Математика 16

<

092613 0218 161 Математика 16Задание 1.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

092613 0218 162 Математика 16

Решение.

Вынесем постоянную за знак интеграла:

092613 0218 163 Математика 16

Подынтегральное выражение092613 0218 164 Математика 16 – это правильная рациональная дробь (степень числителя меньше степени знаменателя). Применим метод неопределенных коэффициентов.

Разложим дробь 092613 0218 165 Математика 16 на простейшие.

Используя формулу сокращенного умножения для суммы кубов 092613 0218 166 Математика 16, разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:

092613 0218 167 Математика 16

 

Запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами:

092613 0218 168 Математика 16

После приведения к общему знаменателю, получим:

092613 0218 169 Математика 16

Раскроем скобки и упростим:

092613 0218 1610 Математика 16

Т.к. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях равны, то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях равенства, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов:

При 092613 0218 1611 Математика 16

При 092613 0218 1612 Математика 16

При 092613 0218 1613 Математика 16

Или

 

092613 0218 1614 Математика 16

 

Методом замены переменной решим эту систему уравнений:

Выразим B через A в первом уравнении

092613 0218 1615 Математика 16

Выразим C через A в третьем уравнение

092613 0218 1616 Математика 16

Подставим замены во второе уравнение и найдём A:

092613 0218 1617 Математика 16

092613 0218 1618 Математика 16

092613 0218 1619 Математика 16

092613 0218 1620 Математика 16

Отсюда:

092613 0218 1621 Математика 16

092613 0218 1622 Математика 16

Отсюда рассматриваемая дробь:

092613 0218 1623 Математика 16

или

092613 0218 1624 Математика 16

Отсюда рассматриваемый несобственный интеграл преобразовывается к следующему виду:

092613 0218 1625 Математика 16

Т.к. интеграл от простейшей дроби вида 092613 0218 1626 Математика 16 , то

092613 0218 1627 Математика 16

Т.к. интеграл от простейшей дроби вида

 

092613 0218 1628 Математика 16

 

то

092613 0218 1629 Математика 16

Суммируя, получаем

092613 0218 1630 Математика 16Все слагаемые либо стремятся к +∞, либо являются постоянными, следовательно, сумма стремится к +∞, и несобственный интеграл стремится к +∞, то есть расходится.

 

Задание 2.

Для изготовления изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице:

 

Вид ресурса 

Объем ресурса 

Нормы расхода на одно изделие 

А

В 

Сталь (кг) 

570 

10 

70 

Цветные металлы (кг) 

420 

20 

50 

Токарные станки (станко-час) 

5600 

300 

400 

Фрезерные станки (станко-час) 

3400 

200 

100 

Прибыль (усл. ед.) 

 

3 

8 

 

  1. Представьте математическую модель задачи.
  2. Определите ее вид.
  3. Решите данную задачу любым известным Вам способом.
  4. Дайте полный словесный ответ.

    Решение

    1. Математическая модель задачи

    Обозначим x1 и x2 – число единиц продукции соответственно A и B, запланированных к производству. Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

     

    092613 0218 1631 Математика 16

    Количество изделий не может быть отрицательным числом, поэтому переменные

    092613 0218 1632 Математика 16

    Суммарная прибыль составит

    092613 0218 1633 Математика 16

    Следовательно, экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план выпуска продукции 092613 0218 1634 Математика 16, удовлетворяющий всем перечисленным неравенствам, при котором функция 092613 0218 1635 Математика 16(принимает максимальное значение).

    2. Вид задачи.

    Задача является стандартной задачей линейного программирования, в которой нужно найти максимум линейной функции при системе ограничений, состоящей из одних неравенств.

    3. Решение задачи.

    Т.к. переменных две, то задачу удобно решить графическим способом.

    Т.к.092613 0218 1636 Математика 16, то область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

    1) Определим множество решений первого неравенства:

    092613 0218 1637 Математика 16

    <

    Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства.

    092613 0218 1638 Математика 16

    092613 0218 1639 Математика 16

    Решением уравнения служат точки прямой 092613 0218 1640 Математика 16. Построим прямую по двум точкам (0; 092613 0218 1641 Математика 16) и (10; 092613 0218 1642 Математика 16) , которые легко получить в результате последовательной подстановки x1=0 и x1=10 как значений переменной x1 (при обнулении второй переменной получим значение первой 57, что слишком много и неудобно для построения графика). На рисунке обозначим её цифрой I.

    Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которые делит плоскость построенная прямая. Какая из них искомая можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется / не выполняется, то оно выполняется / не выполняется и во всех точках той полуплоскости, к которой принадлежит данная точка, и не выполняется / выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство, получим 0<570, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость.

