Линейная производственная задача

<

092913 0143 1 Линейная производственная задачаИсходные данные: Технологическая матрица затрат А различных ресурсов на единицу каждой продукции:

А =092913 0143 2 Линейная производственная задача, Вектор объемов ресурсов В = 092913 0143 3 Линейная производственная задача,

 

Вектор удельной прибыли С = 092913 0143 4 Линейная производственная задача.

Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции (092913 0143 5 Линейная производственная задача), используя для этого три вида ресурсов (092913 0143 6 Линейная производственная задача). Известна технологическая матрица 092913 0143 7 Линейная производственная задача затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор 092913 0143 8 Линейная производственная задача объемов ресурсов и вектор 092913 0143 9 Линейная производственная задача удельной прибыли.

Найти производственную программу 092913 0143 10 Линейная производственная задача максимизирующую прибыль:

092913 0143 11 Линейная производственная задача                                 (1)

при ограничениях по ресурсам:

092913 0143 12 Линейная производственная задача                                 (2)

где по смыслу задачи: 092913 0143 13 Линейная производственная задача, 092913 0143 14 Линейная производственная задача, 092913 0143 15 Линейная производственная задача, 092913 0143 16 Линейная производственная задача

Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения введем дополнительные неотрицательные неизвестные: 092913 0143 17 Линейная производственная задача, 092913 0143 18 Линейная производственная задача, 092913 0143 19 Линейная производственная задача остаток ресурса определенного вида (неиспользуемое количество каждого ресурса). Тогда вместо системы неравенств получим систему линейных алгебраических уравнений:

092913 0143 20 Линейная производственная задача                         (3)

где среди всех решений, удовлетворяющих условию неотрицательности: 092913 0143 21 Линейная производственная задача, 092913 0143 22 Линейная производственная задача, 092913 0143 23 Линейная производственная задача, 092913 0143 24 Линейная производственная задача, 092913 0143 25 Линейная производственная задача, 092913 0143 26 Линейная производственная задача, 092913 0143 27 Линейная производственная задача

надо найти решение, при котором функция 092913 0143 28 Линейная производственная задачапримет наибольшее значение.

Эту задачу будем решать методом метод направленного перебора базисных решений– симплексным методом.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (3) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные x1, x2, x3, x4, получаем базисное неотрицательное решение:

092913 0143 29 Линейная производственная задача, 092913 0143 30 Линейная производственная задача, 092913 0143 31 Линейная производственная задача, 092913 0143 32 Линейная производственная задача, 092913 0143 33 Линейная производственная задача, 092913 0143 34 Линейная производственная задача, 092913 0143 35 Линейная производственная задача

первые четыре компоненты которого представляют производственную программу 092913 0143 36 Линейная производственная задача, по которой пока ничего не производится.

Из выражения (1) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, т.к. прибыль на единицу выпущенной продукции здесь наибольшая, поэтому в системе (3) принимаем переменную x1 за разрешающую и преобразуем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для чего составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наибольшее значение x1, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, сохранив правые части уравнений неотрицательными, т.е.

092913 0143 37 Линейная производственная задача

Оно соответствует второму уравнению в системе (3), и показывает какое количество изделий первого вида предприятие может изготовить с учетом объемов сырья второго вида. Следовательно, в базис вводим неизвестную x1, а исключаем от туда неизвестную x6. Тогда принимаем второе уравнение в системе (3) за разрешающее, а разрешающим элементом будет a21= 4

Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением.

Полный процесс решения приведен в таблице 1, где в последней строке третьей таблицы нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента

092913 0143 38 Линейная производственная задача, где 092913 0143 39 Линейная производственная задача, где 092913 0143 40 Линейная производственная задача,

т.е. выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции (1).

Таблица 1 

C

 

Базис

H 

60

12

44

17

0 

0 

0 

Пояснения 

092913 0143 41 Линейная производственная задача

092913 0143 42 Линейная производственная задача

092913 0143 43 Линейная производственная задача

092913 0143 44 Линейная производственная задача

092913 0143 45 Линейная производственная задача

092913 0143 46 Линейная производственная задача

092913 0143 47 Линейная производственная задача

0 

092913 0143 48 Линейная производственная задача

180

4

2

4

1

1 

0 

0 

092913 0143 49 Линейная производственная задача

x1 – разрешающая переменная

X1
® в базис.

092913 0143 50 Линейная производственная задача

вторая строка – разрешающая

 

разрешающий элемент = 4

0 

092913 0143 51 Линейная производственная задача

160

4 

0

2

2

0 

1 

0 

0 

092913 0143 52 Линейная производственная задача

109

2

4

3

4 

0 

0 

1 

 

0 

 

-60

-12

-44

-17

0 

0 

0 

 

092913 0143 53 Линейная производственная задача

20

0

2

2

-1

1

-1

0

092913 0143 54 Линейная производственная задача

x3 – разрешающая переменная


092913 0143 55 Линейная производственная задача

первая строка – разрешающая

разрешающий элемент = 2

60

092913 0143 56 Линейная производственная задача

40

1

0

092913 0143 57 Линейная производственная задача

092913 0143 58 Линейная производственная задача

0

092913 0143 59 Линейная производственная задача

0 

0 

092913 0143 60 Линейная производственная задача

29

0

4

2

3

0

092913 0143 61 Линейная производственная задача

092913 0143 62 Линейная производственная задача

 

2400

 

0

-12

-14

13

0

15

0

092913 0143 63 Линейная производственная задача14

092913 0143 64 Линейная производственная задача

10 

0 

1 

1 

092913 0143 65 Линейная производственная задача

092913 0143 66 Линейная производственная задача

092913 0143 67 Линейная производственная задача

0 

Все 092913 0143 68 Линейная производственная задача

60

092913 0143 69 Линейная производственная задача

125

-4

-5

0 

092913 0143 70 Линейная производственная задача

092913 0143 71 Линейная производственная задача

092913 0143 72 Линейная производственная задача

0 

0 

092913 0143 73 Линейная производственная задача

9

-20

-16

0 

4

-1

092913 0143 74 Линейная производственная задача

1

 

2540

 

0 

2 

0 

6

7 

8

0 

 

Т.к. в последней строке третьей таблицы 1 нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента, то производственная программа, при которой получаемая предприятием прибыль имеет наибольшее значение, найдена.

