Математика 12

<

092613 0206 121 Математика 12Задание 5

Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить 2 способами:

  1. методом Крамера
  2. средствами матричного исчисления

    092613 0206 122 Математика 12

    Решение

    Совместимость:

    Находим ранг матриц системы:

    А1=092613 0206 123 Математика 12092613 0206 124 Математика 12092613 0206 125 Математика 12

    Ранг А1 равен 3.

    А2=092613 0206 126 Математика 12092613 0206 127 Математика 12092613 0206 128 Математика 12

    Ранг А2 равен 3, значит, система уравнений является совместимой.

    1) Метод Крамера:

    Запишем систему в виде:

     

    BT = (-4,3,-5)

    Главный определитель:

    ∆ = 1∙(-3∙(-1)-1∙1)-4∙(1∙(-1)-1∙(-1))+2∙(1∙1-(-3∙(-1))) = -2 = -2

    Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    1 = -4∙(-3∙(-1)-1∙1)-3∙(1∙(-1)-1∙(-1))+(-5∙(1∙1-(-3∙(-1)))) = 2

     

    Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    2 = 1∙(3∙(-1)-(-5∙1))-4∙(-4∙(-1)-(-5∙(-1)))+2∙(-4∙1-3∙(-1)) = 4

     

    Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    3 = 1∙(-3∙(-5)-1∙3)-4∙(1∙(-5)-1∙(-4))+2∙(1∙3-(-3∙(-4))) = -2

     

    Выпишем отдельно найденные переменные Х

     

     

     

  3. средствами матричного исчисления

    092613 0206 129 Математика 12092613 0206 1210 Математика 12092613 0206 1211 Математика 12

    092613 0206 1212 Математика 12

    Из последнего уравнения: 092613 0206 1213 Математика 12

    092613 0206 1214 Математика 12

    092613 0206 1215 Математика 12

    Ответ: 092613 0206 1216 Математика 12, 092613 0206 1217 Математика 12, 092613 0206 1218 Математика 12

     

    Задание 15

    Даны координаты вершин пирамиды. Средствами векторной алгебры найти:

  4. длину ребра
  5. угол между ребрами 092613 0206 1219 Математика 12 и 092613 0206 1220 Математика 12
  6. площадь грани 092613 0206 1221 Математика 12
  7. объем пирамиды.

    092613 0206 1222 Математика 12

    Решение

    Координаты векторов находим по формуле:

    X = xj — xi; Y = y j — yi; Z = z j — z i

    здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;

    Например, для вектора A1A2

    X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1

    X = -2-10; Y = 8-6; Z = 2-6

    A1A2(-12;2;-4)

    A1A3(-4;2;3)

    A1A4(-3;4;-3)

    A2A3(8;0;7)

    A2A4(9;2;1)

    A3A4(1;2;-6)

    Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

     

     

     

     

     

     

     

    Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

     

    где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

    Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4

     

    Площадь грани можно найти по формуле:

     

     

    Найдем площадь грани A1A2A3

    Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3:

     

     

    Площадь грани A1A2A3

     

    Объем пирамиды, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

     

     

    ∆ = -12•(2•(-3)-4•3)-(-4•(2•(-3)-4•(-4)))+(-3•(2•3-2•(-4))) = 214

     

    Задание 25

    Доказать, что векторы линейно независимы и найти разложение вектора х по векторам 092613 0206 1223 Математика 12.

    x=(-5, -5, 5) a=(-2, 0, 1) b=(1, 3, 1) c=(0, 4, 1)

    Решение

    Строим матрицу из векторов 092613 0206 1224 Математика 12.

    092613 0206 1225 Математика 12092613 0206 1226 Математика 12092613 0206 1227 Математика 12

    Ранг матрицы равен 3, значит векторы 092613 0206 1228 Математика 12 являются линейно независимыми.

