Математика 29

<

 

092713 1119 291 Математика 291. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

 

Числа, не являющиеся целыми и дробными называются иррациональными.

Так как любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число, то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь — это иррациональное число.

Например, иррациональным числом является диагональ r квадрата со стороной, равной 1: 092713 1119 292 Математика 29а также число p = 3,14159… — отношение длины окружности к диаметру, постоянное для любой окружности.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел (обозначается R). Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу: отрицательному (со знаком «-«), если она левее начала отсчета; положительному (со знаком «+»), если она правее начала отсчета. Множество действительных чисел называется также числовой прямой.

Действительное число    (вещественное число), любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин.

Сравнение действительных чисел

Будем считать, что введены правила сравнения для чисел из множества 092713 1119 293 Математика 29а также установлены свойства: 092713 1119 294 Математика 29. Введем правила сравнения действительных чисел.

Пусть 092713 1119 295 Математика 29и 092713 1119 296 Математика 29положительные числа, по определению считают:

092713 1119 297 Математика 29, если 092713 1119 298 Математика 29;

092713 1119 299 Математика 29или 092713 1119 2910 Математика 29, если 1) либо 092713 1119 2911 Математика 29, 2) либо 092713 1119 2912 Математика 29;

если 092713 1119 2913 Математика 29— положительное число, 092713 1119 2914 Математика 29— отрицательное число, то по определению считают

092713 1119 2915 Математика 29; 092713 1119 2916 Математика 29; 092713 1119 2917 Математика 29; 092713 1119 2918 Математика 29; 092713 1119 2919 Математика 29; 092713 1119 2920 Математика 29;

092713 1119 2921 Математика 29и 092713 1119 2922 Математика 29— отрицательные числа, то по определению считают

092713 1119 2923 Математика 29Þ
092713 1119 2924 Математика 29; 092713 1119 2925 Математика 29(092713 1119 2926 Математика 29)
Þ
092713 1119 2927 Математика 29(092713 1119 2928 Математика 29).

По правилам сравнения действительных чисел доказываются следующие утверждения: 092713 1119 2929 Математика 29:

  1. 092713 1119 2930 Математика 29(092713 1119 2931 Математика 29) Þ
    092713 1119 2932 Математика 29(092713 1119 2933 Математика 29).
  2. 092713 1119 2934 Математика 29Þ092713 1119 2935 Математика 29;
  3. 092713 1119 2936 Математика 29Þ
    092713 1119 2937 Математика 29;
  4. 092713 1119 2938 Математика 29, 092713 1119 2939 Математика 29Þ
    092713 1119 2940 Математика 29;

    5. 092713 1119 2941 Математика 29, 092713 1119 2942 Математика 29Þ
    092713 1119 2943 Математика 29;

Свойства арифметических действий над действительными числами.

092713 1119 2944 Математика 29справедливы следующие свойства:

  1. 092713 1119 2945 Математика 29— коммутативность сложения;
  2. 092713 1119 2946 Математика 29— ассоциативность сложения;
  3. обратимость сложения: 092713 1119 2947 Математика 29092713 1119 2948 Математика 29: 092713 1119 2949 Математика 29;
  4. 092713 1119 2950 Математика 29— коммутативность умножения;
  5. 092713 1119 2951 Математика 29— ассоциативность умножения;
  6. 092713 1119 2952 Математика 29— дистрибутивность умножения относительно сложения;
  7. 092713 1119 2953 Математика 29092713 1119 2954 Математика 29;
  8. 092713 1119 2955 Математика 29092713 1119 2956 Математика 29;
  9. обратимость умножения: 092713 1119 2957 Математика 29092713 1119 2958 Математика 29: 092713 1119 2959 Математика 29;
  10. 092713 1119 2960 Математика 29092713 1119 2961 Математика 29;
  11. 092713 1119 2962 Математика 29092713 1119 2963 Математика 29;

Свойства числовых неравенств.

Если два числа 092713 1119 2964 Математика 29и 092713 1119 2965 Математика 29(092713 1119 2966 Математика 29) соединены знаком неравенства 092713 1119 2967 Математика 29или одним из соотношений 092713 1119 2968 Математика 29, или 092713 1119 2969 Математика 29, или 092713 1119 2970 Математика 29, или 092713 1119 2971 Математика 29, установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство. Неравенства 092713 1119 2972 Математика 29и 092713 1119 2973 Математика 29называют строгими, неравенства 092713 1119 2974 Математика 29и 092713 1119 2975 Математика 29называются нестрогими.

