Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

<

063015 1639 1 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

Пусть α – произвольный угол, а М (х, у) – точка на единичной окружности такая, что угол, образованный с осью Ох подвижным радиусом ОМ, равен α. .

Если точка М лежит в первой четверти, то конец М΄(х΄, у΄) подвижного радиуса ОМ΄, образующего с осью Ох угол, равный 900 + α будет во второй четверти (черт. 95).

063015 1639 2 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

Черт. 95.

Если конец М(х, у) подвижного радиуса будет находится во второй четверти, то конец М΄(х΄, у΄) подвижного радиуса ОМ΄ будет в третьей четверти (черт. 96).

Если конец М(х, у) подвижного радиуса ОМ расположен в третьей четверти, то конец М΄(х΄, у΄) подвижного радиуса ОМ΄ – в четвертой четверти (черт. 97).

063015 1639 3 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

 

 

 

 

 

 

063015 1639 4 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

Опустим из точек М и М΄ перпендикуляры МР и М΄Р΄ на ось Ох. Прямоугольники ОРМ и О равны (по гипотенузе и острому углу). Из равенства этих треугольников следует, что

у΄ = х; х΄ = ,

а это означает, что

sin (900 + α) = cos α, (1)

т.е. синус угла на 900 больше, чем данный угол α, равен косинусу данного угла α; из равентства треугольников ОРМ и ОР´М´ и следует также, что


cos (900 + α) = — sin α (2)

т.е. косинус угла на 900 большего, чем данный угол α, взятому с противоположным знаком.

Соотношения (1) и (2) остаются в силе и в случаях, когда

α = 00, 900, 1800, 2700.

Докажем это. При α = 00 имеем:

sin (900 + 00) = 1 = cos 00;

cos (900 + 00) = 0 = — sin 00.

При α = 900 имеем:

sin (900 + 900) = 0 = cos 900;

cos (900 + 900) = -1 = — sin 900.

При α = 1800 имеем:

sin (900 + 1800) = -1 = cos 1800;

cos (900 + 1800) = 0 = — sin 1800.

При α = 2700 имеем:

sin (900 + 2700) = 0 = cos 2700;


cos (900 + 2700) = 1 = — sin 2700.

Таким образом, соотношения (1) и (2) остаются в силе для любых значений угла α.

На основании формул tg α =sin α/cos α, ctg α = 1/ tg α , sec α =1/cos α и cosec
α = 1/ sin α получим:

tg (900 + α) = sin (900 + α)/cos(900 + α) =cos α/-sin α; (3)

ctg (900 + α) = 1/tg (900 + α) =1/ctg α = -tg α; (4)

sec (900 + α) = 1/cos (900 + α) = -1/-sin α = -cosec α; (5)

cosec (900 + α) = 1 / sin(900 + α) = 1/cos α = sec α. (6)

 

Порядки конечных подгрупп в SO (3)

 

Согласно теореме Эйлера из курса линейной алгебры [BA II] всякий элемент А Î SO (3), А ¹
e, является вращением (поворотом) в евклидовом пространстве R3 вокруг некоторой оси. Другими словами, имеются ровно дветочки на единичной двумерной сфере S2, остающиеся неподвижными при действии А: точки пересечения сферы и оси вращения. Эти две точки называются полюсами вращения А.

Пусть теперь G – конечная подгруппа в SO (3), а S – множество полюсов всех неединичных вращений из G. Ясно, что G действует как группа перестановок на множестве S. Если х – полюс для некоторого вращения А
¹
e, А
Î G, то при любом В имеем

(ВАВ-1) Вх = В*Ах =Вх,

т.е. Вх – полюс для ВАВ-1 и, стало быть, Вх
ÎS. Обозначим через W множество всех упорядоченных пар (А,х), где АÎG, A¹
e
, х – полюс для точки А. Пусть, далее, – стационарная подгруппа (стабилизатор) точки х, т.е. подгруппа в G всех элементов, оставляющих х на месте. Если

G = GxUg2GxU … UgmxGx

– разложение G в левые смежные классы по Gx, то G-орбитной точки х будет множество

G(x) = { x, g2x, …, gmxx}

с числом элементов |G(x)| =mx . По теореме Лагранжа N = mxnx, где N= |G|, nx= |Gx| (по сравнению с § 3 гл. 1 обозначения несколько изменены). Заметим, что nx – порядок циклической подгруппы в G, каждый из элементов которой является вращением вокруг оси, проходящей через х. Говорят, что nxкратность полюса
х или что х есть – полюс.

<

Каждому элементу А¹e из G соответствует два полюса, поэтому |W|= 2(N –
1) элементов из G, отличных от е и оставляющих неподвижным полюс х. Следовательно, число пар (А,х) равно сумме

|W|= S( nx — 1).

xÎ S

 

Взяв за {x1, …, xk} множество полюсов, по одному из каждой орбиты, положив ni:= nxi, mi: = mxi и заметив, что nx= nxi = ni для всех хÎG(xi), мы получим

k k

|W| = S( nx — 1) =Smi( ni — 1) =S(N- mi).

xÎ S i=1 i=1

Таким образом,

k

2N – 2 =S(N- mi).

i=1

 

Разделив на N части равенства, будем иметь

063015 1639 5 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + α

 

 

 

Предполагаем N> 1, так что 1£ 2- 2/N < 2. Так как ni ³ 2 , то 1/2£1-1/ni <1, а поэтому k должно равняться 2 или 3.

Случай 1. k = 2. Тогда

2 – 2/N = (1-1/n1) + (1-1/n2),

или, что равносильно,

2 = N/n1 + N/n2 = m1 +m2,

откуда m1=m2= 1, n1 =n2 =N. Стало быть, G имеет в точности одну ось вращения и G = GN – циклическая группа порядка N.

063015 1639 6 Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида 900 + αСлучай 2. k = 3. Пусть для определенности n1£ n2 £ n3. Если n1
³ 3, то мы имели бы

 

 

что невозможно. Таким образом, n1 = 2, и уравнение (1) записывается в виде ½ +2/N = 1/n2 +1/n3. Очевидно, n2
³ 4 Þ 1/n2 +1/n3
£ ½ – Противоречие. Поэтому n2 = 2 или n2 = 3.

Если n2 =2, то n3 = N/2= m (т.е. N должно быть четным) и m1=m2=m, m3= 2. Эти данные соответствуют группе диэдра (см. пример 1 из п. 5 § 4 гл. 1). Если n2= 3, то 1/6 +2/N = 1/n3, и мы имеем лишь три возможности:

2′) n3 = 3, N = 12, m1 = 6, m2 = 4, m3 =4;

2») n3 =4, N= 24, m1 = 12, m2 = 8, m3 =6;

2»’) n3 =5, N= 60, m1 = 30, m2 = 20, m3 =12.

Соберем все эти данные в табл. 1.

Таблица 1

N

 

Число орбит 

|S|

Порядки централизаторов 

n

2m

12

24

60 

2

3

3

3

3 

2

2m+2

14

26

62 

n

2

2

2

2 

n

2

3

3

3


m

3

4

5 

 

Нами доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть G – конечная подгруппа в SO (3), отличная от циклической и диэдральной. Тогда для ее порядка N имеются лишь три возможности: N = 12, 24, 60. Другие ограничения на группу G содержится в таб. 1.

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 21.68MB | MySQL:116 | 1,284sec