    Разложение вектора х по векторам 092613 0206 1229 Математика 12:

    092613 0206 1230 Математика 12

    Запишем систему в виде:

     

    BT = (-5,-5,5)

    Главный определитель:

    ∆ = -2∙(2∙1-1∙4)-0∙(1∙1-1∙0)+1∙(1∙4-2∙0) = 8 = 8

    Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    1 = -5∙(2∙1-1∙4)-(-5∙(1∙1-1∙0))+5∙(1∙4-2∙0) = 35

     

    Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    2 = -2∙(-5∙1-5∙4)-0∙(-5∙1-5∙0)+1∙(-5∙4-(-5∙0)) = 30

     

    Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    3 = -2∙(2∙5-1∙(-5))-0∙(1∙5-1∙(-5))+1∙(1∙(-5)-2∙(-5)) = -25

     

    Выпишем отдельно найденные переменные Х

     

     

     

    Х=(4,375, 3,75, -3,125)

     

     

     

    Задание 35

    Даны вершины треугольника АВС. Найти:

  8. общее уравнение стороны АВ
  9. длину стороны ВС
  10. уравнение высоты, опущенной из вершины А
  11. систему неравенств, определяющих треугольник АВС

    А(2,4) В(-2,-1) С(14,1)

    Решение

  12. общее уравнение стороны АВ

    092613 0206 1231 Математика 12

  13. длину стороны ВС

        092613 0206 1232 Математика 12

  14. уравнение высоты, опущенной из вершины А

    Высота падает на прямую ВС.

    Уравнение ВС:

    092613 0206 1233 Математика 12

    Угловой коэффициент: 092613 0206 1234 Математика 12

    По теореме о перпендикулярности прямых, 092613 0206 1235 Математика 12

    Уравнение высоты:

    092613 0206 1236 Математика 12

  15. систему неравенств, определяющих треугольник АВС

    Прямая АВ: -5х+4у-6=0

    Прямая ВС: х-8у-6=0

    Прямая АС:

    092613 0206 1237 Математика 12

    Система неравенств:

    092613 0206 1238 Математика 12

     

    Задание 45

    Не применяя правило Лопиталя найти пределы:

    А) 092613 0206 1239 Математика 12=092613 0206 1240 Математика 12092613 0206 1241 Математика 12

    Б) 092613 0206 1242 Математика 12=092613 0206 1243 Математика 12092613 0206 1244 Математика 12092613 0206 1245 Математика 12

    В) 092613 0206 1246 Математика 12=092613 0206 1247 Математика 12092613 0206 1248 Математика 121

    Г) 092613 0206 1249 Математика 12=092613 0206 1250 Математика 12=092613 0206 1251 Математика 12=092613 0206 1252 Математика 12

     

     

     

    Задание 55

    Найти точки разрыва функции, скачок функции в каждой точке разрыва, построить график.

    092613 0206 1253 Математика 12

    Решение

    092613 0206 1254 Математика 12092613 0206 1255 Математика 12

    092613 0206 1256 Математика 12092613 0206 1257 Математика 12

    Точка х=0 не является точкой разрыва

    092613 0206 1258 Математика 12092613 0206 1259 Математика 12

    092613 0206 1260 Математика 12092613 0206 1261 Математика 12

    Точка х=2 является точкой разрыва

    Скачок функции: 092613 0206 1262 Математика 12092613 0206 1263 Математика 12-1

    092613 0206 1264 Математика 12График:

    092613 0206 1265 Математика 12

     

    092613 0206 1266 Математика 12092613 0206 1267 Математика 12092613 0206 1268 Математика 12

    092613 0206 1269 Математика 12

     

    092613 0206 1270 Математика 12092613 0206 1271 Математика 12

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задание 65

    Найти производные

    А) 092613 0206 1272 Математика 12

    092613 0206 1273 Математика 12

    Б) 092613 0206 1274 Математика 12

    092613 0206 1275 Математика 12

    В) 092613 0206 1276 Математика 12)

    092613 0206 1277 Математика 12=092613 0206 1278 Математика 12

    Г) 092613 0206 1279 Математика 12

    092613 0206 1280 Математика 12092613 0206 1281 Математика 12

     

    Задание 75

    <

    Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

    Решение

    092613 0206 1282 Математика 12

    Требуется, чтобы площадь окна была наибольшей. Обозначим основание окна через х и выразим площадь окна через х. Чтобы найти h, воспользуемся равенством 092613 0206 1283 Математика 12 ; 092613 0206 1284 Математика 12.