092713 1119 2976 Математика 29справедливы следующие свойства:

  1. 092713 1119 2977 Математика 29
  2. если 092713 1119 2978 Математика 29и 092713 1119 2979 Математика 29, то 092713 1119 2980 Математика 29(свойство транзитивности);
  3. если 092713 1119 2981 Математика 29, то для любого с 092713 1119 2982 Математика 29; если для некоторого с 092713 1119 2983 Математика 29, то 092713 1119 2984 Математика 29(092713 1119 2985 Математика 29
    Þ
    092713 1119 2986 Математика 29);
  4. если 092713 1119 2987 Математика 29, то для любого с> 0 092713 1119 2988 Математика 29; если для некоторого с> 0 092713 1119 2989 Математика 29, то 092713 1119 2990 Математика 29(092713 1119 2991 Математика 29
    Þ
    092713 1119 2992 Математика 29, с> 0);
  5. если 092713 1119 2993 Математика 29, то для любого с< 0 092713 1119 2994 Математика 29; если для некоторого с< 0 092713 1119 2995 Математика 29, то 092713 1119 2996 Математика 29(092713 1119 2997 Математика 29 Ы 092713 1119 2998 Математика 29, с< 0);
  6. если 092713 1119 2999 Математика 29и 092713 1119 29100 Математика 29, то 092713 1119 29101 Математика 29(возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
  7. если 092713 1119 29102 Математика 29и 092713 1119 29103 Математика 29, то 092713 1119 29104 Математика 29(возможность почленного вычитания неравенств противоположного смысла);
  8. если 092713 1119 29105 Математика 29, 092713 1119 29106 Математика 29и 092713 1119 29107 Математика 29, 092713 1119 29108 Математика 29, то 092713 1119 29109 Математика 29(возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла неотрицательных чисел);
  9. если 092713 1119 29110 Математика 29, 092713 1119 29111 Математика 29и 092713 1119 29112 Математика 29, 092713 1119 29113 Математика 29, то 092713 1119 29114 Математика 29(возможность почленного деления неравенств противоположного смысла неотрицательных чисел);
  10. если 092713 1119 29115 Математика 29, то 092713 1119 29116 Математика 29092713 1119 29117 Математика 29

    (возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел).

    В свойствах 1.-10. Обратить внимание на случаи знаков «<«,»і «, «Ј «.

    В свойствах 2. И 6.-9. Обратить внимание на случаи, когда одно из неравенств строгое, другое нестрогое, в результате неравенство будет строгое.

    Доказательства.

    1. 092713 1119 29118 Математика 29Þ
    092713 1119 29119 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29120 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29121 Математика 29,

    второе утверждение доказывается аналогично.

    2. 092713 1119 29122 Математика 29Þ092713 1119 29123 Математика 29, 092713 1119 29124 Математика 29Þ
    092713 1119 29125 Математика 29
    Þ

    092713 1119 29126 Математика 29Þ
    092713 1119 29127 Математика 29.

    3. 092713 1119 29128 Математика 29Þ
    092713 1119 29129 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29130 Математика 29092713 1119 29131 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29132 Математика 29;

    пусть для некоторого 092713 1119 29133 Математика 29092713 1119 29134 Математика 29, тогда 092713 1119 29135 Математика 29Þ
    092713 1119 29136 Математика 29.

    4. 092713 1119 29137 Математика 29Þ
    092713 1119 29138 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29139 Математика 29092713 1119 29140 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29141 Математика 29;

    пусть для некоторого 092713 1119 29142 Математика 29092713 1119 29143 Математика 29, тогда 092713 1119 29144 Математика 29Þ
    092713 1119 29145 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29146 Математика 29.

    5. 092713 1119 29147 Математика 29Þ
    092713 1119 29148 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29149 Математика 29092713 1119 29150 Математика 29
    Þ092713 1119 29151 Математика 29;

    пусть для некоторого 092713 1119 29152 Математика 29092713 1119 29153 Математика 29, тогда 092713 1119 29154 Математика 29Þ
    092713 1119 29155 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29156 Математика 29.

    6. 092713 1119 29157 Математика 29Þ
    092713 1119 29158 Математика 29, 092713 1119 29159 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29160 Математика 29
    Þ

    092713 1119 29161 Математика 29Þ
    092713 1119 29162 Математика 29.