Таким образом, получили производственную программу:

092913 0143 75 Линейная производственная задача, 092913 0143 76 Линейная производственная задача, 092913 0143 77 Линейная производственная задача

которая является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль:

092913 0143 78 Линейная производственная задача

а) Запасы сырья четырех видов используются не полностью, так как

092913 0143 79 Линейная производственная задача, 092913 0143 80 Линейная производственная задача, 092913 0143 81 Линейная производственная задача

б) первый и второй ресурсы будут использованы полностью, т.е. первый и второй ресурсы образуют «узкие места производства»:

092913 0143 82 Линейная производственная задача, x6 = 0.

а третий ресурс будет иметь остаток:

092913 0143 83 Линейная производственная задача

Помимо этого в третьей симплексной таблице получен обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе:

092913 0143 84 Линейная производственная задача

тогда можно проверить выполнение соотношения 092913 0143 85 Линейная производственная задача:

092913 0143 86 Линейная производственная задача*092913 0143 87 Линейная производственная задача= 092913 0143 88 Линейная производственная задача= 092913 0143 89 Линейная производственная задача

Предположим, что при оптимизации производства первый и третий вид продукции не будут выпускаться Тогда получим математическую модель:

А = 092913 0143 90 Линейная производственная задача, Вектор объемов ресурсов В = 092913 0143 91 Линейная производственная задача,

 

Вектор удельной прибыли С = 092913 0143 92 Линейная производственная задача.

092913 0143 93 Линейная производственная задача

092913 0143 94 Линейная производственная задача                                 (2)

где по смыслу задачи: 092913 0143 95 Линейная производственная задача, 092913 0143 96 Линейная производственная задача.

2. Двойственная задача

 

Задача, двойственная линейной производственной задаче, например, может заключаться в оценке выгоды от продажи сырья, используемого в производстве, на сторону.

Предположим, некий предприниматель, занимающийся производством других видов продукции с использованием трех таких же видов ресурсов, предлагает «уступить» ему все имеющиеся ресурсы и обещает платить y1 денежных единиц за каждую единицу первого ресурса, y2 денежных единиц за каждую единицу второго ресурса и y3 денежных единиц за каждую единицу третьего ресурса. Возникает вопрос: при каких значениях y1, y2, y3 можно согласиться с предложением этого предпринимателя.

А =092913 0143 97 Линейная производственная задача, Вектор объемов ресурсов В = 092913 0143 98 Линейная производственная задача,

 

Вектор удельной прибыли С = 092913 0143 99 Линейная производственная задача.

значит, для производства, например, первого вида продукции, предприятие должно затратить 4 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 единицы ресурса третьего вида, за что оно получит прибыль 60 денежных единиц. Следовательно, согласиться с предложением предпринимателя можно, если он заплатит не меньше, т.е. в ценах y1, y2, y3 это условие будет иметь вид:

092913 0143 100 Линейная производственная задача

Аналогично и с продукцией второго, третьего и четвертого вида, при этом, за все имеющиеся ресурсы, предприниматель должен заплатить не меньше:

092913 0143 101 Линейная производственная задача денежных единиц.

Следовательно, предприниматель будет искать такие значения y1, y2, y3, при которых эта сумма была бы как можно меньше. При этом речь идет о ценах, которые зависят не от цен по которым эти ресурсы были когда-то приобретены, а о ценах зависящих от применяемых в производстве технологий, объемов ресурсов и прибыли, которую возможно получить за произведенную продукцию.

Таким образом, задача определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

092913 0143 102 Линейная производственная задача

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

092913 0143 103 Линейная производственная задача

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, т.е.:

092913 0143 104 Линейная производственная задача

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными, т.е.: 092913 0143 105 Линейная производственная задача, 092913 0143 106 Линейная производственная задача, 092913 0143 107 Линейная производственная задача

Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.

Т.е. для оптимальных решений 092913 0143 108 Линейная производственная задача и 092913 0143 109 Линейная производственная задача пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

092913 0143 110 Линейная производственная задача        092913 0143 111 Линейная производственная задача

Ранее в задаче 1. было найдено, что 092913 0143 112 Линейная производственная задача, 092913 0143 113 Линейная производственная задача, а 092913 0143 114 Линейная производственная задача и 092913 0143 115 Линейная производственная задача, тогда:

092913 0143 116 Линейная производственная задача

Но т.к. третий ресурс был избыточным, то по второй теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю, т.е. 092913 0143 117 Линейная производственная задача. Тогда переходим к новой системе уравнений:

092913 0143 118 Линейная производственная задача

от куда получаем: 092913 0143 119 Линейная производственная задача, 092913 0143 120 Линейная производственная задача

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

092913 0143 121 Линейная производственная задача, 092913 0143 122 Линейная производственная задача, 092913 0143 123 Линейная производственная задача

тогда общая оценка всех ресурсов равна:

092913 0143 124 Линейная производственная задача

То же самое решение значений двойственных оценок содержится в последней строке симплексной таблицы в задаче 1.

