Математика 21

<

092613 1949 211 Математика 21Задание 1.

 

Решить графическим способом задачу линейного программирования (max и min) функции.

 

092613 1949 212 Математика 21

 

092613 1949 213 Математика 21

 

Решение:

 

Построим многогранник решений.

092613 1949 214 Математика 21

Рисунок 1– Многогранник решений

 

Прямые ограничения092613 1949 215 Математика 21означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат (см. рисунок).

 

Определим множество решений первого неравенства:

 

092613 1949 216 Математика 21

 

Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства.

 

092613 1949 217 Математика 21

092613 1949 218 Математика 21

 

Решением уравнения служат точки прямой 092613 1949 219 Математика 21. Построим прямую по двум точкам (0; 5) и (10; 0) , которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных. На рисунке обозначим её цифрой I. Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которые делит плоскость построенная прямая. Какая из них искомая можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется / не выполняется, то оно выполняется / не выполняется и во всех точках той полуплоскости, к которой принадлежит данная точка, и не выполняется / выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. По отношению к данной прямой начало координат находится в нижней полуплоскости. Подставим координаты (0; 0) в неравенство, получим 0<10, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость (см. рисунок). Аналогичным образом построим области решения двух оставшихся неравенств.

Определим множество решений второго неравенства:

 

092613 1949 2110 Математика 21

Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства.

092613 1949 2111 Математика 21

<

092613 1949 2112 Математика 21

Построим прямую 092613 1949 2113 Математика 21 по двум точкам (0; 092613 1949 2114 Математика 21) и (7; 0) , которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных. На рисунке обозначим её цифрой II. По отношению к данной прямой начало координат находится в верхней полуплоскости. Подставим координаты (0; 0) в неравенство 092613 1949 2115 Математика 21, получим заведомо неверное 0>14, т.е. оно не выполняется. Следовательно, областью решений служит нижняя полуплоскость (см. рисунок).

Определим множество решений третьего неравенства:

 

092613 1949 2116 Математика 21

 

Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства.

092613 1949 2117 Математика 21

092613 1949 2118 Математика 21

Построим прямую 092613 1949 2119 Математика 21 по двум точкам (0; 2) и (092613 1949 2120 Математика 21; 0) , которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных. На рисунке обозначим её цифрой III. По отношению к данной прямой начало координат находится в нижней полуплоскости. Подставим координаты (0; 0) в неравенство 092613 1949 2121 Математика 21, получим заведомо неверное 0>2, т.е. оно не выполняется. Следовательно, областью решений служит верхняя полуплоскость (см. рисунок).

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины получившегося треугольника латинскими буквами ABC. A – точка пересечения прямой II с осью x1, B – точка пересечения прямых I и II, C – точка пересечения прямой I с осью x1.

Координаты точек A и C мы уже нашли в процессе построения прямых: A имеет координаты (7; 0), C — (10; 0), Найдем координаты точки B, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых.

 

092613 1949 2122 Математика 21

 

092613 1949 2123 Математика 21

 

Отсюда координаты точки B (092613 1949 2124 Математика 21; 092613 1949 2125 Математика 21)

Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Так как в данном случае угловых точек всего-навсего три и координаты каждой из них известны, то в данном случае рациональнее просто перебрать все три точки, по очереди подставляя их в целевую функцию, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения целевой функции при заданных ограничениях.

В точке A (7; 0) функция 092613 1949 2126 Математика 21:

 

092613 1949 2127 Математика 21

 

В точке B (092613 1949 2128 Математика 21; 092613 1949 2129 Математика 21) функция 092613 1949 2130 Математика 21:

 

092613 1949 2131 Математика 21

 

В точке C (10; 0) функция 092613 1949 2132 Математика 21:

092613 1949 2133 Математика 21

 

Ответ:

Наибольшее значение функция 092613 1949 2134 Математика 21 приняла в точке B (092613 1949 2135 Математика 21; 092613 1949 2136 Математика 21), следовательно, максимума, при заданных ограничениях, она достигает при 092613 1949 2137 Математика 21, 092613 1949 2138 Математика 21

Наименьшее значение функция 092613 1949 2139 Математика 21 приняла в точке A (7; 0), следовательно, минимума, при заданных ограничениях, она достигает при 092613 1949 2140 Математика 21, 092613 1949 2141 Математика 21

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.91MB/0.00112 sec

WordPress: 22.39MB | MySQL:118 | 1,247sec