Математика 19

<

092613 1020 191 Математика 19Задание 5

Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить 2 способами:

  1. методом Крамера
  2. средствами матричного исчисления

    092613 1020 192 Математика 19

    Решение

    Совместимость:

    Находим ранг матриц системы:

    А1=092613 1020 193 Математика 19092613 1020 194 Математика 19092613 1020 195 Математика 19

    Ранг А1 равен 3.

    А2=092613 1020 196 Математика 19092613 1020 197 Математика 19092613 1020 198 Математика 19

    Ранг А2 равен 3, значит, система уравнений является совместимой.

    1) Метод Крамера:

    Запишем систему в виде:

     

    BT = (-4,3,-5)

    Главный определитель:

    ∆ = 1∙(-3∙(-1)-1∙1)-4∙(1∙(-1)-1∙(-1))+2∙(1∙1-(-3∙(-1))) = -2 = -2

    Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    1 = -4∙(-3∙(-1)-1∙1)-3∙(1∙(-1)-1∙(-1))+(-5∙(1∙1-(-3∙(-1)))) = 2

     

    Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    2 = 1∙(3∙(-1)-(-5∙1))-4∙(-4∙(-1)-(-5∙(-1)))+2∙(-4∙1-3∙(-1)) = 4

     

    Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    3 = 1∙(-3∙(-5)-1∙3)-4∙(1∙(-5)-1∙(-4))+2∙(1∙3-(-3∙(-4))) = -2

     

    Выпишем отдельно найденные переменные Х

     

     

     

  3. средствами матричного исчисления

    092613 1020 199 Математика 19092613 1020 1910 Математика 19092613 1020 1911 Математика 19

    092613 1020 1912 Математика 19

    Из последнего уравнения: 092613 1020 1913 Математика 19

    092613 1020 1914 Математика 19

    092613 1020 1915 Математика 19

    Ответ: 092613 1020 1916 Математика 19, 092613 1020 1917 Математика 19, 092613 1020 1918 Математика 19

     

    Задание 15

    Даны координаты вершин пирамиды. Средствами векторной алгебры найти:

  4. длину ребра
  5. угол между ребрами 092613 1020 1919 Математика 19 и 092613 1020 1920 Математика 19
  6. площадь грани 092613 1020 1921 Математика 19
  7. объем пирамиды.

    092613 1020 1922 Математика 19

    Решение

    Координаты векторов находим по формуле:

    X = xj — xi; Y = y j — yi; Z = z j — z i

    здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;

    Например, для вектора A1A2

    X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1

    X = -2-10; Y = 8-6; Z = 2-6

    A1A2(-12;2;-4)

    A1A3(-4;2;3)

    A1A4(-3;4;-3)

    A2A3(8;0;7)

    A2A4(9;2;1)

    A3A4(1;2;-6)

    Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

     

     

     

     

     

     

     

    Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

     

    где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

    Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4

     

    Площадь грани можно найти по формуле:

     

     

    Найдем площадь грани A1A2A3

    Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3:

     

     

    Площадь грани A1A2A3

     

    Объем пирамиды, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

     

     

    ∆ = -12•(2•(-3)-4•3)-(-4•(2•(-3)-4•(-4)))+(-3•(2•3-2•(-4))) = 214

     

    Задание 25

    Доказать, что векторы линейно независимы и найти разложение вектора х по векторам 092613 1020 1923 Математика 19.

    x=(-5, -5, 5) a=(-2, 0, 1) b=(1, 3, 1) c=(0, 4, 1)

    Решение

    Строим матрицу из векторов 092613 1020 1924 Математика 19.

    092613 1020 1925 Математика 19092613 1020 1926 Математика 19092613 1020 1927 Математика 19

    Ранг матрицы равен 3, значит векторы 092613 1020 1928 Математика 19 являются линейно независимыми.

