Математика 10

<

092613 0200 101 Математика 10Задача 8. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить двумя способами:

  1. методом Крамера;
  2. средствами матричного исчисления.

    092613 0200 102 Математика 10

    Решение.

    Докажем совместность системы.

    Матрица коэффициентов системы имеет вид:

    092613 0200 103 Математика 10

    Расширенная матрица системы:

    092613 0200 104 Математика 10

    Найдем ранги данных матриц

    092613 0200 105 Математика 10 — минор третьего порядка матриц 092613 0200 106 Математика 10 и 092613 0200 107 Математика 10 (базисный минор)

    092613 0200 108 Математика 10

    092613 0200 109 Математика 10.

    Так как ранги матриц равны, то система совместна.

    Решим данную систему методом Крамера:

    092613 0200 1010 Математика 10

    092613 0200 1011 Математика 10, 092613 0200 1012 Математика 10, 092613 0200 1013 Математика 10.

    092613 0200 1014 Математика 10, 092613 0200 1015 Математика 10, 092613 0200 1016 Математика 10.

    Найдем решение матричным методом:

    092613 0200 1017 Математика 10, 092613 0200 1018 Математика 10, 092613 0200 1019 Математика 10

    092613 0200 1020 Математика 10

    092613 0200 1021 Математика 10

    092613 0200 1022 Математика 10, следовательно, обратная матрица 092613 0200 1023 Математика 10 существует.

    Найдем ее:

    Алгебраические дополнения матрицы 092613 0200 1024 Математика 10 равны:

    092613 0200 1025 Математика 10, 092613 0200 1026 Математика 10, 092613 0200 1027 Математика 10, 092613 0200 1028 Математика 10, 092613 0200 1029 Математика 10, 092613 0200 1030 Математика 10, 092613 0200 1031 Математика 10, 092613 0200 1032 Математика 10, 092613 0200 1033 Математика 10.

    Тогда обратная матрица 092613 0200 1034 Математика 10 имеет вид:

    092613 0200 1035 Математика 10.

    Т.о. решение системы имеет вид:

    092613 0200 1036 Математика 10

    092613 0200 1037 Математика 10.

    Задача 18. Даны координаты вершин пирамиды 092613 0200 1038 Математика 10. Средствами векторной алгебры найти:

  3. длину ребра;
  4. угол между ребрами 092613 0200 1039 Математика 10 и 092613 0200 1040 Математика 10;
  5. площадь грани 092613 0200 1041 Математика 10;
  6. объем пирамиды.

    092613 0200 1042 Математика 10, 092613 0200 1043 Математика 10, 092613 0200 1044 Математика 10, 092613 0200 1045 Математика 10

    Решение.

    1) найдем длину ребра

    092613 0200 1046 Математика 10

    092613 0200 1047 Математика 10

    092613 0200 1048 Математика 10

    092613 0200 1049 Математика 10

    092613 0200 1050 Математика 10

    092613 0200 1051 Математика 10

    092613 0200 1052 Математика 10

    092613 0200 1053 Математика 10

    092613 0200 1054 Математика 10

    092613 0200 1055 Математика 10

    092613 0200 1056 Математика 10

    092613 0200 1057 Математика 10

    2) угол между ребрами 092613 0200 1058 Математика 10 и 092613 0200 1059 Математика 10

    092613 0200 1060 Математика 10

    092613 0200 1061 Математика 10.

    3) площадь грани 092613 0200 1062 Математика 10

    092613 0200 1063 Математика 10

    092613 0200 1064 Математика 10

    092613 0200 1065 Математика 10 ед.кв.

    4) объем пирамиды

    092613 0200 1066 Математика 10

    092613 0200 1067 Математика 10.

     

    Задача 28. Доказать, что векторы 092613 0200 1068 Математика 10, 092613 0200 1069 Математика 10, 092613 0200 1070 Математика 10 линейно независимы и найти разложение вектора 092613 0200 1071 Математика 10 по векторам 092613 0200 1072 Математика 10, 092613 0200 1073 Математика 10, 092613 0200 1074 Математика 10.

    092613 0200 1075 Математика 10, 092613 0200 1076 Математика 10, 092613 0200 1077 Математика 10, 092613 0200 1078 Математика 10

    Решение.

