Математика 14

<

092613 0210 141 Математика 141. Вычертить область плоскости по данным условиям:

092613 0210 142 Математика 14, 092613 0210 143 Математика 14, 092613 0210 144 Математика 14, 092613 0210 145 Математика 14.

Решение.

Первому неравенству 092613 0210 146 Математика 14, соответствует внутренняя часть окружности с центром в точке 092613 0210 147 Математика 14 или что тоже самое 092613 0210 148 Математика 14 и 092613 0210 149 Математика 14, и радиусом 092613 0210 1410 Математика 14. Причем окружность не входит в область.

Второму неравенству 092613 0210 1411 Математика 14, соответствует угол между лучами 092613 0210 1412 Математика 14 (положительное направление оси OY) и 092613 0210 1413 Математика 14 (биссектриса 1 координатного угла). Лучи входят в область.

Третьему неравенству 092613 0210 1414 Математика 14 соответствует левая полуплоскость от прямой 092613 0210 1415 Математика 14. Прямая 092613 0210 1416 Математика 14 входит в область.

Четвертому неравенству 092613 0210 1417 Математика 14 соответствует нижняя полуплоскость от прямой 092613 0210 1418 Математика 14. Прямая 092613 0210 1419 Математика 14 не входит в область.

Построим область

092613 0210 1420 Математика 14

 

2. Найти все особые точки функции, определить их характер (для полюсов указать порядок) и вычислить вычеты в них.

092613 0210 1421 Математика 14.

Решение.

Разложим функцию в ряд. Для этого используем разложение

092613 0210 1422 Математика 14.

Тогда получим разложение искомой функции


092613 0210 1423 Математика 14.

Особая точка 092613 0210 1424 Математика 14. Так как главная часть разложения содержит бесконечное количество ненулевых членов, то особая точка 092613 0210 1425 Математика 14 является существенной особой точкой.

Вычет в этой точке 092613 0210 1426 Математика 14, так как в разложении отсутствует член при 092613 0210 1427 Математика 14.

 

 

 

3. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру.

092613 0210 1428 Математика 14, 092613 0210 1429 Математика 14.

Решение.

Особые точки функции 092613 0210 1430 Математика 14 это точки 092613 0210 1431 Математика 14— полюс второго порядка, 092613 0210 1432 Математика 14— простой полюс.

Внутри контура 092613 0210 1433 Математика 14 попали обе особые точки.

092613 0210 1434 Математика 14

Тогда интеграл равен

092613 0210 1435 Математика 14.

Вычислим вычеты

092613 0210 1436 Математика 14

092613 0210 1437 Математика 14.

Получим интеграл

092613 0210 1438 Математика 14

Ответ: 092613 0210 1439 Математика 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №2.

 

 

1. Исследовать сходимость числового ряда

092613 0210 1440 Математика 14.

Решение.

Используем предельный признак сравнения рядов.

Пусть даны два ряда 092613 0210 1441 Математика 14и 092613 0210 1442 Математика 14, у которых члены an и bn положительны для всех n. Если 092613 0210 1443 Математика 14, то оба ряда 092613 0210 1444 Математика 14и 092613 0210 1445 Математика 14либо сходятся, либо расходятся.

Сравним данный ряд с рядом 092613 0210 1446 Математика 14. Так как 092613 0210 1447 Математика 14. Тогда оба ряда либо сходятся, либо расходятся.

Ряд 092613 0210 1448 Математика 14 является обобщенным гармоническим 092613 0210 1449 Математика 14 с показателем 092613 0210 1450 Математика 14. Этот ряд сходится.

Следовательно, исходный ряд 092613 0210 1451 Математика 14 тоже сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

 

2. Найти интервал сходимости степенного ряда

092613 0210 1452 Математика 14.

Решение.

Найдем радиус сходимости данного ряда.

Используем радикальный признак Коши 092613 0210 1453 Математика 14. Здесь 092613 0210 1454 Математика 14. Тогда

092613 0210 1455 Математика 14,

По формуле Стирлинга 092613 0210 1456 Математика 14, получим

092613 0210 1457 Математика 14.

Так как 092613 0210 1458 Математика 14 и 092613 0210 1459 Математика 14, то 092613 0210 1460 Математика 14.

Ряд сходится на интервале 092613 0210 1461 Математика 14, т.е. 092613 0210 1462 Математика 14.

Исследуем сходимость на концах интервала.

<

При 092613 0210 1463 Математика 14, получим ряд 092613 0210 1464 Математика 14.

Этот ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

092613 0210 1465 Математика 14.

При 092613 0210 1466 Математика 14, получим ряд 092613 0210 1467 Математика 14.

Ряд так же расходится.

Следовательно, интервал сходимости равен 092613 0210 1468 Математика 14.