    Отсюда площадь окна 092613 0206 1285 Математика 12.

    Чтобы найти область определения функции S(x), учитываем, что x>0 и h>0, т.е. 092613 0206 1286 Математика 12, 092613 0206 1287 Математика 12, 092613 0206 1288 Математика 12

    Область определения функции S(x) – интервал (0; 092613 0206 1289 Математика 12):

    092613 0206 1290 Математика 12 ; 092613 0206 1291 Математика 12 ; х= 092613 0206 1292 Математика 12.

    Легко проверить, что при х= 092613 0206 1293 Математика 12 функция имеет наибольшее значение. При этом 092613 0206 1294 Математика 12.

    Основание окна должно быть равно 092613 0206 1295 Математика 12м, высота прямоугольной части окна равна 092613 0206 1296 Математика 12м (высота прямоугольной части окна в два раза меньше основания окна).

     

    Задание 85

    Исследовать функции и построить график

    092613 0206 1297 Математика 12

    Решение

    1) область определения:

    092613 0206 1298 Математика 12

    Область значений: 092613 0206 1299 Математика 12

    2) четность:

    092613 0206 12100 Математика 12

    092613 0206 12101 Математика 12 ,не является ни четной, ни нечетной

    3) на бесконечности:

    092613 0206 12102 Математика 12

    092613 0206 12103 Математика 12

    4) точки пересечения с осями:

    ОХ: у=0, 092613 0206 12104 Математика 12=0, х=0, не принадлежит области определения

     

  16. асимптоты:

     

    Вертикальная: х=0

    Наклонные: у=кх+в

    092613 0206 12105 Математика 12

    Не существует наклонных ассимптот

    6) производная:

    092613 0206 12106 Математика 12

    092613 0206 12107 Математика 12, функция убывает

    092613 0206 12108 Математика 12 функция возрастает

    7)

    Х

    092613 0206 12109 Математика 12 0 1.2 +092613 0206 12110 Математика 12

    F(x) 

    F'(x) 

    092613 0206 12111 Математика 12092613 0206 12112 Математика 12092613 0206 12113 Математика 12 — 0 +

    8) График:

    092613 0206 12114 Математика 12

     

    Задание 95

    Найти частные производные функции

    092613 0206 12115 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12116 Математика 12092613 0206 12117 Математика 12

    092613 0206 12118 Математика 12092613 0206 12119 Математика 12

    092613 0206 12120 Математика 12092613 0206 12121 Математика 12092613 0206 12122 Математика 12

    +092613 0206 12123 Математика 12092613 0206 12124 Математика 12

    +092613 0206 12125 Математика 12

    092613 0206 12126 Математика 12092613 0206 12127 Математика 12092613 0206 12128 Математика 12

    +092613 0206 12129 Математика 12092613 0206 12130 Математика 12

    +092613 0206 12131 Математика 12

    092613 0206 12132 Математика 12(092613 0206 12133 Математика 12=092613 0206 12134 Математика 12

    +092613 0206 12135 Математика 12092613 0206 12136 Математика 12

    +092613 0206 12137 Математика 12

     

    Задание 105

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями:

    092613 0206 12138 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12139 Математика 12

    092613 0206 12140 Математика 12

    Составляем и решаем систему уравнений:

    092613 0206 12141 Математика 12

    Из первого уравнения, 092613 0206 12142 Математика 12

    Подставляем во второе уравнение:

    092613 0206 12143 Математика 12

    Нет корней, значит, нет глобального экстремума.

