Математика 12

<

092613 0134 121 Математика 12№12.

Найти градиент скалярного поля 092613 0134 122 Математика 12, где 092613 0134 123 Математика 12. Вычислить производную этого поля в точке A по направлению вектора AB.

6. 092613 0134 124 Математика 12; 092613 0134 125 Математика 12; 092613 0134 126 Математика 12.

Решение.

092613 0134 127 Математика 12.

Градиент скалярного поля равен 092613 0134 128 Математика 12. Найдем частные производные

092613 0134 129 Математика 12,

092613 0134 1210 Математика 12,

092613 0134 1211 Математика 12.

Тогда получим градиент

092613 0134 1212 Математика 12.

Производная скалярного поля по направлению, заданному вектором 092613 0134 1213 Математика 12, вычисляется по формуле 092613 0134 1214 Математика 12, где 092613 0134 1215 Математика 12, 092613 0134 1216 Математика 12, 092613 0134 1217 Математика 12 — направляющие косинусы вектора 092613 0134 1218 Математика 12, 092613 0134 1219 Математика 12.

Вектор 092613 0134 1220 Математика 12. Найдем единичный вектор 092613 0134 1221 Математика 12,

092613 0134 1222 Математика 12.

092613 0134 1223 Математика 12,

092613 0134 1224 Математика 12,

092613 0134 1225 Математика 12.

Тогда получаем

092613 0134 1226 Математика 12.

Ответ: 092613 0134 1227 Математика 12, 092613 0134 1228 Математика 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

№13. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

6. 1) 092613 0134 1229 Математика 12; 2) 092613 0134 1230 Математика 12; 3) 092613 0134 1231 Математика 12.

Решение.

1) 092613 0134 1232 Математика 12;

Для вычисления интеграла используем то что 092613 0134 1233 Математика 12. Далее воспользуемся табличным интегралом 092613 0134 1234 Математика 12, получим

092613 0134 1235 Математика 12.

Сделаем проверку.

092613 0134 1236 Математика 12.

2) 092613 0134 1237 Математика 12.

Представим дробь 092613 0134 1238 Математика 12 в виде суммы простых дробей. Для начала разложим знаменатель на множители. Решим уравнение 092613 0134 1239 Математика 12,

092613 0134 1240 Математика 12.

Тогда получим 092613 0134 1241 Математика 12 и 092613 0134 1242 Математика 12.

Получим разложение 092613 0134 1243 Математика 12.

Дробь представим в виде 092613 0134 1244 Математика 12. Найдем коэффициенты.

092613 0134 1245 Математика 12,

092613 0134 1246 Математика 12,

092613 0134 1247 Математика 12.

Тогда

092613 0134 1248 Математика 12

092613 0134 1249 Математика 12,

092613 0134 1250 Математика 12,

092613 0134 1251 Математика 12.

Отсюда 092613 0134 1252 Математика 12.

Значит 092613 0134 1253 Математика 12. Тогда интеграл равен

092613 0134 1254 Математика 12.

<

Так как 092613 0134 1255 Математика 12 и 092613 0134 1256 Математика 12. Используем табличный интеграл 092613 0134 1257 Математика 12. Получим

092613 0134 1258 Математика 12

Сделаем проверку.

092613 0134 1259 Математика 12

3) 092613 0134 1260 Математика 12.

Интегрируем по частям 092613 0134 1261 Математика 12. Обозначим 092613 0134 1262 Математика 12 и 092613 0134 1263 Математика 12, тогда 092613 0134 1264 Математика 12 и 092613 0134 1265 Математика 12. Получим

092613 0134 1266 Математика 12

Сделаем проверку.

092613 0134 1267 Математика 12

 

 

 

 

№16. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

6. 092613 0134 1268 Математика 12, 092613 0134 1269 Математика 12.

Решение.

Построим область.

092613 0134 1270 Математика 12 — это есть уравнение параболы, 092613 0134 1271 Математика 12— уравнение прямой.

092613 0134 1272 Математика 12

 

Найдем координаты точек A и B. Решим уравнение 092613 0134 1273 Математика 12.

092613 0134 1274 Математика 12,

092613 0134 1275 Математика 12.

Получим 092613 0134 1276 Математика 12 и 092613 0134 1277 Математика 12.

Тогда 092613 0134 1278 Математика 12 и 092613 0134 1279 Математика 12.

Получим 092613 0134 1280 Математика 12 и 092613 0134 1281 Математика 12.

Выразим уравнения 092613 0134 1282 Математика 12 и 092613 0134 1283 Математика 12. Тогда площадь равна

092613 0134 1284 Математика 12

Ответ: 092613 0134 1285 Математика 12.

 

 

 

№17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L.

6. 092613 0134 1286 Математика 12, 092613 0134 1287 Математика 12, 092613 0134 1288 Математика 12.

Решение.

Построим область ограниченную данными кривыми

092613 0134 1289 Математика 12

Тогда тело получается вращением кривой 092613 0134 1290 Математика 12 вокруг оси Ox.

Объем тела вращения вычисляется по формуле 092613 0134 1291 Математика 12. Тогда получим

092613 0134 1292 Математика 12.

Ответ: 092613 0134 1293 Математика 12.

 

№18. Изменить порядок интегрирования в дойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

092613 0134 1294 Математика 12.

Решение.

Построим область интегрирования. Для этого строим кривые 092613 0134 1295 Математика 12, 092613 0134 1296 Математика 12, 092613 0134 1297 Математика 12 и 092613 0134 1298 Математика 12.

092613 0134 1299 Математика 12

 

Изменим порядок интегрирования. Выразим 092613 0134 12100 Математика 12092613 0134 12101 Математика 12 и 092613 0134 12102 Математика 12092613 0134 12103 Математика 12

092613 0134 12104 Математика 12.

 

 

 

№19. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертёж данного тела и его проекции на плоскость XOY.

6. 092613 0134 12105 Математика 12, 092613 0134 12106 Математика 12, 092613 0134 12107 Математика 12, 092613 0134 12108 Математика 12.

Решение.

092613 0134 12109 Математика 12

 

Проекция на плоскость XOY.

092613 0134 12110 Математика 12

Координат точек 092613 0134 12111 Математика 12 и 092613 0134 12112 Математика 12. Тогда объем равен

092613 0134 12113 Математика 12

 

Ответ: 092613 0134 12114 Математика 12.

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 22.5MB | MySQL:122 | 1,584sec