    Докажем, что векторы 092613 0200 1079 Математика 10, 092613 0200 1080 Математика 10, 092613 0200 1081 Математика 10 линейно независимы::

    092613 0200 1082 Математика 10, следовательно, векторы 092613 0200 1083 Математика 10, 092613 0200 1084 Математика 10, 092613 0200 1085 Математика 10 линейно независимы.

    Найдем координаты вектора 092613 0200 1086 Математика 10 в базисе 092613 0200 1087 Математика 10, 092613 0200 1088 Математика 10, 092613 0200 1089 Математика 10:

    092613 0200 1090 Математика 10

    092613 0200 1091 Математика 10.

    Разложение вектора 092613 0200 1092 Математика 10 по векторам 092613 0200 1093 Математика 10, 092613 0200 1094 Математика 10, 092613 0200 1095 Математика 10: 092613 0200 1096 Математика 10.

    Задача 38. Даны вершины треугольника 092613 0200 1097 Математика 10. Найти:

  7. общее уравнение стороны 092613 0200 1098 Математика 10;
  8. длину стороны 092613 0200 1099 Математика 10;
  9. уравнение высоты, опущенной из вершины 092613 0200 10100 Математика 10;
  10. систему неравенств, определяющих треугольник 092613 0200 10101 Математика 10.

    092613 0200 10102 Математика 10, 092613 0200 10103 Математика 10, 092613 0200 10104 Математика 10

    Решение.

    1) найдем общее уравнение стороны 092613 0200 10105 Математика 10

    092613 0200 10106 Математика 10

    092613 0200 10107 Математика 10

    092613 0200 10108 Математика 10

    092613 0200 10109 Математика 10

    092613 0200 10110 Математика 10

    2) длина стороны 092613 0200 10111 Математика 10

    092613 0200 10112 Математика 10

    3) уравнение высоты, опущенной из вершины 092613 0200 10113 Математика 10

    Найдем уравнение стороны 092613 0200 10114 Математика 10:

    092613 0200 10115 Математика 10

    092613 0200 10116 Математика 10

    Нормальный вектор прямой 092613 0200 10117 Математика 10: 092613 0200 10118 Математика 10.

    Тогда уравнение высоты, опущенной из вершины 092613 0200 10119 Математика 10, имеет вид:

    092613 0200 10120 Математика 10

    092613 0200 10121 Математика 10

    4) система неравенств, определяющих треугольник 092613 0200 10122 Математика 10

    Найдем уравнение прямой 092613 0200 10123 Математика 10:

    092613 0200 10124 Математика 10

    092613 0200 10125 Математика 10

    Тогда искомая система неравенств будет иметь вид:

    092613 0200 10126 Математика 10

    092613 0200 10127 Математика 10

    Рисунок 1

     

    Задача 48. Не применяя правила Лопиталя, найти пределы функций:

    А) 092613 0200 10128 Математика 10

    Б) 092613 0200 10129 Математика 10

    В) 092613 0200 10130 Математика 10

    Г) 092613 0200 10131 Математика 10

    Задача 58. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

    092613 0200 10132 Математика 10

    Решение.

    Потенциальные точки разрыва функции: 092613 0200 10133 Математика 10

    Определим их тип:

    092613 0200 10134 Математика 10

    092613 0200 10135 Математика 10

    092613 0200 10136 Математика 10

    В точке 092613 0200 10137 Математика 10 функция имеет вид 092613 0200 10138 Математика 10 и равна 0.

    Следовательно, в точке 092613 0200 10139 Математика 10 разрыва функции нет.

    092613 0200 10140 Математика 10

    092613 0200 10141 Математика 10

    092613 0200 10142 Математика 10

    Т.о., точка 092613 0200 10143 Математика 10 — точка устранимого разрыва первого рода.

    Скачок функции в этой точке равен:

    092613 0200 10144 Математика 10

    График функции имеет вид:

    092613 0200 10145 Математика 10

     

    Рисунок 2

    Задача 68. Найти производные 092613 0200 10146 Математика 10 данных функций.

    А) 092613 0200 10147 Математика 10

    Решение.

    <

    092613 0200 10148 Математика 10

    Б) 092613 0200 10149 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10150 Математика 10

    В) 092613 0200 10151 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10152 Математика 10

    Г) 092613 0200 10153 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10154 Математика 10.