    7. 092713 1119 29163 Математика 29Þ
    092713 1119 29164 Математика 29, 092713 1119 29165 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29166 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29167 Математика 29
    Þ

    092713 1119 29168 Математика 29Þ
    092713 1119 29169 Математика 29.

    8. В силу свойства 2. Из 092713 1119 29170 Математика 29, 092713 1119 29171 Математика 29Þ092713 1119 29172 Математика 29(аналогично 092713 1119 29173 Математика 29),

    откуда в силу свойства 4. 092713 1119 29174 Математика 29; при 092713 1119 29175 Математика 29092713 1119 29176 Математика 29, в силу свойства 2. 092713 1119 29177 Математика 29;

    при 092713 1119 29178 Математика 29092713 1119 29179 Математика 29, а так как 092713 1119 29180 Математика 29, то 092713 1119 29181 Математика 29.

    9. Так как 092713 1119 29182 Математика 29, 092713 1119 29183 Математика 29, то 092713 1119 29184 Математика 29Þ
    092713 1119 29185 Математика 29,

    в силу свойства 4. 092713 1119 29186 Математика 29Þ
    092713 1119 29187 Математика 29
    Þ
    092713 1119 29188 Математика 29,

    в силу свойства 8. 092713 1119 29189 Математика 29или 092713 1119 29190 Математика 29.

    10.Воспользуемся формулой, доказанной ниже

    092713 1119 29191 Математика 29, так как числа 092713 1119 29192 Математика 29и 092713 1119 29193 Математика 29не равны, то одно из них точно положительно, а потому 092713 1119 29194 Математика 29, и, следовательно, знак разности 092713 1119 29195 Математика 29совпадает со знаком разности 092713 1119 29196 Математика 29.

    Свойства числовых неравенств доказаны полностью.

     

    2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ВЕЛИЧИНЫ

     

Модулем или абсолютной величиной действительного числа 092713 1119 29197 Математика 29называется расстояние от начала координат на числовой прямой до точки с координатой 092713 1119 29198 Математика 29.

092713 1119 29199 Математика 29

092713 1119 29200 Математика 29092713 1119 29201 Математика 29

Свойства:

  1. 092713 1119 29202 Математика 29.
  2. 092713 1119 29203 Математика 29.
  3. 092713 1119 29204 Математика 29.
  4. 092713 1119 29205 Математика 29
  5. 092713 1119 29206 Математика 29

    3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА

     

    Рассмотрим основные положения, позволяющие выполнять приближенные вычисления. Пусть действительные числа 092713 1119 29207 Математика 29и 092713 1119 29208 Математика 29представимы в виде десятичных дробей соответственно 092713 1119 29209 Математика 29и 092713 1119 29210 Математика 29. Для любого 092713 1119 29211 Математика 29приближенные значения числа 092713 1119 29212 Математика 29обозначим через 092713 1119 29213 Математика 29и 092713 1119 29214 Математика 29.

    Аналогичный смысл имеют обозначения 092713 1119 29215 Математика 29и 092713 1119 29216 Математика 29для числа 092713 1119 29217 Математика 29. Тогда для любого номера 092713 1119 29218 Математика 29выполняются неравенства 092713 1119 29219 Математика 29. Складывая их, получаем 092713 1119 29220 Математика 29.

    Поскольку разность 092713 1119 29221 Математика 29при возрастании 092713 1119 29222 Математика 29стремится к нулю, то сумму 092713 1119 29223 Математика 29можно найти с любой степенью точности. Аналогично при 092713 1119 29224 Математика 29и 092713 1119 29225 Математика 29имеем 092713 1119 29226 Математика 29, откуда подобным образом получаем, что 092713 1119 29227 Математика 29и 092713 1119 29228 Математика 29дают приближенные значения для произведения 092713 1119 29229 Математика 29соответственно по недостатку и по избытку с любой наперед заданной степенью точности.

     

    4. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

     

    Линейное неравенство     неравенство, левая и правая части которого — линейные функции относительно неизвестных.

    Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

    092713 1119 29230 Математика 29

    решениями которых будут:

    при a > 0:

    092713 1119 29231 Математика 29

    при a < 0:

    092713 1119 29232 Математика 29

    Неравенство вида ах2+bx+с>0 или ax2+bx+c<0, где 092713 1119 29233 Математика 29, называется квадратным. Решить неравенство аx2 + bx + с>0 — значит найти значения х, при которых функция у=ах2+bx+c имеет положительные значения. Аналогично выясняется смысл решения неравенства ах2+bх+с<0. Решение квадратных неравенств связано с нахождением промежутков знакопостоянства квадратичной функции. В гл. III было показано, что промежутки знакопостоянства функции у = ах2 + bх + с легко находятся с помощью ее графика. Приведем аналитическое решение этого вопроса.

    Теорема 1. Если корни квадратичной функции у = ах2 + bx + с действительные и различные, то для значений х, принадлежащих промежутку между корнями, знак функции противоположен знаку коэффициента а, а для значений х вне этого промежутка знак функции совпадает со знаком коэффициента а.

    092713 1119 29234 Математика 29

    Доказательство. Пусть х1 и х2 — корни функции у = ах2 + bх + с, причем х12 (рис. 59). Тогда имеем у = а (х-x1) (х-х2). Если значение х заключено между х1 и х2, т. е. х1<x<х2, то х-х1 > 0, а х-х2< 0; тогда (х-x1) (х-х2)< 0. Следовательно, у=а(х-x1)(х-х2) — положительное число при а<0 и отрицательное — при а>0, т. е. знак у противоположен знаку а.

    Если х<х1 т. е. 092713 1119 29235 Математика 29, то х — х1<0 и х — х2<0; в этом случае (х — x1) (х — х2)>0. Следовательно, у=а (x-x1) (х-х2) является положительным числом при а>0 и отрицательным при а<0, т. е. знак у совпадает со знаком а.

    Если же 092713 1119 29236 Математика 29, то х-х2>0 и х-x1>0; тогда (х-x1) (х-х2)>0. Следовательно, у=а(х-x1) (х-х2) — положительное число при а>0 и отрицательное при а<0, т. е. знак у совпадает со знаком а. Теорема доказана.

    Полученные результаты для функции у=ах2+bx+с, корни которой x1
    и х2 действительны и различны, можно представить в виде следующей таблицы:

    x

    (-092713 1119 29237 Математика 29,x1)

    (x1
    , х2)

    (x2,+092713 1119 29238 Математика 29)

    Знак у

    Совпадает со знаком коэффициента а

    Противоположен знаку коэффициента а

    Совпадает со знаком коэффициента а

    Эти результаты легко усмотреть из графика функции (рис.).

    092713 1119 29239 Математика 29

    092713 1119 29240 Математика 29

    Теорема 2. Если корни квадратичной функции у = ах2 + bx + с действительные равные, то при всех значениях х, кроме значения, равного корню x1 = x2 = -b/2a, знак функции совпадает со знаком коэффициента а.

    Доказательство. В этом случае имеем у = ах2+bх-с = а (х-x1)2.

    Так как при х x1 выражение (х — x1)2>0, то знак y совпадает со знаком коэффициента а. Теорема доказана. Графическая иллюстрация приведена на рис.

    092713 1119 29241 Математика 29

    092713 1119 29242 Математика 29

    Теорема 3. Если квадратичная функция у = ах2+bх+с действительных корней не имеет, то для всех без исключения значений к знак у совпадает со знаком коэффициента а.

    Доказательство. Данная функция действительных корней не имеет, поэтому в множестве действительных чисел выражение ах2+bх+с на множители разложить нельзя. Выполним следующее преобразование:

    092713 1119 29243 Математика 29

    Из условия теоремы следует, что дискриминант квадратного трехчлена D = b2-4ас<0, поэтому (4ас — b2)/4а2>0. Выражение (x + b/2а)2 при любом х неотрицательно, следовательно, выражение

    092713 1119 29244 Математика 29

    092713 1119 29245 Математика 29

    в квадратных скобках положительно. Отсюда делаем вывод, что знак у совпадает со знаком коэффициента а при любом значении х. Теорема доказана. Графическая иллюстрация приведена на рис.

     

     

     

    5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

     

    В общем виде линейное неравенство записывается так:

    kx + l>mx + n.

    (1) 

    Получаем

    (k — m) х> n — l.

    Обозначая k — m = a и n — l = b, имеем

    ах>b.

    (2)  

    Если 092713 1119 29246 Математика 29, то неравенство (2) называется неравенством первой степени. Таким образом, всякое неравенство первой степени является частным видом линейного неравенства.