092913 0143 125 Линейная производственная задача

Показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 7 денежных единиц. 

092913 0143 126 Линейная производственная задача

Показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 денежные единицы. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задача о «Расшивке узких мест производства»

 

Задача о «расшивке узких мест производства» заключается в том, что, например, когда в процессе производства происходит изменение объема какого-либо ресурса, используемого в производстве, то, соответственно изменяется план производства и прибыль предприятия, получаемая от реализации готовой продукции. Это может происходить по различным причинам, например: сломался станок, поставщик предлагает сырье в большем количестве и т.п.

Поэтому, когда какой-либо ресурс используется полностью, то уменьшение объема этого ресурса, может повлиять на всю структуру плана производства и прибыль предприятия. Следовательно, такой ресурс, образующий «узкие места производства», желательно иметь с некоторым запасом, т.е. заказывать дополнительно, чтобы сохранить структуру плана производства и получить возможность увеличить прибыль предприятия.

Для примера возьмем данные и результаты вычислений из задачи 1 и 2, где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводиться к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли.

Тогда, пусть 092913 0143 127 Линейная производственная задача – вектор дополнительных объемов ресурсов:

092913 0143 128 Линейная производственная задача

при этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

092913 0143 129 Линейная производственная задача

Т.к. 092913 0143 130 Линейная производственная задача, то задача состоит в том, чтобы найти вектор:

092913 0143 131 Линейная производственная задача

максимизирующий суммарный прирост прибыли:

092913 0143 132 Линейная производственная задача

при условии сохранения структуры производственной программы:

092913 0143 133 Линейная производственная задача+092913 0143 134 Линейная производственная задача092913 0143 135 Линейная производственная задача

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т.е.:

092913 0143 136 Линейная производственная задача

причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т.е.:

092913 0143 137 Линейная производственная задача, 092913 0143 138 Линейная производственная задача

Т.к. неравенства (3.2) и (3.3) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств:

 



‚

ƒ

„

… 

092913 0143 139 Линейная производственная задача

Таким образом, получена задача линейного программирования: максимизировать функцию заданных при условиях.

Эту задачу с двумя переменными можно решить графически:

092913 0143 140 Линейная производственная задача

092913 0143 141 Линейная производственная задача    (1)

T1 

0 

-20

T2 

20 

0 

092913 0143 142 Линейная производственная задача    (2)

T1 

0 

-500

T2 

-250

0 

092913 0143 143 Линейная производственная задача    (3)

T1 

9

0

T2 

0 

-4,5

 


092913 0143 144 Линейная производственная задача        (4)

092913 0143 145 Линейная производственная задача        (5)

 

На графике видно, что система линейных неравенств, образует область допустимых решений, ограниченную прямыми:

092913 0143 146 Линейная производственная задача, 092913 0143 147 Линейная производственная задача, 092913 0143 148 Линейная производственная задача

 

при этом линии уровня функции 092913 0143 149 Линейная производственная задача перпендикулярны вектору-градиенту 092913 0143 150 Линейная производственная задача и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция 092913 0143 151 Линейная производственная задача достигает в точке 092913 0143 152 Линейная производственная задачапересечения прямых:

092913 0143 153 Линейная производственная задача и 092913 0143 154 Линейная производственная задача

Координаты этой точки и определяют искомые объемы дополнительных ресурсов. Следовательно, программа «расшивки узких мест производства имеет вид:

092913 0143 155 Линейная производственная задача, 092913 0143 156 Линейная производственная задача, 092913 0143 157 Линейная производственная задача

и прирост прибыли составит:

092913 0143 158 Линейная производственная задача

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Распределение капитальных вложений

Задача о распределении капитальных вложений – это нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли.

Предположим, что указано 092913 0143 159 Линейная производственная задача пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделена определенная сумма. При этом известен прирост мощности или прибыли для каждого предприятия, в зависимости от суммы капитальных вложений в это предприятие. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли всей отрасли.

Примем следующие обозначения:

092913 0143 160 Линейная производственная задача

Номер предприятия (j=1,2,…,n)

092913 0143 161 Линейная производственная задача

Общая сумма капитальных вложений 

092913 0143 162 Линейная производственная задача

Сумма капитальных вложений в j-ое предприятие

092913 0143 163 Линейная производственная задача

Прирост мощности или прибыли j-го предприятия, если оно получит xj денежных единиц капитальных вложений

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти такие значения 092913 0143 164 Линейная производственная задача092913 0143 165 Линейная производственная задача, …, 092913 0143 166 Линейная производственная задача, при которых значение суммарного прироста прибыли или мощности всей отрасли:

092913 0143 167 Линейная производственная задача

было бы наибольшим, при ограничении общей суммы: 092913 0143 168 Линейная производственная задача, причем будем считать, что все переменные 092913 0143 169 Линейная производственная задача принимают только целые неотрицательные значения, т.е.:

092913 0143 170 Линейная производственная задача=0 или 1, или 2, или 3, …; 092913 0143 171 Линейная производственная задача

Эту задачу можно решить методом динамического программирования. Для этого необходимо ввести параметр состояния 092913 0143 172 Линейная производственная задача
и функцию состояния 092913 0143 173 Линейная производственная задача:

092913 0143 174 Линейная производственная задача

Некоторое количество предприятий, для которых определяется параметр и функция состояния (092913 0143 175 Линейная производственная задача)

092913 0143 176 Линейная производственная задача

Сумма капитальных вложений, выделяемая нескольким предприятиям (092913 0143 177 Линейная производственная задача)