     

    Задача 78. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 092613 0200 10155 Математика 10 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

    Решение.

    Пусть 092613 0200 10156 Математика 10 — ребро (сторона) дна бассейна, а 092613 0200 10157 Математика 10 — высота бассейна.

    Тогда его объем можно найти по формуле:

    092613 0200 10158 Математика 10

    А площадь поверхности: 092613 0200 10159 Математика 10.

    Выразим высоту через объем и найденное значение подставим в формулу площади поверхности:

    092613 0200 10160 Математика 10

    092613 0200 10161 Математика 10

    Найдем значение параметра 092613 0200 10162 Математика 10 такое, при котором функция 092613 0200 10163 Математика 10 принимает минимальное значение:

    092613 0200 10164 Математика 10

    092613 0200 10165 Математика 10

    Тогда высота равна: 092613 0200 10166 Математика 10.

    Таким образом, размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 092613 0200 10167 Математика 10, при которых на облицовку его стен и дна пойдет наименьшее количество материала:

    092613 0200 10168 Математика 10.

     

    Задача 88. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график:

    092613 0200 10169 Математика 10

    Решение.

    1) функция существует и непрерывна на 092613 0200 10170 Математика 10

    2) функция периодическая

    3) промежутки монотонности и экстремумы функции

    092613 0200 10171 Математика 10

    Приравняем производную к нулю и таким образом найдем точки экстремума:

    092613 0200 10172 Математика 10

    092613 0200 10173 Математика 10, 092613 0200 10174 Математика 10

    Минимум функции в точках 092613 0200 10175 Математика 10, 092613 0200 10176 Математика 10: 092613 0200 10177 Математика 10

    Максимум: 092613 0200 10178 Математика 10, 092613 0200 10179 Математика 10, 092613 0200 10180 Математика 10

    Промежутки монотонности:

    Функция возрастает: 092613 0200 10181 Математика 10

    Убывает при 092613 0200 10182 Математика 10.

    4) промежутки выпуклости/вогнутости функции

    092613 0200 10183 Математика 10

    092613 0200 10184 Математика 10092613 0200 10185 Математика 10 — точки перегиба функции.

    Функция выпукла при 092613 0200 10186 Математика 10

    Функция вогнута при 092613 0200 10187 Математика 10

    5) асимптоты: вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

    6) график функции имеет вид:

    092613 0200 10188 Математика 10

     

    Задача 98. Найти частные производные функции

    092613 0200 10189 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10190 Математика 10

    092613 0200 10191 Математика 10

     

    Задача 108. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

    092613 0200 10192 Математика 10

    092613 0200 10193 Математика 10, 092613 0200 10194 Математика 10, 092613 0200 10195 Математика 10

    Решение.

    1. Построим область, ограниченную заданными линиями, на плоскости 092613 0200 10196 Математика 10:

    092613 0200 10197 Математика 10

    Рисунок 3

    Угловые точки: 092613 0200 10198 Математика 10, 092613 0200 10199 Математика 10, 092613 0200 10200 Математика 10.

    Граница Г области 092613 0200 10201 Математика 10 состоит из трех частей:

    092613 0200 10202 Математика 10: 092613 0200 10203 Математика 10, 092613 0200 10204 Математика 10

    092613 0200 10205 Математика 10: 092613 0200 10206 Математика 10, 092613 0200 10207 Математика 10

    092613 0200 10208 Математика 10: 092613 0200 10209 Математика 10, 092613 0200 10210 Математика 10

    2. Найдем стационарные точки внутри области 092613 0200 10211 Математика 10:

    092613 0200 10212 Математика 10

    3. Стационарные точки на границах 092613 0200 10213 Математика 10, 092613 0200 10214 Математика 10, 092613 0200 10215 Математика 10:

    А) 092613 0200 10216 Математика 10: 092613 0200 10217 Математика 10, 092613 0200 10218 Математика 10092613 0200 10219 Математика 10, 092613 0200 10220 Математика 10092613 0200 10221 Математика 10092613 0200 10222 Математика 10→ получаем точку 092613 0200 10223 Математика 10

    Б) 092613 0200 10224 Математика 10: 092613 0200 10225 Математика 10, 092613 0200 10226 Математика 10092613 0200 10227 Математика 10, 092613 0200 10228 Математика 10092613 0200 10229 Математика 10092613 0200 10230 Математика 10→ получаем точку 092613 0200 10231 Математика 10

    В) 092613 0200 10232 Математика 10: 092613 0200 10233 Математика 10, 092613 0200 10234 Математика 10092613 0200 10235 Математика 10092613 0200 10236 Математика 10092613 0200 10237 Математика 10 → получаем точку 092613 0200 10238 Математика 10 — стационарная точка.

