Математика 17

<

092613 0220 171 Математика 17Задача 3

 

    Найти все лорановские разложения данной функции по степеням 092613 0220 172 Математика 17:

092613 0220 173 Математика 17

 

Решение

 

    Функция имеет две особые точки 092613 0220 174 Математика 17. Она аналитична в областях:

     а) 092613 0220 175 Математика 17

     б) 092613 0220 176 Математика 17

     в) 092613 0220 177 Математика 17

Представим функцию 092613 0220 178 Математика 17 в виде:

092613 0220 179 Математика 17

092613 0220 1710 Математика 17

 

    а) В круге 092613 0220 1711 Математика 17 имеем:

 

092613 0220 1712 Математика 17

092613 0220 1713 Математика 17

Здесь

092613 0220 1714 Математика 17

092613 0220 1715 Математика 17

092613 0220 1716 Математика 17

Здесь

092613 0220 1717 Математика 17

Следовательно, разложение функции примет вид:

092613 0220 1718 Математика 17

092613 0220 1719 Математика 17

Или

092613 0220 1720 Математика 17

 

    б) В кольце 092613 0220 1721 Математика 17 имеем:

092613 0220 1722 Математика 17

Здесь

092613 0220 1723 Математика 17

092613 0220 1724 Математика 17

092613 0220 1725 Математика 17

Здесь

092613 0220 1726 Математика 17

Разложение функции примет вид:

092613 0220 1727 Математика 17

    в) В области 092613 0220 1728 Математика 17 имеем:

092613 0220 1729 Математика 17

092613 0220 1730 Математика 17

Здесь

092613 0220 1731 Математика 17

092613 0220 1732 Математика 17

Здесь

092613 0220 1733 Математика 17

Разложение функции примет вид:

092613 0220 1734 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5

    Вычислить тройной интеграл 092613 0220 1735 Математика 17 от заданной функции 092613 0220 1736 Математика 17 по области 092613 0220 1737 Математика 17, ограниченной указанными поверхностями:

092613 0220 1738 Математика 17

092613 0220 1739 Математика 17

 

Решение

 

    Изобразим данную область 092613 0220 1740 Математика 17 на рисунке.

092613 0220 1741 Математика 17 z

 

 

092613 0220 1742 Математика 17092613 0220 1743 Математика 17 4

 


092613 0220 1744 Математика 17

092613 0220 1745 Математика 17

 

 

 

092613 0220 1746 Математика 17092613 0220 1747 Математика 17092613 0220 1748 Математика 17092613 0220 1749 Математика 17092613 0220 1750 Математика 17092613 0220 1751 Математика 17 -4 0 y

2


092613 0220 1752 Математика 17

 

х

 

    Проекция области на плоскость Оху представляет собой прямоугольный треугольник, уравнение гипотенузы которого определим из уравнения заданной плоскости при 092613 0220 1753 Математика 17:

092613 0220 1754 Математика 17

Вычислим интеграл:

092613 0220 1755 Математика 17

092613 0220 1756 Математика 17
092613 0220 1757 Математика 17

092613 0220 1758 Математика 17

0

092613 0220 1759 Математика 17

092613 0220 1760 Математика 17

092613 0220 1761 Математика 17092613 0220 1762 Математика 17

092613 0220 1763 Математика 17

0

092613 0220 1764 Математика 17

092613 0220 1765 Математика 17

092613 0220 1766 Математика 17 2

092613 0220 1767 Математика 17

0

Ответ: интеграл равен 092613 0220 1768 Математика 17

 

 

Практическая часть

 

Задание 1

 

    Найти решение задачи Коши

092613 0220 1769 Математика 17

 

Решение

 

    Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

092613 0220 1770 Математика 17

Разделим переменные:

092613 0220 1771 Математика 17

Интегрируем

092613 0220 1772 Математика 17

Отсюда общее решение


092613 0220 1773 Математика 17 (1)

    Общее решение заданного уравнения будем искать в виде (1), считая постоянную интегрирования 092613 0220 1774 Математика 17 функцией от х:

092613 0220 1775 Математика 17

Отсюда 092613 0220 1776 Математика 17. Подставим в заданное уравнение:

092613 0220 1777 Математика 17

Отсюда 092613 0220 1778 Математика 17. Интегрируя, получим:

092613 0220 1779 Математика 17

Таким образом, получаем общее решение заданного уравнения

092613 0220 1780 Математика 17

Используя начальное условие 092613 0220 1781 Математика 17, получим

092613 0220 1782 Математика 17

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

092613 0220 1783 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

 

    Найти общее решение дифференциального уравнения

092613 0220 1784 Математика 17

 

Решение

 

    Соответствующее характеристическое уравнение

092613 0220 1785 Математика 17

Его корни 092613 0220 1786 Математика 17. Имеем пару комплексно сопряжённых корней, следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид


092613 0220 1787 Математика 17 (1)

    Правая часть исходного уравнения является суммой двух слагаемых

092613 0220 1788 Математика 17 и 092613 0220 1789 Математика 17. Поэтому частное решение заданного уравнения можно представить в виде суммы функций

092613 0220 1790 Математика 17

где 092613 0220 1791 Математика 17частные решения неоднородных уравнений

092613 0220 1792 Математика 17 соответственно.