092913 0143 178 Линейная производственная задача

Максимальный прирост прибыли или мощности на первых 092913 0143 179 Линейная производственная задача предприятиях, если они вместе получат 092913 0143 180 Линейная производственная задача капитальных вложений

Тогда, если из 092913 0143 181 Линейная производственная задача денежных единиц k-ое предприятие получит 092913 0143 182 Линейная производственная задача денежных единиц, то остаток 092913 0143 183 Линейная производственная задача денежных средств необходимо распределить между предприятиями от первого до 092913 0143 184 Линейная производственная задача так, чтобы был получен максимальный прирост прибыли или мощности 092913 0143 185 Линейная производственная задача. Следовательно, прирост прибыли или мощности k предприятий будет равен 092913 0143 186 Линейная производственная задача и нужно выбрать такое значение 092913 0143 187 Линейная производственная задача между 0 и 092913 0143 188 Линейная производственная задача, чтобы увеличение прибыли или мощности k предприятий было бы максимальным, т.е.:

092913 0143 189 Линейная производственная задача, где 092913 0143 190 Линейная производственная задача.

Если же k=1, то:

092913 0143 191 Линейная производственная задача

Допустим, что производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц (b=700), при этом суммы выделяемые предприятиям кратны 100 денежным единицам. Значения функций 092913 0143 192 Линейная производственная задача приведены в таблице 3:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3. 

092913 0143 193 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300

400 

500 

600 

700 

092913 0143 194 Линейная производственная задача

0 

42 

58 

71 

80 

89 

95 

100 

092913 0143 195 Линейная производственная задача

0 

30 

49 

63 

68 

69 

65 

60 

092913 0143 196 Линейная производственная задача

0 

22 

37 

49 

59 

68 

76 

82 

092913 0143 197 Линейная производственная задача

0 

50 

68 

82 

92 

100 

107 

112 

Для заполнения таблицы 5 необходимо в таблице 4 сложить значения функции 092913 0143 198 Линейная производственная задача со значениями 092913 0143 199 Линейная производственная задача и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение 092913 0143 200 Линейная производственная задача:

 

Таблица 4. 

092913 0143 201 Линейная производственная задача

092913 0143 202 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300 

400 

500 

600 

700 

092913 0143 203 Линейная производственная задача

092913 0143 204 Линейная производственная задача

0 

42 

58 

71 

80 

89 

95 

100 

092913 0143 205 Линейная производственная задача

092913 0143 206 Линейная производственная задача092913 0143 207 Линейная производственная задача092913 0143 208 Линейная производственная задача092913 0143 209 Линейная производственная задача092913 0143 210 Линейная производственная задача092913 0143 211 Линейная производственная задача092913 0143 212 Линейная производственная задача092913 0143 213 Линейная производственная задача0

0 

0 

42*

58 

71 

80 

89 

95 

100 

092913 0143 214 Линейная производственная задача092913 0143 215 Линейная производственная задача092913 0143 216 Линейная производственная задача092913 0143 217 Линейная производственная задача092913 0143 218 Линейная производственная задача092913 0143 219 Линейная производственная задача092913 0143 220 Линейная производственная задача092913 0143 221 Линейная производственная задача092913 0143 222 Линейная производственная задача092913 0143 223 Линейная производственная задача092913 0143 224 Линейная производственная задача092913 0143 225 Линейная производственная задача092913 0143 226 Линейная производственная задача092913 0143 227 Линейная производственная задача092913 0143 228 Линейная производственная задача092913 0143 229 Линейная производственная задача092913 0143 230 Линейная производственная задача092913 0143 231 Линейная производственная задача092913 0143 232 Линейная производственная задача092913 0143 233 Линейная производственная задача100

30 

30 

72*

88 

101 

110 

119 

125 

 

200 

49 

49 

91*

107*

120 

129 

138 

   

300 

63 

63 

105 

121*

134*

143*

     

400 

68 

68 

110 

126 

139 

       

500 

69 

69 

111 

127 

         

600 

65 

65 

107 

           

700 

60 

60 

             

 

 

Таблица 5. 

092913 0143 234 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300 

<

400 

500 

600 

700 

092913 0143 235 Линейная производственная задача

0 

42 

72 

91 

107 

121 

134 

143 

092913 0143 236 Линейная производственная задача

0 

0 

100 

200 

200 

300 

300 

300 

Для заполнения таблицы 7 необходимо в таблице 6 сложить значения функции 092913 0143 237 Линейная производственная задача со значениями 092913 0143 238 Линейная производственная задача и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение 092913 0143 239 Линейная производственная задача:

 

Таблица 6 

092913 0143 240 Линейная производственная задача

092913 0143 241 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300 

400 

500 

600 

700 

092913 0143 242 Линейная производственная задача

092913 0143 243 Линейная производственная задача

0 

42 

72 

91 

107 

121 

134 

143 

092913 0143 244 Линейная производственная задача

092913 0143 245 Линейная производственная задача092913 0143 246 Линейная производственная задача092913 0143 247 Линейная производственная задача092913 0143 248 Линейная производственная задача092913 0143 249 Линейная производственная задача092913 0143 250 Линейная производственная задача092913 0143 251 Линейная производственная задача092913 0143 252 Линейная производственная задача0

