Логарифмы и их свойства

<

092713 0942 1 Логарифмы и их свойства Рассмотрим уравнение

aх = b, где а > 0 и а≠ 1.

Это уравнение не имеет решений при b ≤ 0 и имеет единственный корень в случае b> 0. Это корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т.е.

а logab = b

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Формулу а logab = b (где b> 0, а > 0 и а≠ 1) называют основным логарифмическим тождеством.

Пример. 1. Найдем значение: а) log232; б) log50,04.

а) Заметим, что 32 = 25, те. Для того чтобы получить число 32, надо 2 возвестив пяту степень. Следовательно, log2 32= 5.

б) Заметим, что 0,04 = 092713 0942 2 Логарифмы и их свойства=5-2, поэтому log5 0,04= -2.

Пример 2. Найдем логарифм числа 092713 0942 3 Логарифмы и их свойства по основанию 092713 0942 4 Логарифмы и их свойства .

Заметим, что (092713 0942 5 Логарифмы и их свойства)-4=092713 0942 6 Логарифмы и их свойства. Поэтому по определению логарифма log 092713 0942 7 Логарифмы и их свойства=-4.

Пример 3. Найдем х, такое, что: а) log8 х= 092713 0942 8 Логарифмы и их свойства; б) logх 8=- 092713 0942 9 Логарифмы и их свойства.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

а) х = 8 log8х = 092713 0942 10 Логарифмы и их свойства = 2;

б) х logх8 = 8, т.е. 092713 0942 11 Логарифмы и их свойства = 8, откуда х = 092713 0942 12 Логарифмы и их свойства= 092713 0942 13 Логарифмы и их свойства.

Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом а>0 (а ≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства

10. loga 1 = 0.

20. loga a = 1.

30. loga xy = loga x + loga y.

40. loga
092713 0942 14 Логарифмы и их свойства = loga x — loga y.

50. loga xp = p loga x

для любого действительного р.

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

 

Для доказательства правила 30 воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

х=а logaх , у= а logaу .

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

х=а logaх * а logaу logaх+ logaу,

т.е. ху = а logaх+ logaу. Следовательно, по определению логарифма loga (xy)= = loga x + loga y.

Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов.

092713 0942 15 Логарифмы и их свойстваПравило 40 докажем вновь с помощью равенств (1):

092713 0942 16 Логарифмы и их свойства092713 0942 17 Логарифмы и их свойства = = а logaх- logaу ,

следовательно, по определению loga
092713 0942 18 Логарифмы и их свойства = loga x – logb y.

Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов.

Для доказательства правила 50 воспользуемся тождеством
х=аlogaх, откуда (х)р=(а logaх )р = а plogaх . Следовательно, по определению loga xp = p loga x

Говорят, что логарифм степени равное произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания к другому основанию:

092713 0942 19 Логарифмы и их свойства

092713 0942 20 Логарифмы и их свойстваloga х= .

 

(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при х>0, а>0 и а ≠ 1, b>0 и b ≠ 1).

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

logb х = logblogaх),

откуда

logb х = logb x* logba.

Разделив обе части полученного равенства на logba, приходим к нужной формуле.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 41).

Пример 4. Найдем log0,3 7.

Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим lg 7≈0,8451, lg 0,3≈ ≈ 0,4771 – 1= -0,5229. Следовательно, по формуле перехода log0,37≈ 092713 0942 21 Логарифмы и их свойства ≈ ≈ -1,6162.

Пример 5. Известно, что log25= a и log23= b. Выразим log2300 через a и b.

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log2300= log2(3*52*22) = log23+2 log25+2 log22= b + 2a + 2.

Пример 6. Выразим логарифм выражения 8а3
092713 0942 22 Логарифмы и их свойства через log2а и log2b. (Коротко говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2).

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log2(8а3092713 0942 23 Логарифмы и их свойства
) = log2(233*
092713 0942 24 Логарифмы и их свойства
) = 3 log22 + 3 log2а + 092713 0942 25 Логарифмы и их свойства log2b = 3 +3 log2а + 092713 0942 26 Логарифмы и их свойства log2b.

