Математика 27

<

092713 0348 271 Математика 27По данным, характеризующим уровень производительности труда за последние семь лет и представленным в таблице 2, найти конкретный вид тренда в линейной форме —092713 0348 272 Математика 27; оценить модель по форме и статистическую значимость её параметров (а0 и а1) с помощью соответственно критерия Фишера (F-критерия) и критерия Стьюдента (t-критерия); построить доверительную зону линий регрессии; рассчитать прогнозное значение анализируемого признака с упреждением на три года и наиболее вероятный уровень его прироста в процентах.

Оформление шрифт 14, полтора интервала. Пример решения в pdf файле.

Таблица 2

Элементы временных рядов, характеризующих уровень производительности труда (yt), млн. руб./чел

Условные годы предпрогнозного периода (t)

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

3 

5 

5

6 

7 

8 

9 

 

Из анализа таблицы видим что тренд линейный.

Для определения параметров тренда используем метод наименьших квадратов.

 

x 

y 

x*y 

X2

Y2

1 

1 

3 

3 

1 

9 

2 

2 

5 

10 

4 

25 

3 

3 

5 

15 

9 

25 

4 

4 

6 

24 

16 

36 

5 

5 

7 

35 

25 

49 

6 

6 

<

8 

48 

36 

64 

7 

7 

9 

63 

49 

81 

итого

28 

43 

198 

140 

289 

среднее 

4 

6,142857 

28,28571 

20 

41,28571 

σ

2 

1,884415 

 

 

 

Дисперсия σ2

4 

3,55102 

 

 

 

 

 

Для линейного тренда

a0 = yср – a1 * xср , и a1= cov ( x,y)/ σ2 или a1= xср *yср / (х2-xср2 )

 

a1=(28.2856-6.1429*4)/(20-42)=0.9285

a0=6.1429-0.9285*4=2.4286

y=2.4286+0.9285*x

После нахождения уравнения регрессии вычисляем остальные значения в таблице ŷ(x) y-ŷ(x) (y-ŷ(x))2 Ai

rxy=cov(x,y)/( σx* σy) или rxy=a1* σx/ σy

rxy = 0.9285*2/0,188= 0.9855

Где rxy (или R)– коэффициент линейной парной корреляции

Основная оценка значимости регрессии производится с помощью F-критерия Фишера. Эта величина связана с коэффициентом детерминации rxy 2 =0,9713 (то есть на 97 процентов производительность зависит от года производства) и ее можно расчитать по формуле F= rxy 2 / (1- rxy 2) * (n-2)

 

F=S2факт/S2ост

S2факт= Σ(ŷ –yср )/(m) дисперсия факторная

S2ост= Σ(y–ŷ )/(n-m-1) дисперсия остаточная

Из условий задачи n=7 и m =1 для линейной регрессии.

S2факт =3.449

S2ост=0.0204

F=3.449/0.0204=169,07

Где n – количество уровней ряда (в задании n=7)

или

F=0.9713/ (1-0.9713) *(7-2)=0,9713/0,0287*5=33,84*5=169,2

Сравниваем с табличным значением, при k1=1 (для парной линейной корреляции) и k 2 =n=7

5.59<169,2 значит мы имеем дело со статистически значимым уравнением.

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции воспользуемся T-критерием Стьюдента и доверительными показателями каждого из показателей.Для этого сопоставим каждый из них с величиной стандартной ошибки.

Ta = a/ma

Tb = a1/mb

Tr = rxy /mr

Стандартные ошибки
параметров линейной регрессии и

коэффициента корреляции определяются по формулам:

 

ma= (S2ост *Σx2 / (n2 * σx
2 ) )0,5 = (0.0204 *140 / (72 * 42 ) )0,5 =(2.856/784)0,5 =

=(0.003643)0,5 =0.06035

mb= (S2ост / (n
* σx
2 ) )0,5 =(0.0204/(7*42))0,5=(0.0001824)0,5 =0.0135

mr =((1-rxy2 ) / (n
-2 ) )0,5=((1-0.9713) / (7
-2 ) )0,5 =(0.0287/5)0,5 =0.07576

Тогда

Ta = a0/ma = 2,4286/0,06035=40,2

Tb = a1/mb= 0,9286/0,0135=68,78

Tr = rxy /mr = 0,9855/0,07576=13,08

Фактические ta > tтаб = 2,36 tb >tтаб= 2,36 tr >t таб= 2,36 превосходят табличные при уровне значимости α=0,05 . Значит параметры a0 , a1, rxy не случайно отличаются от нуля.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a0 и a1

Δa0= ma *tтаб= 0.06035*2,36=0,142426

Δa1 =mb *tтаб = 0.0135*2,36=0,03186

Отсюда доверительные интервалы для линий регрессии

γa0= a0 ±Δa0 =2.4286±0.142426 2.286174<a0* 2.571026

γa1= a1 ±Δa1 =0.9286±0.03186 0.89674<a1* <0.96046

 

Наиболее вероятное значение с упреждением в 3 года найдем из формулы регрессии с учетом доверительных интервалов.

Y(t)= a0+a1*t где t = n+3=7+3=10

С вероятностью p=1- α =1-0.05=0.95 признак будет находится в следующих границах (для t=10)

Y(t)min=2,286174+0,89674*10=11,25 млн. руб./чел.

Y(t)max=2.571026+0.96046*10=12, 175 млн. руб./чел.

Или 11.25<Y(t)<12.175

 

На рисунке 1 представлена линия тренда с упреждением на 3 года

 

092713 0348 273 Математика 27

Рисунок 1 – линия тренда и расчетные данные


 

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.92MB/0.00031 sec

WordPress: 22.12MB | MySQL:118 | 1,516sec