    Разложение вектора х по векторам 092613 1020 1929 Математика 19:

    092613 1020 1930 Математика 19

    Запишем систему в виде:

     

    BT = (-5,-5,5)

    Главный определитель:

    ∆ = -2∙(2∙1-1∙4)-0∙(1∙1-1∙0)+1∙(1∙4-2∙0) = 8 = 8

    Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    1 = -5∙(2∙1-1∙4)-(-5∙(1∙1-1∙0))+5∙(1∙4-2∙0) = 35

     

    Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    2 = -2∙(-5∙1-5∙4)-0∙(-5∙1-5∙0)+1∙(-5∙4-(-5∙0)) = 30

     

    Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

     

    Найдем определитель полученной матрицы.

    3 = -2∙(2∙5-1∙(-5))-0∙(1∙5-1∙(-5))+1∙(1∙(-5)-2∙(-5)) = -25

     

    Выпишем отдельно найденные переменные Х

     

     

     

    Х=(4,375, 3,75, -3,125)

     

     

     

    Задание 35

    Даны вершины треугольника АВС. Найти:

  8. общее уравнение стороны АВ
  9. длину стороны ВС
  10. уравнение высоты, опущенной из вершины А
  11. систему неравенств, определяющих треугольник АВС

    А(2,4) В(-2,-1) С(14,1)

    Решение

  12. общее уравнение стороны АВ

    092613 1020 1931 Математика 19

  13. длину стороны ВС

        092613 1020 1932 Математика 19

  14. уравнение высоты, опущенной из вершины А

    Высота падает на прямую ВС.

    Уравнение ВС:

    092613 1020 1933 Математика 19

    Угловой коэффициент: 092613 1020 1934 Математика 19

    По теореме о перпендикулярности прямых, 092613 1020 1935 Математика 19

    Уравнение высоты:

    092613 1020 1936 Математика 19

  15. систему неравенств, определяющих треугольник АВС

    Прямая АВ: -5х+4у-6=0

    Прямая ВС: х-8у-6=0

    Прямая АС:

    092613 1020 1937 Математика 19

    Система неравенств:

    092613 1020 1938 Математика 19

     

    Задание 45

    Не применяя правило Лопиталя найти пределы:

    А) 092613 1020 1939 Математика 19=092613 1020 1940 Математика 19092613 1020 1941 Математика 19

    Б) 092613 1020 1942 Математика 19=092613 1020 1943 Математика 19092613 1020 1944 Математика 19092613 1020 1945 Математика 19

    В) 092613 1020 1946 Математика 19=092613 1020 1947 Математика 19092613 1020 1948 Математика 191

    Г) 092613 1020 1949 Математика 19=092613 1020 1950 Математика 19=092613 1020 1951 Математика 19=092613 1020 1952 Математика 19

     

     

     

    Задание 55

    Найти точки разрыва функции, скачок функции в каждой точке разрыва, построить график.

    092613 1020 1953 Математика 19

    Решение

    092613 1020 1954 Математика 19092613 1020 1955 Математика 19

    092613 1020 1956 Математика 19092613 1020 1957 Математика 19

    Точка х=0 не является точкой разрыва

    092613 1020 1958 Математика 19092613 1020 1959 Математика 19

    092613 1020 1960 Математика 19092613 1020 1961 Математика 19

    Точка х=2 является точкой разрыва

    Скачок функции: 092613 1020 1962 Математика 19092613 1020 1963 Математика 19-1

    092613 1020 1964 Математика 19График:

    092613 1020 1965 Математика 19

     

    092613 1020 1966 Математика 19092613 1020 1967 Математика 19092613 1020 1968 Математика 19

    092613 1020 1969 Математика 19

     

    092613 1020 1970 Математика 19092613 1020 1971 Математика 19

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задание 65

    Найти производные

    А) 092613 1020 1972 Математика 19

    092613 1020 1973 Математика 19

    Б) 092613 1020 1974 Математика 19

    092613 1020 1975 Математика 19

    В) 092613 1020 1976 Математика 19)

    092613 1020 1977 Математика 19=092613 1020 1978 Математика 19

    Г) 092613 1020 1979 Математика 19

    092613 1020 1980 Математика 19092613 1020 1981 Математика 19

     

    Задание 75

    <

    Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

    Решение

    092613 1020 1982 Математика 19

    Требуется, чтобы площадь окна была наибольшей. Обозначим основание окна через х и выразим площадь окна через х. Чтобы найти h, воспользуемся равенством 092613 1020 1983 Математика 19 ; 092613 1020 1984 Математика 19.

