Математика 10

<

092613 0131 101 Математика 10Задание 1. Найдите производную функции по определению.

092613 0131 102 Математика 10

Решение.

 

По определению производной 092613 0131 103 Математика 10

092613 0131 104 Математика 10

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Найти промежутки монотонности функции.

092613 0131 105 Математика 10

Решение.

Вычислим производную функции.

092613 0131 106 Математика 10.

Приравняем к нулю, найдем критические точки.

092613 0131 107 Математика 10

Найти промежутки монотонности

092613 0131 108 Математика 10
092613 0131 109 Математика 10

На 092613 0131 1010 Математика 10 функция является убывающей, на 092613 0131 1011 Математика 10 функция является возрастающей.

 

Задание 3. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

092613 0131 1012 Математика 10

Решение.

Приведем исходное уравнение к виду:

092613 0131 1013 Математика 10

Рассмотрим уравнение с разделяющимися переменными и решим его:

 

 

092613 0131 1014 Математика 10

092613 0131 1015 Математика 10

Общее решение:

092613 0131 1016 Математика 10

Задание 4. Найти асимптоты функций.

092613 0131 1017 Математика 10

Решение.

 

Найдем наклонные асимптоты:

092613 0131 1018 Математика 10, 092613 0131 1019 Математика 10.

092613 0131 1020 Математика 10,

092613 0131 1021 Математика 10

 

Итак, 092613 0131 1022 Математика 10 и 092613 0131 1023 Математика 10 — наклонные асимптоты, т.к. функция четная (y(-x)=y(x)), график функции симметричен относительно оси OY.

 

Задание 5. Исследовать с помощью производной заданные функции и построить график функции.

092613 0131 1024 Математика 10

Решение.

  1. Найдем область определения функции: 092613 0131 1025 Математика 10,
  2. Область значений 092613 0131 1026 Математика 10
  3. Функция является не четной – график симметричен относительно начала координат, так как 092613 0131 1027 Математика 10
  4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

        а) с осью OX, y=0 тогда 092613 0131 1028 Математика 10; 092613 0131 1029 Математика 10; 092613 0131 1030 Математика 10

    график пересекается ось OX в точке (0; 0), (-1; 0), (1; 0).

     

  5. Найдем горизонтальные асимптоты

    092613 0131 1031 Математика 10    

Найдем наклонные асимптоты:

092613 0131 1032 Математика 10, 092613 0131 1033 Математика 10.

092613 0131 1034 Математика 10,

 

    Вывод: асимптот нет.

6) Найдем критические точки и интервалы монотонности функции. Вычислим производную и, приравняв к 0 найдем критические точки:

092613 0131 1035 Математика 10.

092613 0131 1036 Математика 10.

Найдем значение функции в найденных точках:

092613 0131 1037 Математика 10

092613 0131 1038 Математика 10

Найдем промежутки возрастания и убывания.

092613 0131 1039 Математика 10

092613 0131 1040 Математика 10

092613 0131 1041 Математика 10

 

7) Промежутки вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.

<

092613 0131 1042 Математика 10

Найдем точки перегиба приравняв к нулю.

092613 0131 1043 Математика 10

092613 0131 1044 Математика 10; 092613 0131 1045 Математика 10

(0; 0) – точка перегиба.

Найдем промежутки выпуклости (вогнутости)

092613 0131 1046 Математика 10

На 092613 0131 1047 Математика 10 функция вогнута, а на 092613 0131 1048 Математика 10 функция выпукла.

8) Найдем координаты дополнительных точек.

092613 0131 1049 Математика 10

092613 0131 1050 Математика 10

График функции проходит через точки (2; -5) и (-2; 5).

9) Построим график функции:

092613 0131 1051 Математика 10

 

092613 0131 1052 Математика 10092613 0131 1053 Математика 10

 

 

Задание 6. Исследовать на экстремум функцию с помощью производной.

092613 0131 1054 Математика 10

Решение.

Вычислим производные первого и второго порядка.

092613 0131 1055 Математика 10

092613 0131 1056 Математика 10

 

Найдем критические точки

092613 0131 1057 Математика 10

092613 0131 1058 Математика 10

Найдем промежутки монотонности

092613 0131 1059 Математика 10

092613 0131 1060 Математика 10

 

092613 0131 1061 Математика 10

 

Найдем точки перегиба

092613 0131 1062 Математика 10

092613 0131 1063 Математика 10

Найдем промежутки выпуклости вогнутости

092613 0131 1064 Математика 10

092613 0131 1065 Математика 10

На 092613 0131 1066 Математика 10 функция вогнута, а на 092613 0131 1067 Математика 10 функция выпукла.

Вывод: (-2; -6) точка максимума и (-1; -7) точка минимума.

Других точек экстремумов нет.

 

 

Задание 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

092613 0131 1068 Математика 10

Решение.

Вычислим производную и приравняем к нулю

092613 0131 1069 Математика 10

Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка

092613 0131 1070 Математика 10

092613 0131 1071 Математика 10

092613 0131 1072 Математика 10

Наименьшее значение функции на промежутке

092613 0131 1073 Математика 10

Наибольшее значение функции на промежутке

092613 0131 1074 Математика 10

 

Задание 8. Вычислить неопределенный интеграл.

092613 0131 1075 Математика 10

Решение.

Внесем под дифференциал cos x

092613 0131 1076 Математика 10

 

Задание 9. Вычислить определенный интеграл.

092613 0131 1077 Математика 10

Решение.

 

Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница:

092613 0131 1078 Математика 10

 

Задание 10. Вычислить площадь фигуры (предварительно сделав рисунок), ограниченной линиями и осью ox.

092613 0131 1079 Математика 10

Решение.

Выразим функции

092613 0131 1080 Математика 10

Найдем точку пересечения из системы

092613 0131 1081 Математика 10

092613 0131 1082 Математика 10

График функции 092613 0131 1083 Математика 10проходит через точку (0; 3) и (-1; 2)

График функции 092613 0131 1084 Математика 10проходит через точку (0; 1) и (-1; 2)

 

092613 0131 1085 Математика 10Сделаем чертёж.

092613 0131 1086 Математика 10092613 0131 1087 Математика 10092613 0131 1088 Математика 10

Вычислим площадь

092613 0131 1089 Математика 10

 

Список литературы

 

  1. Глухов М.М. Алгебра и начертательная геометрия. –М.: Гелиос, 2008.
  2. Епихин В.Е. Алгебра и теория пределов. Элективный курс. –М.: Бином, 2006.
  3. Игнатович И.К. Алгебра и начала анализа. –М.: ТетраСистемс, 2008.
<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.93MB/0.00166 sec

WordPress: 22.71MB | MySQL:118 | 1,872sec