0 

0 

42*

72*

91 

107 

121 

134 

143

092913 0143 253 Линейная производственная задача092913 0143 254 Линейная производственная задача092913 0143 255 Линейная производственная задача092913 0143 256 Линейная производственная задача092913 0143 257 Линейная производственная задача092913 0143 258 Линейная производственная задача092913 0143 259 Линейная производственная задача092913 0143 260 Линейная производственная задача092913 0143 261 Линейная производственная задача092913 0143 262 Линейная производственная задача092913 0143 263 Линейная производственная задача092913 0143 264 Линейная производственная задача092913 0143 265 Линейная производственная задача092913 0143 266 Линейная производственная задача092913 0143 267 Линейная производственная задача092913 0143 268 Линейная производственная задача092913 0143 269 Линейная производственная задача092913 0143 270 Линейная производственная задача092913 0143 271 Линейная производственная задача092913 0143 272 Линейная производственная задача100

22 

22 

64 

94*

113*

129*

143 

156 

 

200 

37 

37 

79 

109 

128 

144*

158*

   

300 

49 

49 

91 

121 

140 

156 

     

400 

59 

59 

101 

131 

150 

       

500 

68 

68 

110 

140 

         

600 

76 

76 

118 

           

700 

82 

82 

             

 

Таблица 7

092913 0143 273 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300

400 

500 

600 

700 

092913 0143 274 Линейная производственная задача

0 

42 

72 

94 

113 

129 

144 

158 

092913 0143 275 Линейная производственная задача

0 

0 

0 

100 

100 

100 

200 

200 

Теперь, в таблице 8, необходимо сложить значения функции 092913 0143 276 Линейная производственная задача со значениями 092913 0143 277 Линейная производственная задача, но только для значения 092913 0143 278 Линейная производственная задача, т.е. заполнить только одну диагональ:

 

Таблица 8. 

092913 0143 279 Линейная производственная задача

092913 0143 280 Линейная производственная задача

0 

100 

200 

300 

400 

500 

600 

700 

092913 0143 281 Линейная производственная задача

092913 0143 282 Линейная производственная задача

0 

42 

72 

94 

113 

129 

144 

158 

092913 0143 283 Линейная производственная задача

092913 0143 284 Линейная производственная задача0

0 

             

158 

092913 0143 285 Линейная производственная задача092913 0143 286 Линейная производственная задача092913 0143 287 Линейная производственная задача092913 0143 288 Линейная производственная задача092913 0143 289 Линейная производственная задача092913 0143 290 Линейная производственная задача100

50

           

194 

 

200 

68 

         

197*

   

300 

82 

       

195 

     

400 

92 

     

186 

       

500 

100 

   

172 

         

600 

107 

 

149 

           

700 

112 

112 

             

Наибольшее число этой диагонали показывает максимально возможный суммарный прирост прибыли всех четырех предприятий данного производственного объединения, при общей сумме капитальных вложений в 700 денежных единиц, т.е.:

092913 0143 291 Линейная производственная задача денежных единиц

причем четвертому предприятию должно быть выделено:

092913 0143 292 Линейная производственная задача денежных единиц

но быть выделено (см. табл. 7.):

092913 0143 293 Линейная производственная задача денежных единиц

второму предприятию должно быть выделено (см. табл. 5.):

092913 0143 294 Линейная производственная задача денежных единиц

на долю первого предприятия остается:

092913 0143 295 Линейная производственная задача денежных единиц

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

092913 0143 296 Линейная производственная задача092913 0143 297 Линейная производственная задача092913 0143 298 Линейная производственная задача092913 0143 299 Линейная производственная задача

которое обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли:

092913 0143 300 Линейная производственная задача денежных единиц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Динамическая задача управления производственным комплексом

 

Задача управления запасами – это задача о поддержании баланса производства и сбыта продукции предприятия, минимизирующего расходы предприятия на производство и хранение продукции.

Предположим, что предприятие, производящее партиями некоторую продукцию, получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу, поэтому иногда лучше выполнять заказы сразу нескольких месяцев, а затем хранить готовую продукцию, пока она не потребуется, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Поэтому необходимо составить план производства на эти n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий.

Примем следующие обозначения:

092913 0143 301 Линейная производственная задача

Номер месяца (j=1,2,…,n)

092913 0143 302 Линейная производственная задача

Число изделий, производимых в j-ом месяце

092913 0143 303 Линейная производственная задача

Величина запаса к началу j-го месяца

092913 0143 304 Линейная производственная задача

Число изделий, которые должны быть отгружены в j-ом месяце

092913 0143 305 Линейная производственная задача

Затраты на хранение и производство изделий в j-ом месяце

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти план производства 092913 0143 306 Линейная производственная задача компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса:

092913 0143 307 Линейная производственная задача, где 092913 0143 308 Линейная производственная задача

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период:

092913 0143 309 Линейная производственная задача

причем по смыслу задачи 092913 0143 310 Линейная производственная задача, 092913 0143 311 Линейная производственная задача, при 092913 0143 312 Линейная производственная задача

Т.к. объем произведенной продукции 092913 0143 313 Линейная производственная задача на этапе j может быть настолько велик, что запас 092913 0143 314 Линейная производственная задача может удовлетворить спрос всех последующих этапов и при этом не имеет смысла иметь величину запаса 092913 0143 315 Линейная производственная задача больше суммарного спроса на всех последующих этапах, то переменная 092913 0143 316 Линейная производственная задача должна удовлетворять ограничениям:

092913 0143 317 Линейная производственная задача

Полученную задачу можно решить методом динамического программирования, для чего необходимо определить параметр состояния 092913 0143 318 Линейная производственная задача
и функцию состояния 092913 0143 319 Линейная производственная задача:

092913 0143 320 Линейная производственная задача

Наличный запас продукции в конце k-го месяца (092913 0143 321 Линейная производственная задача)