    Аналогичным образом построим области решения трех оставшихся неравенств:

    2) Определим множество решений второго неравенства:

     

    092613 0218 1643 Математика 16

    Путём последовательного обнуления переменных получаем точки (0; 8,4) и (21; 0). По ним строим на рисунке прямую092613 0218 1644 Математика 16, обозначенную цифрой II.

    Подставим координаты (0; 0) в неравенство 092613 0218 1645 Математика 16, получим 0<420, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость.

    3) Определим множество решений третьего неравенства:

    092613 0218 1646 Математика 16

    Путём последовательного обнуления переменных получаем точки (0; 14) и (092613 0218 1647 Математика 16; 0). По ним строим на рисунке прямую092613 0218 1648 Математика 16, обозначенную цифрой III.

    Подставим координаты (0; 0) в неравенство092613 0218 1649 Математика 16, получим 0<5600, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость.

    4) Определим множество решений четвертого неравенства:

    092613 0218 1650 Математика 16

    Путём последовательной подстановки x1=10, x2=0 (при x1=0, x2=34, что слишком много и неудобно для построения графика) получаем точки (10; 34) и (17; 0). По ним строим на рисунке прямую092613 0218 1651 Математика 16, обозначенную цифрой IV.

    Подставим координаты (0; 0) в неравенство092613 0218 1652 Математика 16, получим 0<3400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость.

    5) Построим на координатной плоскости x1Ox2 многоугольную область допустимых решений, соответствующую заданным ограничениям (рис.1 -). Заштрихуем общую

    область для всех неравенств, обозначим вершины многоугольника латинскими буквами ABCD. A – точка пересечения прямой I с осью x2, B – точка пересечения прямых I и II, C – точка пересечения прямых II, III и IV, D – точка пересечения прямой IV с осью x1

    Координаты точек A и D мы уже нашли в процессе построения прямых: (0; 092613 0218 1653 Математика 16) и (17; 0),

    Найдем координаты точки B, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых.

    092613 0218 1654 Математика 16

    092613 0218 1655 Математика 16

    Отсюда координаты точки B (1; 8)

    Теперь найдем координаты точки C, решая систему уравнений трех пересекающихся соответствующих прямых (заодно докажем, что они действительно пересекаются в одной точке, ибо пересечение их в одной точке на рисунке еще не доказательство — может оказаться, что все три точки пересечения просто очень близко расположены).

     

     

    092613 0218 1656 Математика 16

     

    рисунок Многогранник решений

     

    092613 0218 1657 Математика 16

    092613 0218 1658 Математика 16

    092613 0218 1659 Математика 16

     

    Система совместна, значит, все три прямых действительно пересекаются в одной точке C. Координаты точки C, как следует из решения, (16; 2)

    6) Если задача имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Координаты всех угловых точек многогранника решений известны, подставляем их по очереди в целевую функцию и выбираем те, при которых она принимает максимальное значение.

    В точке O (0; 0) функция 092613 0218 1660 Математика 16:

    092613 0218 1661 Математика 16

    В точке A (0; 092613 0218 1662 Математика 16) функция 092613 0218 1663 Математика 16:

    092613 0218 1664 Математика 16

    В точке B (1; 8) функция 092613 0218 1665 Математика 16:

    092613 0218 1666 Математика 16

    В точке C (16; 2) функция 092613 0218 1667 Математика 16:

    092613 0218 1668 Математика 16

    В точке D (17; 0) функция 092613 0218 1669 Математика 16:

    092613 0218 1670 Математика 16

    Наибольшее значение функция 092613 0218 1671 Математика 16 приняла в точке B (1; 8). Следовательно, искомые значения x1=1, x2=8

    4. Полный словесный ответ.

    Максимально возможная прибыль (67) при имеющихся в наличии ресурсах будет достигнута при таком плане производства, при котором будет выпущена 1 единица продукции A и 8 единиц продукции B.

     

    Задание 3.

    Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в 3 из них товар 1 сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара.

  5. Запишите полную систему событий данного испытания. Сколько элементарных исходов приходится на каждое событие?
  6. Найдите вероятности всех возможных событий данного испытания.
  7. Проверьте правильность вычислений по формуле полной вероятности.
  8. Найдите двумя способами вероятность следующего события: «среди отобранных 3 упаковок, по крайней мере, в одной из них оказался товар 1 сорта».
  9. Составьте закон распределения числа единиц товара 1 сорта в выборке из 3 единиц. Запишите его в виде таблицы распределения. Какой наиболее вероятный исход такой выборки?