Пример 7. Найдем х, если

log5х = log57 + 2 log53 –3 log52.

Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

log5х = log57 + log532 – log523= log5
092713 0942 27 Логарифмы и их свойства
= log5 092713 0942 28 Логарифмы и их свойства,

т.е. log5х = log5 092713 0942 29 Логарифмы и их свойства и потому х =
092713 0942 30 Логарифмы и их свойства=
7,875.

Пример 8. Найдем значение выражения 092713 0942 31 Логарифмы и их свойства .

Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем делитель и знаменатель этой дроби: lg72– lg 9 = lg
092713 0942 32 Логарифмы и их свойства
= lg 8= 3lg2; lg28-lg7= lg
092713 0942 33 Логарифмы и их свойства=
=lg4=2lg2. Следовательно, 092713 0942 34 Логарифмы и их свойства=092713 0942 35 Логарифмы и их свойства=092713 0942 36 Логарифмы и их свойства.

 

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
<

 

Понятие о производной

1. Понятие о касательной к графику функции. Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у=х2 (рис. 1) при значениях аргумента, близких к 1.

Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с масштабом рисунка 2) в 10 раз; в этом масштабе построим график у=х2 на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 3). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис.3). На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у=х2 практически не отличается от маленького отрезка прямой у==2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: произвольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой l. (Интересно заметить, что графопостроители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы понять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.

Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисовать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого предварительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью ножниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения приводит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.

Проходящую через точку (x0; f (х0)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х, близких к x0, называют касательной к графику функции f в точке (x0; f (х0)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.

Координаты одной точки прямой f известны — это точка (x0; f (х0)). Остается найти угловой коэффициент k касательной.

В качестве примера рассмотрим функцию у=х2. Ее график в малой окрестности точки x0 близок к отрезку касательной f. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты секущих, проходящих через точки (x0; х20} и (х0+Δх; (х0+Δх )2, будут близки к угловому коэффициенту k, если Δх: будет неограниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к x0).

Угловой коэффициент k (Δх) секущей, проходящей через точки (х0; у(х0)) и (х0+Δх; у(х0+Δх)), равен 092713 0942 37 Логарифмы и их свойства (п. 12), где Δу — приращение функции у в точке x0, соответствующее приращению Δx аргумента. Для функции у=х2

k(Δх) = 092713 0942 38 Логарифмы и их свойства = 092713 0942 39 Логарифмы и их свойства= 092713 0942 40 Логарифмы и их свойства =2x0+ Δх

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяснить, к какому значению близко k (Δx), если Δx: приближается к
нулю. Очевидно, что k (Δx)близко к 2 х0. Следовательно, при
очень малых значениях Δx угловой коэффициент секущей близок к 2 х0. При х0=1 получаем k =2. Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у=2х—1. К этому же выводу пришли в начале пункта из чисто наглядных соображений.

092713 0942 41 Логарифмы и их свойства

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

2=

     

2=

     

12х3=

     

9=

     

55х3=

     

092713 0942 42 Логарифмы и их свойства=

     

092713 0942 43 Логарифмы и их свойства=

     

092713 0942 44 Логарифмы и их свойства=

     

092713 0942 45 Логарифмы и их свойства    =

     

092713 0942 46 Логарифмы и их свойства=

     

 

 

Правила вычисления производных

 

1. Основные правила дифференцирования. Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функций u и v их производных в точке д-о обозначаются для краткости так: u(х0)=v, и v(x0)=v, u`(х0)=v`, и v`(x0)=v`.