092913 0143 322 Линейная производственная задача

Минимальные затраты за первые 092913 0143 323 Линейная производственная задача месяцев: 092913 0143 324 Линейная производственная задача

Тогда, минимальные затраты за один первый месяц (092913 0143 325 Линейная производственная задача):

092913 0143 326 Линейная производственная задача

Следовательно, минимальные затраты при 092913 0143 327 Линейная производственная задача:

092913 0143 328 Линейная производственная задача, где 092913 0143 329 Линейная производственная задача

 

Если при этом функция затрат на хранение и производство изделий в j-ом месяце имеет вид:

092913 0143 330 Линейная производственная задача, где

092913 0143 331 Линейная производственная задача, при 092913 0143 332 Линейная производственная задача и 092913 0143 333 Линейная производственная задача, при 092913 0143 334 Линейная производственная задача

092913 0143 335 Линейная производственная задача

Затраты на оформление заказа (переналадку оборудования) в j-ом месяце

092913 0143 336 Линейная производственная задача

Затраты на хранение единицы продукции, переходящей из jго месяца в месяц j+1

092913 0143 337 Линейная производственная задача

Затраты на производство (закупку) 092913 0143 338 Линейная производственная задача единиц продукции в jом месяце

то минимальные затраты за один первый месяц (092913 0143 339 Линейная производственная задача):

092913 0143 340 Линейная производственная задача

если ввести обозначение:

092913 0143 341 Линейная производственная задача

то следовательно, минимальные затраты при 092913 0143 342 Линейная производственная задача:

092913 0143 343 Линейная производственная задача, где 092913 0143 344 Линейная производственная задача

Допустим, что предприятие заключило договора на поставку своей продукции на три месяца. Исходные данные приведены в таблице 1. При этом исходный запас товара на складе составляет две единицы, т.е 092913 0143 345 Линейная производственная задача.

Таблица 1. 

Период k

1 

2 

3 

Спрос (092913 0143 346 Линейная производственная задача)

3 

2 

3 

Затраты на оформление заказа (092913 0143 347 Линейная производственная задача)

4 

2 

3 

Затраты на хранение единицы запаса (092913 0143 348 Линейная производственная задача)

1 

1 

1 

 

Предполагается, что затраты на приобретение продукции составляют 5 руб. за каждую единицу для первых трех единиц и 7 руб. за каждую дополнительную единицу, т.е.

092913 0143 349 Линейная производственная задача

Положим 092913 0143 350 Линейная производственная задача, тогда:

092913 0143 351 Линейная производственная задача

Тогда, т.к. параметр состояния 092913 0143 352 Линейная производственная задача может принимать значения на отрезке:

092913 0143 353 Линейная производственная задача

т.е. 092913 0143 354 Линейная производственная задача, при этом каждому значению параметра состояния отвечает определенная область изменения переменной 092913 0143 355 Линейная производственная задача:

092913 0143 356 Линейная производственная задача

Однако на первом этапе объем производства не может быть меньше одной единицы, т.к. спрос 092913 0143 357 Линейная производственная задача, а исходный запас 092913 0143 358 Линейная производственная задача, при этом из балансового уравнения следует, что объем производства связан с параметром состояния 092913 0143 359 Линейная производственная задача соотношением:

092913 0143 360 Линейная производственная задача

т.е. каждому значению 092913 0143 361 Линейная производственная задача отвечает единственное значение 092913 0143 362 Линейная производственная задача, поэтому:

092913 0143 363 Линейная производственная задача, тогда:

092913 0143 364 Линейная производственная задача

092913 0143 365 Линейная производственная задача

092913 0143 366 Линейная производственная задача

092913 0143 367 Линейная производственная задача

092913 0143 368 Линейная производственная задача

092913 0143 369 Линейная производственная задача

092913 0143 370 Линейная производственная задача

092913 0143 371 Линейная производственная задача

092913 0143 372 Линейная производственная задача

092913 0143 373 Линейная производственная задача

092913 0143 374 Линейная производственная задача

092913 0143 375 Линейная производственная задача

092913 0143 376 Линейная производственная задача

092913 0143 377 Линейная производственная задача

092913 0143 378 Линейная производственная задача

092913 0143 379 Линейная производственная задача

092913 0143 380 Линейная производственная задача

092913 0143 381 Линейная производственная задача

Значения функции состояния 092913 0143 382 Линейная производственная задача приведены в таблице2.:

Таблица 2.

092913 0143 383 Линейная производственная задача

0 

1 

2 

3 

4 

5 

092913 0143 384 Линейная производственная задача

9 

15 

21 

29 

37 

45 

092913 0143 385 Линейная производственная задача

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Положим 092913 0143 386 Линейная производственная задача, тогда:

092913 0143 387 Линейная производственная задача, где:

092913 0143 388 Линейная производственная задача

Здесь минимум берется по переменной 092913 0143 389 Линейная производственная задача, которая может изменяться в пределах:

092913 0143 390 Линейная производственная задача

где верхняя граница зависит от параметра состояния 092913 0143 391 Линейная производственная задача, который принимает значения на отрезке:

092913 0143 392 Линейная производственная задача

т.е. 092913 0143 393 Линейная производственная задача, при этом из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало второго месяца 092913 0143 394 Линейная производственная задача связан с объемом производства 092913 0143 395 Линейная производственная задача и с параметром состояния 092913 0143 396 Линейная производственная задача соотношением:

092913 0143 397 Линейная производственная задача

Тогда:

092913 0143 398 Линейная производственная задача

(092913 0143 399 Линейная производственная задача)

092913 0143 400 Линейная производственная задача

092913 0143 401 Линейная производственная задача

092913 0143 402 Линейная производственная задача

092913 0143 403 Линейная производственная задача

092913 0143 404 Линейная производственная задача

092913 0143 405 Линейная производственная задача

092913 0143 406 Линейная производственная задача*

092913 0143 407 Линейная производственная задача

092913 0143 408 Линейная производственная задача*

Наименьшие из полученных значений 092913 0143 409 Линейная производственная задача, есть 092913 0143 410 Линейная производственная задача, т.е.:

092913 0143 411 Линейная производственная задача

причем минимум достигается при 092913 0143 412 Линейная производственная задача и 092913 0143 413 Линейная производственная задача, т.е.:

092913 0143 414 Линейная производственная задача и 092913 0143 415 Линейная производственная задача

эти значения указываем в результирующей таблице 11.