    Найдём 092613 0220 1793 Математика 17. Число 092613 0220 1794 Математика 17 является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:

092613 0220 1795 Математика 17

Для нахождения коэффициентов 092613 0220 1796 Математика 17 подставим 092613 0220 1797 Математика 17 в первое уравнение.

092613 0220 1798 Математика 17

092613 0220 1799 Математика 17

092613 0220 17100 Математика 17

Подставим в уравнение

092613 0220 17101 Математика 17

092613 0220 17102 Математика 17

092613 0220 17103 Математика 17 Приравняем коэффициенты при 092613 0220 17104 Математика 17:

092613 0220 17105 Математика 17
092613 0220 17106 Математика 17
092613 0220 17107 Математика 17


092613 0220 17108 Математика 17
092613 0220 17109 Математика 17

Получим частное решение

092613 0220 17110 Математика 17

    Найдём 092613 0220 17111 Математика 17. Число 092613 0220 17112 Математика 17 не является корнем характеристического уравнения, поэтому 092613 0220 17113 Математика 17 будем искать в виде

092613 0220 17114 Математика 17

Имеем

092613 0220 17115 Математика 17

Подставим 092613 0220 17116 Математика 17 в соответствующее уравнение

092613 0220 17117 Математика 17

Отсюда найдём 092613 0220 17118 Математика 17. Таким образом,

092613 0220 17119 Математика 17

Частное решение исходного уравнения

092613 0220 17120 Математика 17

Общее решение исходного уравнения равно сумме общего решения (1) однородного уравнения и частного решения (2) неоднородного уравнения

092613 0220 17121 Математика 17

 

 

 

Задание 3

 

    Вычислить двойной интеграл 092613 0220 17122 Математика 17 по области (092613 0220 17123 Математика 17), ограниченной заданными кривыми:

092613 0220 17124 Математика 17

092613 0220 17125 Математика 17

 

Решение

 

Имеем

092613 0220 17126 Математика 17

092613 0220 17127 Математика 17
092613 0220 17128 Математика 17

092613 0220 17129 Математика 17

0

092613 0220 17130 Математика 17

092613 0220 17131 Математика 17 3

092613 0220 17132 Математика 17

0

092613 0220 17133 Математика 17

 

Задание 4

 

    Вычислить тройной интеграл 092613 0220 17134 Математика 17, перейдя к цилиндрической или сферической системам координат, где 092613 0220 17135 Математика 17тело, ограниченное указанными поверхностями.

092613 0220 17136 Математика 17

092613 0220 17137 Математика 17

 

Решение

 

    Тело ограничено с боков поверхностями цилиндра 092613 0220 17138 Математика 17 и конуса 092613 0220 17139 Математика 17, а снизу плоскостью 092613 0220 17140 Математика 17 (рисунок). Координату 092613 0220 17141 Математика 17 пересечения поверхностей определим из решения уравнения

092613 0220 17142 Математика 17

 

092613 0220 17143 Математика 17 z

 

 

 


092613 0220 17144 Математика 17

092613 0220 17145 Математика 17092613 0220 17146 Математика 17 1

092613 0220 17147 Математика 17092613 0220 17148 Математика 17092613 0220 17149 Математика 17
092613 0220 17150 Математика 17

092613 0220 17151 Математика 17092613 0220 17152 Математика 17092613 0220 17153 Математика 17092613 0220 17154 Математика 17092613 0220 17155 Математика 17092613 0220 17156 Математика 17

092613 0220 17157 Математика 17092613 0220 17158 Математика 17092613 0220 17159 Математика 17092613 0220 17160 Математика 17092613 0220 17161 Математика 17

-2 -1 1 2 y

092613 0220 17162 Математика 17 2

 

x

 

Проекцией тела на плоскость Оху является кольцо с внутренним радиусом 092613 0220 17163 Математика 17 и наружным радиусом 092613 0220 17164 Математика 17.