Ответ: 092613 0210 1469 Математика 14.

 

6. Вычислить определенный интеграл 092613 0210 1470 Математика 14 с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно.

092613 0210 1471 Математика 14.

Решение.

Используем разложение в ряд Маклорена 092613 0210 1472 Математика 14.

Тогда 092613 0210 1473 Математика 14

Вычисли интеграл

092613 0210 1474 Математика 14

Остаточный член ряда 092613 0210 1475 Математика 14.

При 092613 0210 1476 Математика 14, 092613 0210 1477 Математика 14;

при 092613 0210 1478 Математика 14, 092613 0210 1479 Математика 14;

Поэтому достаточно взять первые 2 членов ряда

092613 0210 1480 Математика 14

Ответ: 0,0396.

 

 

7. Разложить данную функцию 092613 0210 1481 Математика 14 в ряд Фурье

092613 0210 1482 Математика 14 в интервале 092613 0210 1483 Математика 14.

Решение.

Ряд Фурье имеет вид 092613 0210 1484 Математика 14, где 092613 0210 1485 Математика 14, 092613 0210 1486 Математика 14 и 092613 0210 1487 Математика 14.

Вычислим коэффициенты ряда

092613 0210 1488 Математика 14,

092613 0210 1489 Математика 14.

Интегрируем по частям 092613 0210 1490 Математика 14. Обозначим 092613 0210 1491 Математика 14 и 092613 0210 1492 Математика 14, тогда 092613 0210 1493 Математика 14 и 092613 0210 1494 Математика 14. Получим

092613 0210 1495 Математика 14

092613 0210 1496 Математика 14.

Интегрируем по частям. Обозначим 092613 0210 1497 Математика 14 и 092613 0210 1498 Математика 14, тогда 092613 0210 1499 Математика 14 и 092613 0210 14100 Математика 14. Получим

092613 0210 14101 Математика 14

Тогда получим разложения в ряд

092613 0210 14102 Математика 14.

Ответ: 092613 0210 14103 Математика 14.

 

 

8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

092613 0210 14104 Математика 14.

Решение.

Это однородное уравнение 092613 0210 14105 Математика 14. Сделаем замену 092613 0210 14106 Математика 14. Тогда 092613 0210 14107 Математика 14. Подставим в уравнение, получим

092613 0210 14108 Математика 14, 092613 0210 14109 Математика 14,

092613 0210 14110 Математика 14.

Это уравнение с разделяющими переменными.

092613 0210 14111 Математика 14.

Интегрируем 092613 0210 14112 Математика 14. Сначала вычислим интеграл 092613 0210 14113 Математика 14.

Тогда интеграл равен 092613 0210 14114 Математика 14.

Общий интеграл равен

092613 0210 14115 Математика 14, 092613 0210 14116 Математика 14.

Сделаем обратную замену, получаем решение

092613 0210 14117 Математика 14, 092613 0210 14118 Математика 14,

092613 0210 14119 Математика 14

Ответ: 092613 0210 14120 Математика 14.

 

 

9. Найти частное решение дифференциального уравнения 092613 0210 14121 Математика 14 удовлетворяющее начальным условиям 092613 0210 14122 Математика 14, 092613 0210 14123 Математика 14.

092613 0210 14124 Математика 14, 092613 0210 14125 Математика 14, 092613 0210 14126 Математика 14.

Решение.

Общее решение общего неоднородного дифференциального уравнение равно 092613 0210 14127 Математика 14, где 092613 0210 14128 Математика 14— решение общего однородного уравнение, 092613 0210 14129 Математика 14 — частное решение.

Найдем решение однородного уравнения 092613 0210 14130 Математика 14.

092613 0210 14131 Математика 14,

092613 0210 14132 Математика 14 и 092613 0210 14133 Математика 14.

Тогда общее решение однородного уравнения равно 092613 0210 14134 Математика 14.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 092613 0210 14135 Математика 14. Найдем первую и вторую производную

092613 0210 14136 Математика 14, 092613 0210 14137 Математика 14.

Подставим в исходное уравнение

092613 0210 14138 Математика 14,

092613 0210 14139 Математика 14, 092613 0210 14140 Математика 14

Частное решение равно 092613 0210 14141 Математика 14.

Общее решение исходного уравнения равно 092613 0210 14142 Математика 14.

Найдем 092613 0210 14143 Математика 14 и 092613 0210 14144 Математика 14.

Вычислим производную

092613 0210 14145 Математика 14.

Тогда

092613 0210 14146 Математика 14

Получим частное решение 092613 0210 14147 Математика 14.

Ответ: 092613 0210 14148 Математика 14.

 

 

 


 

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.94MB/0.00147 sec

WordPress: 23.37MB | MySQL:120 | 1,370sec