Аналогично:

092913 0143 416 Линейная производственная задача

(092913 0143 417 Линейная производственная задача)

092913 0143 418 Линейная производственная задача

092913 0143 419 Линейная производственная задача

092913 0143 420 Линейная производственная задача

092913 0143 421 Линейная производственная задача

092913 0143 422 Линейная производственная задача

092913 0143 423 Линейная производственная задача

092913 0143 424 Линейная производственная задача

092913 0143 425 Линейная производственная задача

092913 0143 426 Линейная производственная задача

092913 0143 427 Линейная производственная задача

092913 0143 428 Линейная производственная задача

092913 0143 429 Линейная производственная задача*

092913 0143 430 Линейная производственная задача

(092913 0143 431 Линейная производственная задача)

092913 0143 432 Линейная производственная задача

092913 0143 433 Линейная производственная задача

092913 0143 434 Линейная производственная задача

092913 0143 435 Линейная производственная задача

092913 0143 436 Линейная производственная задача

092913 0143 437 Линейная производственная задача

092913 0143 438 Линейная производственная задача

092913 0143 439 Линейная производственная задача

092913 0143 440 Линейная производственная задача

092913 0143 441 Линейная производственная задача

092913 0143 442 Линейная производственная задача

092913 0143 443 Линейная производственная задача

092913 0143 444 Линейная производственная задача

092913 0143 445 Линейная производственная задача*

092913 0143 446 Линейная производственная задача

092913 0143 447 Линейная производственная задача

(092913 0143 448 Линейная производственная задача)

092913 0143 449 Линейная производственная задача

092913 0143 450 Линейная производственная задача

092913 0143 451 Линейная производственная задача

092913 0143 452 Линейная производственная задача

092913 0143 453 Линейная производственная задача

092913 0143 454 Линейная производственная задача

092913 0143 455 Линейная производственная задача

092913 0143 456 Линейная производственная задача

092913 0143 457 Линейная производственная задача

092913 0143 458 Линейная производственная задача

092913 0143 459 Линейная производственная задача

092913 0143 460 Линейная производственная задача

092913 0143 461 Линейная производственная задача

092913 0143 462 Линейная производственная задача

092913 0143 463 Линейная производственная задача

092913 0143 464 Линейная производственная задача*

092913 0143 465 Линейная производственная задача

092913 0143 466 Линейная производственная задача

Таким образом:

Таблица 3.

092913 0143 467 Линейная производственная задача

0 

1 

2 

3 

092913 0143 468 Линейная производственная задача

21 

27 

34 

41 

092913 0143 469 Линейная производственная задача

0 

2 

3 

3 

3 

Теперь положим, что 092913 0143 470 Линейная производственная задача, тогда:

092913 0143 471 Линейная производственная задача, где:

092913 0143 472 Линейная производственная задача

Если оставлять продукцию к концу третьего периода не нужно, тогда параметр состояния принимает единственное значение 092913 0143 473 Линейная производственная задача, следовательно, переменная 092913 0143 474 Линейная производственная задача может изменяться в пределах:

092913 0143 475 Линейная производственная задача

а из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало третьего месяца 092913 0143 476 Линейная производственная задача связан с объемом производства соотношением:

092913 0143 477 Линейная производственная задача

Тогда:

092913 0143 478 Линейная производственная задача

(092913 0143 479 Линейная производственная задача)

092913 0143 480 Линейная производственная задача

092913 0143 481 Линейная производственная задача

092913 0143 482 Линейная производственная задача

092913 0143 483 Линейная производственная задача

092913 0143 484 Линейная производственная задача

092913 0143 485 Линейная производственная задача

092913 0143 486 Линейная производственная задача

092913 0143 487 Линейная производственная задача

092913 0143 488 Линейная производственная задача

092913 0143 489 Линейная производственная задача

092913 0143 490 Линейная производственная задача

092913 0143 491 Линейная производственная задача*

Следовательно, получаем:

092913 0143 492 Линейная производственная задача

причем минимум достигается при 092913 0143 493 Линейная производственная задача, т.е.:

092913 0143 494 Линейная производственная задача

Таким образом, получили минимальные общие затраты на производство и хранение продукции и последнюю компоненту оптимального решения:

092913 0143 495 Линейная производственная задача

Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо воспользоваться обычными правилами динамического программирования.