    Отсюда площадь окна 092613 1020 1985 Математика 19.

    Чтобы найти область определения функции S(x), учитываем, что x>0 и h>0, т.е. 092613 1020 1986 Математика 19, 092613 1020 1987 Математика 19, 092613 1020 1988 Математика 19

    Область определения функции S(x) – интервал (0; 092613 1020 1989 Математика 19):

    092613 1020 1990 Математика 19 ; 092613 1020 1991 Математика 19 ; х= 092613 1020 1992 Математика 19.

    Легко проверить, что при х= 092613 1020 1993 Математика 19 функция имеет наибольшее значение. При этом 092613 1020 1994 Математика 19.

    Основание окна должно быть равно 092613 1020 1995 Математика 19м, высота прямоугольной части окна равна 092613 1020 1996 Математика 19м (высота прямоугольной части окна в два раза меньше основания окна).

     

    Задание 85

    Исследовать функции и построить график

    092613 1020 1997 Математика 19

    Решение

    1) область определения:

    092613 1020 1998 Математика 19

    Область значений: 092613 1020 1999 Математика 19

    2) четность:

    092613 1020 19100 Математика 19

    092613 1020 19101 Математика 19 ,не является ни четной, ни нечетной

    3) на бесконечности:

    092613 1020 19102 Математика 19

    092613 1020 19103 Математика 19

    4) точки пересечения с осями:

    ОХ: у=0, 092613 1020 19104 Математика 19=0, х=0, не принадлежит области определения

     

  16. асимптоты:

     

    Вертикальная: х=0

    Наклонные: у=кх+в

    092613 1020 19105 Математика 19

    Не существует наклонных ассимптот

    6) производная:

    092613 1020 19106 Математика 19

    092613 1020 19107 Математика 19, функция убывает

    092613 1020 19108 Математика 19 функция возрастает

    7)

    Х

    092613 1020 19109 Математика 19 0 1.2 +092613 1020 19110 Математика 19

    F(x) 

    F'(x) 

    092613 1020 19111 Математика 19092613 1020 19112 Математика 19092613 1020 19113 Математика 19 — 0 +

    8) График:

    092613 1020 19114 Математика 19

     

    Задание 95

    Найти частные производные функции

    092613 1020 19115 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19116 Математика 19092613 1020 19117 Математика 19

    092613 1020 19118 Математика 19092613 1020 19119 Математика 19

    092613 1020 19120 Математика 19092613 1020 19121 Математика 19092613 1020 19122 Математика 19

    +092613 1020 19123 Математика 19092613 1020 19124 Математика 19

    +092613 1020 19125 Математика 19

    092613 1020 19126 Математика 19092613 1020 19127 Математика 19092613 1020 19128 Математика 19

    +092613 1020 19129 Математика 19092613 1020 19130 Математика 19

    +092613 1020 19131 Математика 19

    092613 1020 19132 Математика 19(092613 1020 19133 Математика 19=092613 1020 19134 Математика 19

    +092613 1020 19135 Математика 19092613 1020 19136 Математика 19

    +092613 1020 19137 Математика 19

     

    Задание 105

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями:

    092613 1020 19138 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19139 Математика 19

    092613 1020 19140 Математика 19

    Составляем и решаем систему уравнений:

    092613 1020 19141 Математика 19

    Из первого уравнения, 092613 1020 19142 Математика 19

    Подставляем во второе уравнение:

    092613 1020 19143 Математика 19

    Нет корней, значит, нет глобального экстремума.