Для вычисления интеграла перейдём к цилиндрическим координатам:

092613 0220 17165 Математика 17
092613 0220 17166 Математика 17

<

092613 0220 17167 Математика 17

092613 0220 17168 Математика 17

Уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:

092613 0220 17169 Математика 17

092613 0220 17170 Математика 17

Тогда 092613 0220 17171 Математика 17

Заданная функция в цилиндрических координатах примет вид:

092613 0220 17172 Математика 17

Вычислим интеграл:

092613 0220 17173 Математика 17

092613 0220 17174 Математика 17

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

092613 0220 17175 Математика 17
092613 0220 17176 Математика 17

092613 0220 17177 Математика 17

1

092613 0220 17178 Математика 17

092613 0220 17179 Математика 17

092613 0220 17180 Математика 17

Интеграл примет вид:

092613 0220 17181 Математика 17

092613 0220 17182 Математика 17
092613 0220 17183 Математика 17

092613 0220 17184 Математика 17

0

092613 0220 17185 Математика 17

092613 0220 17186 Математика 17
092613 0220 17187 Математика 17

092613 0220 17188 Математика 17

0

092613 0220 17189 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5

 

    Найти оригинал по заданному изображению:

092613 0220 17190 Математика 17

 

Решение

 

    Найдём разложение функции 092613 0220 17191 Математика 17 на сумму простейших дробей:

092613 0220 17192 Математика 17

Отсюда

092613 0220 17193 Математика 17

092613 0220 17194 Математика 17

092613 0220 17195 Математика 17092613 0220 17196 Математика 17Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 092613 0220 17197 Математика 17:


092613 0220 17198 Математика 17
092613 0220 17199 Математика 17


092613 0220 17200 Математика 17
092613 0220 17201 Математика 17


092613 0220 17202 Математика 17
092613 0220 17203 Математика 17

Разложение примет вид

092613 0220 17204 Математика 17

Представим знаменатель второго слагаемого в виде

092613 0220 17205 Математика 17

Тогда получим

092613 0220 17206 Математика 17

Пользуясь теоремой сдвига аргумента изображения и таблицей соответствия оригиналов и изображений, получим:

092613 0220 17207 Математика 17

Задание 6

 

    Операционным методом решить задачу Коши:

092613 0220 17208 Математика 17

 

Решение

 

    Ищем решение задачи в виде оригинала 092613 0220 17209 Математика 17. Пусть 092613 0220 17210 Математика 17. Имеем

092613 0220 17211 Математика 17

092613 0220 17212 Математика 17

092613 0220 17213 Математика 17

Нашему уравнению соответствует операторное уравнение

092613 0220 17214 Математика 17

Отсюда находим

092613 0220 17215 Математика 17

Или

092613 0220 17216 Математика 17

Разложим 092613 0220 17217 Математика 17 на сумму простейших дробей:

092613 0220 17218 Математика 17

092613 0220 17219 Математика 17

092613 0220 17220 Математика 17

092613 0220 17221 Математика 17

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 092613 0220 17222 Математика 17:

 

092613 0220 17223 Математика 17
092613 0220 17224 Математика 17

092613 0220 17225 Математика 17


092613 0220 17226 Математика 17

092613 0220 17227 Математика 17Из первого уравнения выразим 092613 0220 17228 Математика 17, тогда второе и третье уравнения дадут:

092613 0220 17229 Математика 17

092613 0220 17230 Математика 17

Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым:

092613 0220 17231 Математика 17

092613 0220 17232 Математика 17

Разложение примет вид:

092613 0220 17233 Математика 17

Или

092613 0220 17234 Математика 17

Переходя к оригиналу, получим решение задачи Коши в виде

092613 0220 17235 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

 

    Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой:

092613 0220 17236 Математика 17

092613 0220 17237 Математика 17

 

Решение

 

    Изобразим ломаную 092613 0220 17238 Математика 17 на комплексной плоскости.

 

092613 0220 17239 Математика 17 у

092613 0220 17240 Математика 17092613 0220 17241 Математика 17092613 0220 17242 Математика 17

092613 0220 17243 Математика 17092613 0220 17244 Математика 17092613 0220 17245 Математика 17092613 0220 17246 Математика 17 B C

092613 0220 17247 Математика 17 1

 

 

 

 

A

092613 0220 17248 Математика 17 х

-1 0 1

 

 

 

    Для вычисления интеграла применим формулу:

092613 0220 17249 Математика 17

    На прямой АВ имеем:

092613 0220 17250 Математика 17

092613 0220 17251 Математика 17

092613 0220 17252 Математика 17

092613 0220 17253 Математика 17

092613 0220 17254 Математика 17

    На прямой ВС имеем:

092613 0220 17255 Математика 17

092613 0220 17256 Математика 17

Искомый интеграл равен

092613 0220 17257 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 8

 

    Найти все лорановские разложения данной функции в окрестности точки 092613 0220 17258 Математика 17:

092613 0220 17259 Математика 17

 

Решение

 

    Функция имеет две особые точки 092613 0220 17260 Математика 17. Она аналитична в областях:

