает 092613 0133 256 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 257 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, убывает 092613 0133 258 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 259 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Точка 092613 0133 260 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии минимума.

5) Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

092613 0133 261 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 262 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 263 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

Сделаем замену 092613 0133 264 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Получим 092613 0133 265 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 266 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

Тогда 092613 0133 267 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 268 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Получим 092613 0133 269 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, т.е. 092613 0133 270 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 271 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, т.е. 092613 0133 272 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 273 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Функция выпуклая 092613 0133 274 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 275 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, вогнутая 092613 0133 276 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 277 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 278 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Точки перегиба 092613 0133 279 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 280 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 281 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 282 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

6) Асимптот 092613 0133 283 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии нет, так как

092613 0133 284 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

7) Построим график.

092613 0133 285 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

 

91. Найти частные производные функций.

092613 0133 286 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Вычислим производную по 092613 0133 287 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, считая 092613 0133 288 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда

092613 0133 289 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Вычислим производную по 092613 0133 290 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, считая 092613 0133 291 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда

092613 0133 292 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

101. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

092613 0133 293 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 294 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 295 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 296 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Построим проекцию области на плоскости 092613 0133 297 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

092613 0133 298 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

Так как функция 092613 0133 299 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии— всюду дифференцируемая, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения либо в стационарных точках (т.е. в точках, где 092613 0133 300 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 301 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии) либо в точках, находящихся на границе области. Найдем стационарные точки функции.

092613 0133 302 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Точка 092613 0133 303 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрииявляется стационарной. Эта точка принадлежит области 092613 0133 304 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 305 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Найдем наибольшее и наименьшее значения на границе области 092613 0133 306 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Для этого разобьем границу на части: 1) 092613 0133 307 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 2) 092613 0133 308 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 3) 092613 0133 309 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

1) 092613 0133 310 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Подставим 092613 0133 311 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в 092613 0133 312 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 313 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Далее исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение как функцию одной неизвестной 092613 0133 314 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 315 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 316 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Критическая точка 092613 0133 317 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии принадлежит 092613 0133 318 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Вычислим значение функции 092613 0133 319 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в критических точках и на концах отрезка

092613 0133 320 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии(наибольшее),

092613 0133 321 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наименьшее),

092613 0133 322 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

2) 092613 0133 323 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Подставим 092613 0133 324 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в 092613 0133 325 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 326 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Далее исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение как функцию одной неизвестной 092613 0133 327 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 328 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 329 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Критическая точка 092613 0133 330 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии принадлежит 092613 0133 331 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Вычислим значение функции 092613 0133 332 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в критических точках и на концах отрезка

092613 0133 333 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наибольшее),

092613 0133 334 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наименьшее),

092613 0133 335 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

3) 092613 0133 336 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Подставим 092613 0133 337 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в 092613 0133 338 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим

092613 0133 339 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Далее исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение как функцию одной неизвестной 092613 0133 340 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии:

092613 0133 341 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 342 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Критическая точка 092613 0133 343 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии принадлежит 092613 0133 344 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Вычислим значение функции 092613 0133 345 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в критических точках и на концах отрезка

092613 0133 346 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наибольшее),

092613 0133 347 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наибольшее),

092613 0133 348 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии (наибольшее).

Далее выбираем из всех полученных значений самое наименьшее и самое наибольшее:

092613 0133 349 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, при 092613 0133 350 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 351 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии— точка 092613 0133 352 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 353 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, при 092613 0133 354 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 355 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — точка 092613 0133 356 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, при 092613 0133 357 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 358 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — точка 092613 0133 359 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, при 092613 0133 360 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 361 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии — точка 092613 0133 362 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 092613 0133 363 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 364 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111. Найти неопределенные интегралы.