    При а = 0 неравенство (2) принимает вид

    0 ·х>b

    <

    (3)  

    Неравенство (3) линейное, но оно не является неравенством первой степени.

    Решение неравенства вида ах>b.

    1) Если а>0, то по теореме 2 имеем х>b/а.

    2) Если а<0, то в соответствии с теоремой 3 получаем х<b/а.

    3) Если а = 0, то 0·х>b. Имеем: а) при b>0 неравенство решений не имеет; б) при b<0 решением неравенства является все множество действительных чисел.

     

    6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

     

    Если даны два линейных неравенства k1x + l1>m1x + n1 и k2x + l2>m2x + n2 и требуется найти все те значения х, при которых удовлетворяется каждое из данных неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют систему

    092713 1119 29247 Математика 29

    Для того чтобы решить систему неравенств, надо определить множество решений каждого из них, а затем найти пересечение этих множеств.

    Пример 1. Решить систему

    092713 1119 29248 Математика 29

    Решение. Решая каждое неравенство отдельно, получаем

    092713 1119 29249 Математика 29

    Пересечением этих множеств является множество х>1,5, которое и есть решение данной системы (рис. ).

    092713 1119 29250 Математика 29

    092713 1119 29251 Математика 29

     

    При решении неравенств вида ах2 + bx + с>0 или ах2+bx+с<0 возможны три случая:

    1) D = b2-4ac>0 (корни действительные и различные); решение неравенства находится на основании теоремы 1;

    2) D = b2-4ac = 0 (корни действительные и равные); при решении неравенства используют теорему 2;

    3) D = b2-4ас <0 (действительных корней нет); решение неравенства основано на теореме 3.

     

    7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

    Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0.

    Уравнение вида

    ax2+bx+c=0

    (1)

    где, a, b, c — действительные числа, причем a № 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a № 1, — то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

    Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле

    092713 1119 29252 Математика 29

    (2)

      Выражение D = b2— 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

    В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

    Используя обозначение D = b2— 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

    092713 1119 29253 Математика 29

      Если b = 2k, то формула(2) принимает вид:

    092713 1119 29254 Математика 29

      Итак,

    092713 1119 29255 Математика 29

    где k = b / 2.

    Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.Теорема Виета

    Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, прозведение корней равно свободному члену q:

    x1 + x2 = − p

    x1x2 = q

     Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

     

    ТЕМА 2

    1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

     

    Известно, что скорость V бега человека равна произведению длины шага l на частоту шагов k, т.е. V = k l.

    Здесь для каждого из возможных значений k и l можно точно определить V. В этом случае говорят, что между тремя переменными V, k, l существует функциональная связь или V функционально зависима от k и l, или V есть функция двух переменных k и l. Этот факт математически записывают в виде V = V(k,l) или V = f(k,l). В примере 1 нельзя сказать, что ЧСС функционально зависит от V, т.к. нет возможности по известному значению скорости V = V1 найти определенное, соответствующее ему значение ЧСС.
    В дальнейшем будем все рассуждения для простоты производить для двух переменных имея в виду, что аналогично можно рассуждать относительно многих взаимосвязанных переменных.

    Пусть, имеем две переменные х и у. Если каждому значению одной переменной соответствует одно или несколько определенных значений другой переменной, то между такими переменными существует функциональная зависимость или переменные х и у связаны между собой функционально. При этом, если х — независимая переменная, то ее называют аргументом, а зависимую от нее у — функцией. Математически это записывают по-разному. Чаще пишут так:

    y = f(x), (2)

    y = y(x). (3)

    Если у — независимая переменная — аргумент, то х — функция. В этом случае:

    x = f(y), (4)

    x = x(y), (5)

    Записи (2-5) изображают функциональную зависимость в явном виде, т.е. разрешенном относительно функции. Например,

    092713 1119 29256 Математика 29

    Функциональная зависимость изображена неявно в виде

    F(x,y) = 0 , (6)

    если она не разрешена относительно функции.

     

    2. ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

     

    Возьмем некоторое множество значений величины х, т. е. некоторое множество точек на числовой оси Ох, и обозначим его через D.

    Пусть заданы два множества (X,Y)092713 1119 29257 Математика 29R. Если для любого значения х из множества X ставится в соответствие по определенному закону одно строго определенное значение (взаимно однозначное соответствие) другой величины у из множества У, то говорят:

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.1MB/0.00143 sec

WordPress: 24.32MB | MySQL:124 | 2,254sec