Графики тригонометрических функций

<

До сих пор аргумент тригонометрических функций мы обозначали буквой a. При построении графиков тригонометрических функций будем придерживаться принятых обозначений аргумента и функции: аргумент обозначать буквой х, а функцию – буквой у.

1.График функции у = sin x. Построить график этой функции можно двумя способами.

 

063015 1641 1 Графики тригонометрических функций

Первый способ заключается в следующем: даем значения аргументу х и находим соответствующие значения функции sin x. В результате получим следующую таблицу:

х 

0

(00)

p/8

(220,5)

p/4

(450)

3p/8

(670,5)

p/2

(900)

5p/8

(1120)

3p/4

(1350)

7p/8

(1570,5)

p

(1800)

sin x

0 

0,4*) 

0,7*) 

0,9*) 

1 

0,9

0,7 

0,4 

0 

х 

9p/8

(2020,5)

5p/4

(2250)

11p/8

(2470,5)

3p/2

(2700)

13p/8

(2920)

7p/4

(3150)

15p/8

(3370,5)

2p

(3600)

sin x 

-0,4 

-0,7 

-0,9 

-1 

-0,9 

-0,7 

-0,4 

0 

*) sin p/8» 0.3827; sin p/4» 0.7071; sin 3p/8» 0.9239.

Далее, в прямоугольно системе координат (черт. 101) строим точки, соответствующие найденным парам значений х и sin x, пользуясь одинаковыми масштабами по осям Ох и Оу.

На основании уже установленных свойств функции sin x эти точки можно соединить плавной кривой и получится часть графика функции y=sin x (синусоиды).

В дальнейшем при построении графика функции y=sin x будем ограничиваться только таблицей для пяти первых точек:

(0;0), (p/8;0,4), (p/4;0,7), (3p/8;0,9), (p/2;1)

Следующие четыре точки получатся на основании формулы

sin (p/2+a) = sin (p/2- a),

которая показывает, что график функции y=sin x симметричен относительно прямой, проходящей через точку оси Ох c абсциссой p/2 и параллельной оси Оу.

Формула sin (p+a)=-sin
a показывает, что точка (p; 0) является центром симметрии синусоиды (это подтверждает таблица). Сказанное дает возможность построить вторую половину волны кривой, расположенную под осью Ох.

На основании периодичности функции sin x полученный график может быть продолжен как влево, так и вправо.

<

 

063015 1641 2 Графики тригонометрических функцийДругой способ построения графика функции у=sin x – геометрический. Разобьем единичную окружность на произвольное число равных частей (на черт. 102 окружность разделена на 16 частей) и поместим концы дуг соответственно значениям 0, p/8, p/4, 3p/8, … , 2p.

Построим ординаты точек деления, т.е. синусы соответствующих дуг. Следует обратить внимание, что синусы дуг, оканчивающихся в точках, симметричных относительно оси Оу, между собой равны, так как по формулам приведения имеем:

sin (p/2+a) = sin (p/2- a),

sin (3p/2+a) = sin (3p/2- a).

На основании этого можно ограничится (что на практике и делается) построением ординат точек правого полукруга.

 

Степени неприводимых представлений

Рассмотрим несколько более подробно регулярное представление (r, áeg |g ÎGñc). Обозначим через Rh матрицу линейного оператора r (h) в данном базисе { eg |g ÎG }. Так как r (h) eg= ehg , то все диагональные элементы матрицы Rh при h¹e равны нулю и tr Rh = 0. Стало быть,

cr =|G|, cr(h) = 0, «h = e (1)

Пусть теперь (Ф,V) – произвольное неприводимое представление группы G как показывает следствие теоремы 2 из § 4, кратность вхождения Ф в r равна скалярному произведению (crcф)G.Согласно (1)

___ ___

(crcф)G = |G| -1S(cr(h)cф(h) =|G| -1(cr(e)cф(e) = |G| -1G| |G| cф(e)= dim V. (2)

hÎG

 

Мы видим, что каждое неприводимое представление (рассматриваемое с точностью до эквивалентности) входит в регулярное с кратностью, равной своей степени. По теореме 1 имеется r попарно неэквивалентных неприводимых представлений

Ф(1) , Ф(2) , …, Ф(r)

(r – число классов сопряженности группы G), которым соовествуют характеры

c1,c2, …, cr, ci =cф(i),

степеней

n1, n2, …. , ni =ci(e).

Обычно за Ф(1) берут единичное представление, так что c1(g) = 1 «gÎG.Соотношение (2) показывает, что

r = n1Ф(1) + … + nrФ(r),

откуда

cr = n1c1 + … + nrcr.

В частности |G| =cr (e) = n1c1 (e)+ … + nrcr(e) = n12+… +nr2

Теорема 2. Каждое неприводимое представление Ф(i) входит в разложение регулярного представления r с кратностью, равной своей степени ni. Порядок |G| конечной группы G и степени n1, …, nr всех неприводимых представлений связаны соотношением

r

Sni2 = |G|

i=1

Для групп небольшого порядка красивого соотношения (3) достаточно, чтобы найти все степени n1, … , nr, хотя в общем случае нужны, конечно, дополнительные соображения.

Сведения о характерах неприводимых представлений (или короче: о неприводимых характерах) удобно записывать в виде таблицы

G

 

e 

g2

g3

 

gr

c1

c2


cr

n1

n2


n3

c1 (g2)

c2 (g2)


cr (g2)

c1 (g3)

c2 (g3)


cr (g3)




 

cr (gr)

cr (gr)

 

cr (gr)

 

называемый таблицей характеров. В ее верхней строке стоят представители всех r классов сопряженности Кi =gGi группы G. Например, таблица характеров группы S3 имеет вид

S3

e 

(123) 

c1

c2

cr

1

1

2 

1

1

-1 

 

(сравнить с таблицей в конце п. 1 из § 2). Как всегда, обозначим символом C (g) = CG(g) централизатор в группе G элемента g Î G. Мы знаем, что |C(g)||gG|=|G| (см. п. 2 из § 3 гл. 1). Поэтому соотношение (9) из 4 (первое соотношение ортогонональности), переписанное в виде

063015 1641 3 Графики тригонометрических функций|G

означает, что r x r –матрица

063015 1641 4 Графики тригонометрических функций

унитарна по строкам. Но унитарность по строкам равносильна унитарности по столбцам (063015 1641 5 Графики тригонометрических функций), так что

063015 1641 6 Графики тригонометрических функций

 

или, в более подробной записи

063015 1641 7 Графики тригонометрических функцийСоотношение (4) называется вторым соотношением ортогональности для характеров.

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.92MB/0.00055 sec

WordPress: 22.66MB | MySQL:120 | 1,501sec