    4. вычисляем четыре значения

    092613 0200 10239 Математика 10

    092613 0200 10240 Математика 10

    092613 0200 10241 Математика 10

    092613 0200 10242 Математика 10

    Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

    092613 0200 10243 Математика 10

    092613 0200 10244 Математика 10.

     

    Задача 118. Найти неопределенные интегралы

    А) 092613 0200 10245 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10246 Математика 10

    Б) 092613 0200 10247 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10248 Математика 10

    092613 0200 10249 Математика 10

    092613 0200 10250 Математика 10

    092613 0200 10251 Математика 10

    092613 0200 10252 Математика 10

    Т.о.

    092613 0200 10253 Математика 10.

     

    Задача 128. Вычислить определенный интеграл.

    092613 0200 10254 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10255 Математика 10

     

    Задача 138. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    092613 0200 10256 Математика 10

    Решение.

    092613 0200 10257 Математика 10

    Данный предел не существует, следовательно, несобственный интеграл 092613 0200 10258 Математика 10 расходится.

     

     

     

    Задача 148. Решить дифференциальное уравнение.

    092613 0200 10259 Математика 10

    Решение.

    Это уравнение Бернулли.

    Сведем его к линейному подстановкой 092613 0200 10260 Математика 10, где 092613 0200 10261 Математика 10. Получаем

    092613 0200 10262 Математика 10

    Решим полученное уравнение методом Бернулли

    Полагаем 092613 0200 10263 Математика 10. Тогда 092613 0200 10264 Математика 10. Получаем:

    092613 0200 10265 Математика 10

    092613 0200 10266 Математика 10

    Решаем уравнение 092613 0200 10267 Математика 10:

    092613 0200 10268 Математика 10

    092613 0200 10269 Математика 10

    092613 0200 10270 Математика 10.

    Теперь решаем уравнение 092613 0200 10271 Математика 10, т.е.

    092613 0200 10272 Математика 10

    092613 0200 10273 Математика 10

    092613 0200 10274 Математика 10

    Итак, 092613 0200 10275 Математика 10.

    Т.к. 092613 0200 10276 Математика 10, то общий интеграл дифференциального уравнения 092613 0200 10277 Математика 10 есть:

    092613 0200 10278 Математика 10.

     

     

    Задача 158. Найти область сходимость ряда.

    092613 0200 10279 Математика 10

    Решение.

    Находим радиус сходимости ряда:

    Так как 092613 0200 10280 Математика 10, то 092613 0200 10281 Математика 10.

    Т.е. ряд 092613 0200 10282 Математика 10 сходится на всей числовой оси.

    Задача 168. Разложить в ряд Маклорена.

    092613 0200 10283 Математика 10

    Решение.

    Разложение функции 092613 0200 10284 Математика 10 в ряд Маклорена имеет вид:

    092613 0200 10285 Математика 10.

    Тогда разложение в ряд Маклорена функции 092613 0200 10286 Математика 10 имеет вид:

    092613 0200 10287 Математика 10

    Т.е.

    092613 0200 10288 Математика 10.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Список литературы

     

  11. Горчаков А.А., Орлова И.В. Высшая математика. –М.: ЮРИТИ, 2005.
  12. Информатика и математика для юристов (информационные системы): Учебное пособие / Под ред. проф. В.Д. Элькина. — М.: Профобразование, 2008.
  13. Информатика и математика для юристов. Сеть Интернет: Учебное пособие. / Под ред. проф. В.Д. Элькина. — М.: Профобразование, 2007.
  14. Информатика для юристов и экономистов / Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2008.
  15. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. –М.: ЮНИТИ, 2009.
  16. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по высшей математике. –М.: Экономическое образование, 2008.
  17. Четыркин Е.М. Высшая математика. –М.: Дело, 2010.

     

     

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1MB/0.00219 sec

WordPress: 22.8MB | MySQL:122 | 1,566sec