Правило 1. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)` = u`+v`

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы
функций в рассматриваемой точке:

∆(u+v) = u(x0+∆x)+ v(x0+∆x)– (u(x0)+v(x0)) = (u(x0+∆x) – u(x0)) + (v(x0+∆x)– v(x0))

2) 092713 0942 47 Логарифмы и их свойства

 

=092713 0942 48 Логарифмы и их свойства

3) Функции u и v дифференцируемы в точке x0, т. е. при ∆х→0

092713 0942 49 Логарифмы и их свойства→ u` , 092713 0942 50 Логарифмы и их свойства →v`

Тогда 092713 0942 51 Логарифмы и их свойства→ u` + v` при ∆x→0
предельного перехода п. 14), т. е. (u`+v`) = u`+v`

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке: ∆f →0 при ∆x →0, т. е.

f (x0+∆x) → f (x0) при ∆x→0

Действительно, ∆f= 092713 0942 52 Логарифмы и их свойства∆x → f`(x0)*0 при ∆x→0 , так как 092713 0942 53 Логарифмы и их свойства→ f` (х0), a ∆x→0. Итак, ∆f→0 при ∆x→0, т. е. для дифференцируемых функций f(х0 + +∆x) → f(x0)при ∆x→0.

Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0. то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(ии)’ = и’у + иу’.
V 1) Найдем сначала приращение произведения:

Л (м и) = и (хо + Ах) у (хо -(- Ах) — и (лсо) v (хо) ==
==(и (хо)+Ли) (и (хо)+Ли)—и (^о) у (^о)=
== и (.(о) у (хо) + Лии (хо) + м (хо) Ли + ЛиАи — и {хо) v (хо) ==
= Дии (<о}+ м (жо) А® +АвЛи.

2) А^А^)+^+Л^.

3) В силу дифференцируемости функций и и и в точке Хо
при ^х->0 имеем ^-^и’,^-^и’, Ли->0. Поэтому ^-^м'» (хо)+

-\-и (хо)и/+0•и’=и’и/.со)+» (^о)и’, т. е. (иу)’= и’v + иу’, что и
требовалось доказать. А /

Следствие. ЕЬм^1рункция и дифференцируема в хо, а
С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и
(Си)’==Си’.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за
знак производной.

Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным
из п. 13 фактом С’=0:

(Си)’ = С’и + Си’ == 0. и 4- Си’ == Си’.

111

 

Правило 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке

Хо и функция и не равна нулю в этой точке, то частное -«- также
дифференцируемо в Хо и

(и \ ‘ _ и’у—иу’

у) ~ V2

V Выведем сначала формулу

(-Ц’=-^

1-У=-^

V) V2

\_

V

\ V ) V2 •

1) Найдем приращение функции

^\ _1_1_у (л-о) — у (хо + Ал-)______—Ац____

А/’_1_\ ^ 1 1 ^ у(хд)-у[ха+г^х) ^_____-Ац

\ V ) V (ао + ал-) Ч (Л-о) V (Хо) V (х» + ал-) V (х») (о (л-о)

v ) v (хц + Лл-) ч (л-о) и (хо) v (х» 4- Ал-) и (л-о) (о (л;о) + Ли)

2) Отсюда

л( 1) -д0

и/ Лл:

Дл: а(л^о)(о (л-о) + Ли)

3) При Лх->-0 имеем ^—>’и’ (в силу дифференцируемости
и в точке Хо), Ли->-0 (по доказанной лемме). Поэтому

‘-^.-^г^^—^. т е ^-1-У=—^-

А ^ ——— 2 ‘ 1.^.1 1 ——— ч .

Лл- уи и \ v / v

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произве-
дения функций, находим производную частного:

(^^У={и.-[-\==и’.-^+и(-^-У==и-+и.^’-=^^-^-. .^

\ V / \ V / V \- V ‘ V У2 У2 /

О П р и м е р 1. Найдем производные функций: а) ^ (х) = л:2 — -\-;

б) ^)-^-.

а) (т)’—?—^- ——у (^-тУ^Чт-)’-

-2X-(-^=2X+7^

б) ^ ^2 \’^(хг)'(х^+^}-хг^хз+\)’^•^х(хз+^}-х2^)’+^’)^

\хз+^^ (^+1)2 (^+1)2
^2^с(^з+1)-^2(3л:2+0) ^2;^:4+2л•-3лл^ 2х-<4 ^ А

^+1)2 — (лл+1)2 — (^+1)2 ‘ и\ ^
112

\

 

 

 


 

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.95MB/0.00040 sec

WordPress: 22.14MB | MySQL:119 | 1,437sec