а) 092613 0133 365 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; б) 092613 0133 366 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

а) 092613 0133 367 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как 092613 0133 368 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то получим интеграл 092613 0133 369 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Сделаем замену 092613 0133 370 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то получим

092613 0133 371 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Разложим дробь 092613 0133 372 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии на сумму простых дробей 092613 0133 373 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 374 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 375 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда

092613 0133 376 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Получим 092613 0133 377 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда интеграл равен

092613 0133 378 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как 092613 0133 379 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 380 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то получим

092613 0133 381 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Сделаем обратную замену

092613 0133 382 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

б) 092613 0133 383 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Интегрируем по частям 092613 0133 384 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Обозначим 092613 0133 385 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 386 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда 092613 0133 387 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 388 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Получим

092613 0133 389 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Используем табличный интеграл 092613 0133 390 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 391 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

121. Вычислить определенный интеграл

092613 0133 392 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Интегрируем по частям 092613 0133 393 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Обозначим 092613 0133 394 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 395 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда

092613 0133 396 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 397 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда получим

092613 0133 398 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Снова интегрируем по частям. Обозначим 092613 0133 399 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 400 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда

092613 0133 401 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии и 092613 0133 402 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда получим

092613 0133 403 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Ответ: 092613 0133 404 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

131. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

092613 0133 405 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Подынтегральная функция не определена в точке 092613 0133 406 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда представим несобственный интеграл в виде

092613 0133 407 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Так как 092613 0133 408 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, то получим 092613 0133 409 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 092613 0133 410 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

141. Решить дифференциальные уравнения

092613 0133 411 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Представим уравнение в виде 092613 0133 412 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 413 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Это однородное уравнение. Для решения сделаем замену 092613 0133 414 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, тогда 092613 0133 415 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Получим уравнение

092613 0133 416 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 417 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 418 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 419 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

092613 0133 420 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Интегрируем 092613 0133 421 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда 092613 0133 422 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 423 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 424 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Сделаем обратную замену, получим 092613 0133 425 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 092613 0133 426 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

151. Найти область сходимости ряда

092613 0133 427 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Найдем радиус сходимости по признаку Даламбера 092613 0133 428 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Тогда

092613 0133 429 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тогда ряд сходится на интервале 092613 0133 430 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, т.е. 092613 0133 431 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Исследуем на сходимость на концах интервала.

При 092613 0133 432 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим ряд 092613 0133 433 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Исследуем на сходимость по признаку Лейбница.

1) 092613 0133 434 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии;

2) 092613 0133 435 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 436 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, 092613 0133 437 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, при 092613 0133 438 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Следовательно, ряд 092613 0133 439 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии сходится.

При 092613 0133 440 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, получим ряд 092613 0133 441 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Сравним этот ряд с рядом 092613 0133 442 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 092613 0133 443 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Значит, если ряд 092613 0133 444 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии сходится, то сходится и ряд 092613 0133 445 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, и если ряд 092613 0133 446 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии расходится, то расходится и ряд 092613 0133 447 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ряд 092613 0133 448 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии является гармоническим и он расходится.

Следовательно, ряд 092613 0133 449 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии расходится.

Значит, исходный ряд сходится на интервале 092613 0133 450 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Ответ: 092613 0133 451 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

161. Разложить в ряд Маклорена

092613 0133 452 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
092613 0133 453 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Решение.

Ряд Маклорена имеет вид

092613 0133 454 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Найдем производные в точке 092613 0133 455 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

092613 0133 456 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 457 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 458 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 459 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 460 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 461 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 462 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

….

092613 0133 463 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

092613 0133 464 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

….

Тогда получим

092613 0133 465 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

  1. Горчаков А.А., Орлова И.В. Высшая математика. –М.: ЮРИТИ, 2005.
  2. Информатика и математика для юристов (информационные системы): Учебное пособие / Под ред. проф. В.Д. Элькина. — М.: Профобразование, 2008.
  3. Информатика и математика для юристов. Сеть Интернет: Учебное пособие. / Под ред. проф. В.Д. Элькина. — М.: Профобразование, 2007.
  4. Информатика для юристов и экономистов / Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2008.
  5. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. –М.: ЮНИТИ, 2009.
  6. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по высшей математике. –М.: Экономическое образование, 2008.
  7. Четыркин Е.М. Высшая математика. –М.: Дело, 2010.

     

     

     

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 22.89MB | MySQL:120 | 2,082sec