    Проверяем на локальный экстремум:

    На прямой х=-2:

    092613 1020 19144 Математика 19

    092613 1020 19145 Математика 19

    092613 1020 19146 Математика 19

    Нет корней

    Минимальное значение получаем при у=3 092613 1020 19147 Математика 19

    Максимальное значение при у=-3 092613 1020 19148 Математика 19

    На прямой х=2:

    092613 1020 19149 Математика 19

    092613 1020 19150 Математика 19

    092613 1020 19151 Математика 19

    092613 1020 19152 Математика 19092613 1020 19153 Математика 19092613 1020 19154 Математика 19    +    —    +    

        —092613 1020 19155 Математика 19
    092613 1020 19156 Математика 19

     

    092613 1020 19157 Математика 19=10,51

    092613 1020 19158 Математика 19=21

    z(-3)=-22

    z(3)=33

    Минимальное значение получаем при у=-3 092613 1020 19159 Математика 19

    Максимальное значение при у=3 092613 1020 19160 Математика 19

    На прямой y=-3:

    092613 1020 19161 Математика 19

    092613 1020 19162 Математика 19

    092613 1020 19163 Математика 19

    092613 1020 19164 Математика 19092613 1020 19165 Математика 19        —     +

        092613 1020 19166 Математика 19

    z(3/2)=-22

    z(2)=-22

    z(-2)=86

    Минимальное значение получаем при x=3/2 092613 1020 19167 Математика 19

    Максимальное значение при х=-2 092613 1020 19168 Математика 19

    На прямой y=3:

    092613 1020 19169 Математика 19

    092613 1020 19170 Математика 19

    092613 1020 19171 Математика 19

    092613 1020 19172 Математика 19092613 1020 19173 Математика 19        +     —

        092613 1020 19174 Математика 19

    z(3/2)=34,25

    z(2)=32

    z(-2)=-76

    Минимальное значение получаем при x=-2 092613 1020 19175 Математика 19

    Максимальное значение при х=3/2 092613 1020 19176 Математика 19

    Ответ: Максимальное значение z=86 в точке: (-2,-3)

    Минимальное значение: z=-76 в точке: (-2,3)

     

     

    Задание 115

    Найти интегралы

    А) 092613 1020 19177 Математика 19

    Б) 092613 1020 19178 Математика 19

    Решение

    А) 092613 1020 19179 Математика 19

    Разложим дробь 092613 1020 19180 Математика 19 на простые дроби:

    092613 1020 19181 Математика 19=092613 1020 19182 Математика 19

    092613 1020 19183 Математика 19=092613 1020 19184 Математика 19092613 1020 19185 Математика 19

    092613 1020 19186 Математика 19, 092613 1020 19187 Математика 19

    092613 1020 19188 Математика 19=092613 1020 19189 Математика 19

    092613 1020 19190 Математика 19=092613 1020 19191 Математика 19092613 1020 19192 Математика 19)092613 1020 19193 Математика 19

    =092613 1020 19194 Математика 19=092613 1020 19195 Математика 19

    Б) 092613 1020 19196 Математика 19 =092613 1020 19197 Математика 19=092613 1020 19198 Математика 19

     

     

    Задание 125

    Вычислить определенные интегралы

    092613 1020 19199 Математика 19

    Решение

    Делаем подстановку:

    092613 1020 19200 Математика 19=092613 1020 19201 Математика 19

    =092613 1020 19202 Математика 19=092613 1020 19203 Математика 19

     

    Задание 135

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

    092613 1020 19204 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19205 Математика 19=092613 1020 19206 Математика 19

    =092613 1020 19207 Математика 19=1

     

    Задание 145

    Решить диф уравнение

    092613 1020 19208 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19209 Математика 19

    Делим на 092613 1020 19210 Математика 19

    092613 1020 19211 Математика 19

    Однородное уравнение:

    092613 1020 19212 Математика 19

    092613 1020 19213 Математика 19

    Решение неоднородного уравнения ищем в виде:

    092613 1020 19214 Математика 19

    Подставляем в начальное уравнение:

    092613 1020 19215 Математика 19

    092613 1020 19216 Математика 19

     

    Задание 155

    Найти область сходимости ряда

    092613 1020 19217 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19218 Математика 19

    092613 1020 19219 Математика 19

    092613 1020 19220 Математика 19

    092613 1020 19221 Математика 19

    Ряд сходится при 092613 1020 19222 Математика 19

     

    Задание 165

    Разложить в ряд Маклорена

    092613 1020 19223 Математика 19

    Решение

    092613 1020 19224 Математика 19

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.99MB/0.00043 sec

WordPress: 21.91MB | MySQL:120 | 2,276sec