    Решение

    1. Запишите полную систему событий данного испытания. Сколько элементарных исходов приходится на каждое событие?

    В результате данного испытания может произойти одно из трех следующих событий:

    1) среди трех отобранных единиц товара не окажется ни одной единицы товара первого сорта (обозначим это событие A1);

    2) среди трех отобранных упаковок товара окажется одна упаковка с товаром первого сорта (обозначим это событие A2);

    3) среди трех отобранных упаковок товара окажется две упаковки с товаром первого сорта (обозначим это событие A3).

    4) среди трех отобранных упаковок товара окажется три упаковки с товаром первого сорта (обозначим это событие A4)

    Эти события образуют полную группу событий, так как одно из них обязательно произойдёт в результате испытания.

    Найдем количество элементарных исходов, приходящихся на каждое из этих событий:

    1) Событие A1 заключается в том, что ни одна из 3 единиц товара высшего качества не будет выбрана, а будут выбраны 3 единицы товара из остальных 9 единиц. То есть элементарные исходы этого события включают в себя все способы выбрать 3 единицы товара из этих 9 единиц. Рассчитаем количество этих элементарных исходов:

    092613 0218 1672 Математика 16

    2) Событие A2 заключается в том, что только одна из 3 единиц товара высшего качества будет выбрана, плюс будут выбраны 2 единицы товара из остальных 9 единиц. Рассчитаем количество элементарных исходов:

    092613 0218 1673 Математика 16

    3) Событие A3 заключается в том, что 2 единицы товара высшего качества будут выбраны, плюс будет выбрана 1 единица товара из остальных 9 единиц. Количество элементарных исходов составляет:

    092613 0218 1674 Математика 16

    4) Событие A4 заключается в том, что 3 единицы товара высшего качества будут выбрана, и 0 единиц товара из остальных 9 единиц. То есть элементарные исходы этого события включают в себя все способы выбрать 0 единицу товара из этих 9. Количество этих элементарных исходов, очевидно, составляет:

    092613 0218 1675 Математика 16

    2. Найдите вероятности всех возможных событий данного испытания.

    Найдем общее количество элементарных исходов данного испытания, т.е. общее количество способов выбрать 3 единицы товара из 12:

    092613 0218 1676 Математика 16

    Так как все элементарные исходы равновероятны, то вероятность каждого события рассчитывается делением числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, на общее число элементарных исходов.

    092613 0218 1677 Математика 16

     

    092613 0218 1678 Математика 16

    092613 0218 1679 Математика 16

    092613 0218 1680 Математика 16

    3. Проверьте правильность вычислений по формуле полной вероятности.

    Так как события A1, A2, A3, А4 образуют полную группу событий, то вероятность их суммы должна быть равна 1. Так как события A1, A2, A3, А4 несовместны (наступление любого из них исключает наступление остальных), то вероятность их суммы должна быть равна сумме их вероятностей. Иначе говоря:

    092613 0218 1681 Математика 16

    И действительно:

    092613 0218 1682 Математика 16

    Следовательно, расчеты, выполненные в предыдущем пункте верны.

    4. Найдите двумя способами вероятность следующего события: «среди отобранных 3 упаковок, по крайней мере, в одной из них оказался товар 1 сорта».

    С одной стороны данное событие можно трактовать как наступление либо события A2, либо события A3, либо события A4, то есть сумму этих событий. Отсюда:

    092613 0218 1683 Математика 16

    С другой стороны данное событие можно трактовать как наступление события, противоположного событию A1 (то есть заключающемся в том, что событие A1 не наступило). Отсюда:

    092613 0218 1684 Математика 16

    5. Составьте закон распределения числа единиц товара 1 сорта в выборке из 3 единиц. Запишите его в виде таблицы распределения. Какой наиболее вероятный исход такой выборки?

    Для того чтобы описать закон распределения дискретной случайной величины, которая принимает конечное количество значений, достаточно знать вероятности, с которыми эта случайная величина принимает все свои возможные значения. Все вероятности 092613 0218 1685 Математика 16 мы уже нашли в пункте 2:

    Составим таблицу распределения

     

    x

    0 

    1 

    2 

    3

    p 

    092613 0218 1686 Математика 16

    092613 0218 1687 Математика 16

    092613 0218 1688 Математика 16

    092613 0218 1689 Математика 16

     

    Наиболее вероятным исходом выборки является тот, вероятность которого, максимальна. В данном случае наиболее вероятный исход, что в выборке окажется только 1 товар первого сорта.

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 22.52MB | MySQL:120 | 1,466sec