    Проверяем на локальный экстремум:

    На прямой х=-2:

    092613 0206 12144 Математика 12

    092613 0206 12145 Математика 12

    092613 0206 12146 Математика 12

    Нет корней

    Минимальное значение получаем при у=3 092613 0206 12147 Математика 12

    Максимальное значение при у=-3 092613 0206 12148 Математика 12

    На прямой х=2:

    092613 0206 12149 Математика 12

    092613 0206 12150 Математика 12

    092613 0206 12151 Математика 12

    092613 0206 12152 Математика 12092613 0206 12153 Математика 12092613 0206 12154 Математика 12    +    —    +    

        —092613 0206 12155 Математика 12
    092613 0206 12156 Математика 12

     

    092613 0206 12157 Математика 12=10,51

    092613 0206 12158 Математика 12=21

    z(-3)=-22

    z(3)=33

    Минимальное значение получаем при у=-3 092613 0206 12159 Математика 12

    Максимальное значение при у=3 092613 0206 12160 Математика 12

    На прямой y=-3:

    092613 0206 12161 Математика 12

    092613 0206 12162 Математика 12

    092613 0206 12163 Математика 12

    092613 0206 12164 Математика 12092613 0206 12165 Математика 12        —     +

        092613 0206 12166 Математика 12

    z(3/2)=-22

    z(2)=-22

    z(-2)=86

    Минимальное значение получаем при x=3/2 092613 0206 12167 Математика 12

    Максимальное значение при х=-2 092613 0206 12168 Математика 12

    На прямой y=3:

    092613 0206 12169 Математика 12

    092613 0206 12170 Математика 12

    092613 0206 12171 Математика 12

    092613 0206 12172 Математика 12092613 0206 12173 Математика 12        +     —

        092613 0206 12174 Математика 12

    z(3/2)=34,25

    z(2)=32

    z(-2)=-76

    Минимальное значение получаем при x=-2 092613 0206 12175 Математика 12

    Максимальное значение при х=3/2 092613 0206 12176 Математика 12

    Ответ: Максимальное значение z=86 в точке: (-2,-3)

    Минимальное значение: z=-76 в точке: (-2,3)

     

     

    Задание 115

    Найти интегралы

    А) 092613 0206 12177 Математика 12

    Б) 092613 0206 12178 Математика 12

    Решение

    А) 092613 0206 12179 Математика 12

    Разложим дробь 092613 0206 12180 Математика 12 на простые дроби:

    092613 0206 12181 Математика 12=092613 0206 12182 Математика 12

    092613 0206 12183 Математика 12=092613 0206 12184 Математика 12092613 0206 12185 Математика 12

    092613 0206 12186 Математика 12, 092613 0206 12187 Математика 12

    092613 0206 12188 Математика 12=092613 0206 12189 Математика 12

    092613 0206 12190 Математика 12=092613 0206 12191 Математика 12092613 0206 12192 Математика 12)092613 0206 12193 Математика 12

    =092613 0206 12194 Математика 12=092613 0206 12195 Математика 12

    Б) 092613 0206 12196 Математика 12 =092613 0206 12197 Математика 12=092613 0206 12198 Математика 12

     

     

    Задание 125

    Вычислить определенные интегралы

    092613 0206 12199 Математика 12

    Решение

    Делаем подстановку:

    092613 0206 12200 Математика 12=092613 0206 12201 Математика 12

    =092613 0206 12202 Математика 12=092613 0206 12203 Математика 12

     

    Задание 135

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

    092613 0206 12204 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12205 Математика 12=092613 0206 12206 Математика 12

    =092613 0206 12207 Математика 12=1

     

    Задание 145

    Решить диф уравнение

    092613 0206 12208 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12209 Математика 12

    Делим на 092613 0206 12210 Математика 12

    092613 0206 12211 Математика 12

    Однородное уравнение:

    092613 0206 12212 Математика 12

    092613 0206 12213 Математика 12

    Решение неоднородного уравнения ищем в виде:

    092613 0206 12214 Математика 12

    Подставляем в начальное уравнение:

    092613 0206 12215 Математика 12

    092613 0206 12216 Математика 12

     

    Задание 155

    Найти область сходимости ряда

    092613 0206 12217 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12218 Математика 12

    092613 0206 12219 Математика 12

    092613 0206 12220 Математика 12

    092613 0206 12221 Математика 12

    Ряд сходится при 092613 0206 12222 Математика 12

     

    Задание 165

    Разложить в ряд Маклорена

    092613 0206 12223 Математика 12

    Решение

    092613 0206 12224 Математика 12

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.99MB/0.00042 sec

WordPress: 21.73MB | MySQL:120 | 1,871sec