Тогда т.к. 092913 0143 496 Линейная производственная задача, то 092913 0143 497 Линейная производственная задача, откуда 092913 0143 498 Линейная производственная задача, следовательно, из таблицы 3.:

092913 0143 499 Линейная производственная задача или 092913 0143 500 Линейная производственная задача

Аналогично т.к. 092913 0143 501 Линейная производственная задача, то 092913 0143 502 Линейная производственная задача или 092913 0143 503 Линейная производственная задача, откуда 092913 0143 504 Линейная производственная задача или 092913 0143 505 Линейная производственная задача, следовательно, из таблицы 2.:

092913 0143 506 Линейная производственная задача или 092913 0143 507 Линейная производственная задача

Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет два варианта:

092913 0143 508 Линейная производственная задача

092913 0143 509 Линейная производственная задача

092913 0143 510 Линейная производственная задача

092913 0143 511 Линейная производственная задача

092913 0143 512 Линейная производственная задача

092913 0143 513 Линейная производственная задача

при этом, каждый вариант оптимального плана производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 39 денежных единиц.

 

 

 

16. Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояние которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода в виде разности между конечной и начальной оценками. При этом практически все финансовые операции проходят в условиях неопределенности и, следовательно, их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому при проведении финансовой операции возможно получение как прибыли, так и убытка.

Поэтому задача анализа доходности и риска финансовой операций заключается в оценке финансовой операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее распространенным способом оценки финансовой операций является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Например, если доход от проведения некоторой финансовой операции есть случайная величина 092913 0143 514 Линейная производственная задача, то средний ожидаемый доход 092913 0143 515 Линейная производственная задача– это математическое ожидание случайной величины 092913 0143 516 Линейная производственная задача:

092913 0143 517 Линейная производственная задача, где 092913 0143 518 Линейная производственная задача есть вероятность получить доход 092913 0143 519 Линейная производственная задача

Т.к. среднеквадратическое отклонение:

092913 0143 520 Линейная производственная задача, где 092913 0143 521 Линейная производственная задача

это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода, то его можно считать количественной мерой риска операции и обозначить как 092913 0143 522 Линейная производственная задача:

092913 0143 523 Линейная производственная задача

Допустим, что по четырем финансовым операциям 092913 0143 524 Линейная производственная задача, 092913 0143 525 Линейная производственная задача, 092913 0143 526 Линейная производственная задача, 092913 0143 527 Линейная производственная задача ряды распределения доходов и вероятностей получения этих доходов имеют вид:

092913 0143 528 Линейная производственная задача

0

1

5

14

 

092913 0143 529 Линейная производственная задача

2 

4

6

18

1/5

2/5

1/5

1/5

 

1/5

2/5

1/5

1/5

                     

092913 0143 530 Линейная производственная задача

0 

8

16

20

 

092913 0143 531 Линейная производственная задача

2

12

18

22

1/2

1/8

1/8

1/4

 

1/2

1/8

1/8

1/4

Тогда т.к. 092913 0143 532 Линейная производственная задача, то средний ожидаемый доход каждой операции имеет вид:

092913 0143 533 Линейная производственная задача = 0*1/5+1*2/5+5*1/5+14*1/5=21/5=4,2;

092913 0143 534 Линейная производственная задача=0*1/2+8*1/8+16*1/8+20*1/4=8;

092913 0143 535 Линейная производственная задача2*1/5+4*2/5+6*1/5+18*1/5=34/5=6,8;

092913 0143 536 Линейная производственная задача=2*1/2+12*1/8+6*1/8+18*1/4=7,75.

 

Т.к. 092913 0143 537 Линейная производственная задача, то риски каждой финансовой операции имеют вид:

092913 0143 538 Линейная производственная задача = 0*1/5+1*2/5+25*1/5+196*1/5=0+0,4+5+39,2=44,6

092913 0143 539 Линейная производственная задача

092913 0143 540 Линейная производственная задача

 

092913 0143 541 Линейная производственная задача0*1/2+64*1/8+256*1/8+400*1/4=0+8+32+100=140

092913 0143 542 Линейная производственная задача

092913 0143 543 Линейная производственная задача

 

092913 0143 544 Линейная производственная задача=4*1/5+16*2/5+36*1/5+324*1/5=4/5+32/5+36/5+324/5=396/5=79,2

092913 0143 545 Линейная производственная задача

092913 0143 546 Линейная производственная задача

 

092913 0143 547 Линейная производственная задача=4*1/2+144*1/8+36*1/8+324*1/4=2+18+36/8+81=844/8=105,5

092913 0143 548 Линейная производственная задача

092913 0143 549 Линейная производственная задача

 

Нанесем средние ожидаемые доходы 092913 0143 550 Линейная производственная задача и риски 092913 0143 551 Линейная производственная задача каждой операции на плоскость (см. график).

Тогда, чем правее точка на графике, тем более доходная операция, чем точка выше – тем более она рисковая.

Для определения операции оптимальной по Парето, необходимо на графике найти точку, которую не доминирует никакая другая точка.

092913 0143 552 Линейная производственная задача

Из графика. видно, что 3-ая операция доминирует 1-ую операцию, а 4-ая операция доминирует 3-ую. Но 1-ая и 4-ая операции несравнимы, т.к. доходность 4-ой операции больше, но и риск ее тоже больше, чем доходность и риск 1-ой операции, следовательно, 1-я операция является оптимальной по Парето.

Для нахождения лучшей операции можно применить взвешивающую формулу, которая для пар 092913 0143 553 Линейная производственная задача дает одно число, по которому можно определить лучшую операцию. Допустим, что взвешивающей формулой будет 092913 0143 554 Линейная производственная задача, тогда

092913 0143 555 Линейная производственная задача

092913 0143 556 Линейная производственная задача

092913 0143 557 Линейная производственная задача092913 0143 558 Линейная производственная задача

Отсюда видно, что 3-ая финансовая операция – лучшая, а 1-ая – худшая.

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.3MB/0.00222 sec

WordPress: 23.07MB | MySQL:114 | 4,230sec