     а) 092613 0220 17261 Математика 17

     б) 092613 0220 17262 Математика 17

     в) 092613 0220 17263 Математика 17

Представим функцию 092613 0220 17264 Математика 17 в виде:

092613 0220 17265 Математика 17

092613 0220 17266 Математика 17

092613 0220 17267 Математика 17

Отсюда 092613 0220 17268 Математика 17 Таким образом,

092613 0220 17269 Математика 17

 

    а) В круге 092613 0220 17270 Математика 17 имеем:

092613 0220 17271 Математика 17

092613 0220 17272 Математика 17

Здесь

092613 0220 17273 Математика 17

092613 0220 17274 Математика 17

092613 0220 17275 Математика 17

Здесь

092613 0220 17276 Математика 17

Следовательно, разложение функции примет вид:

092613 0220 17277 Математика 17

092613 0220 17278 Математика 17

Или

092613 0220 17279 Математика 17

 

    б) В кольце 092613 0220 17280 Математика 17 имеем:

092613 0220 17281 Математика 17

092613 0220 17282 Математика 17

Здесь

092613 0220 17283 Математика 17

092613 0220 17284 Математика 17

092613 0220 17285 Математика 17

Здесь

092613 0220 17286 Математика 17

Разложение функции примет вид:

092613 0220 17287 Математика 17

 

    в) В области 092613 0220 17288 Математика 17 имеем:

092613 0220 17289 Математика 17

092613 0220 17290 Математика 17

Здесь

092613 0220 17291 Математика 17

092613 0220 17292 Математика 17

092613 0220 17293 Математика 17

Здесь

092613 0220 17294 Математика 17

Разложение функции примет вид:

092613 0220 17295 Математика 17

092613 0220 17296 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9

 

    Вычислить интеграл

092613 0220 17297 Математика 17

 

Решение

 

    Функция 092613 0220 17298 Математика 17 является аналитической в круге 092613 0220 17299 Математика 17. Точка 092613 0220 17300 Математика 17 находится внутри круга. Согласно интегральной формуле Коши

092613 0220 17301 Математика 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 10

    Вычислить интеграл

092613 0220 17302 Математика 17

 

Решение

 

    Знаменатель подинтегральной функции не имеет нулей на действительной оси, 092613 0220 17303 Математика 17, поэтому

092613 0220 17304 Математика 17

где суммирование берётся по всем 092613 0220 17305 Математика 17, лежащим в верхней полуплоскости.

Определим особые точки функции, лежащие в верхней полуплоскости:

092613 0220 17306 Математика 17

092613 0220 17307 Математика 17

В верхней полуплоскости лежит точка 092613 0220 17308 Математика 17. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдём вычет в этой точке.

092613 0220 17309 Математика 17

092613 0220 17310 Математика 17

092613 0220 17311 Математика 17

Таким образом,

092613 0220 17312 Математика 17

Задание 11

 

    Найти: а) поток векторного поля 092613 0220 17313 Математика 17 через тетраэдр, образованный частью плоскости Р, расположенной в первом октанте и координатными плоскостями с помощью теоремы Остроградского; б) циркуляцию векторного поля 092613 0220 17314 Математика 17
по замкнутому контуру
λ (ограничивающего часть плоскости Р, расположенную в первом октанте) с помощью теоремы Стокса; в) выяснить, каким является поле 092613 0220 17315 Математика 17, соленоидальным или потенциальным и в случае потенциальности найти его потенциал.

092613 0220 17316 Математика 17

 

Решение

 

    а)

092613 0220 17317 Математика 17

где 092613 0220 17318 Математика 17
092613 0220 17319 Математика 17 Поэтому

092613 0220 17320 Математика 17

Заданная плоскость отсекает от осей координат одинаковые отрезки единичной длины. Объём полученного тетраэдра равен:

092613 0220 17321 Математика 17

Тогда искомый поток равен 092613 0220 17322 Математика 17.

 

 

    б) По теореме Стокса

092613 0220 17323 Математика 17

092613 0220 17324 Математика 17

 

    в) Из предыдущего пункта 092613 0220 17325 Математика 17, поэтому векторное поле является потенциальным. Найдём его потенциал:

092613 0220 17326 Математика 17

где 092613 0220 17327 Математика 17координаты фиксированной точки, 092613 0220 17328 Математика 17координаты произвольной точки поля. По условию задачи имеем:

092613 0220 17329 Математика 17

    Выберем в качестве фиксированной точки начало координат 092613 0220 17330 Математика 17. Имеем

092613 0220 17331 Математика 17

Тогда получим

092613 0220 17332 Математика 17

    Так как 092613 0220 17333 Математика 17, то поле не является соленоидальным.

    
 

 

 

 

 

 


 

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 22.42MB | MySQL:122 | 2,139sec