Математика 3

<

092613 0040 31 Математика 31. В партии из 20 изделий 4 изделия имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 2 изделия являются дефектными?

РЕШЕНИЕ

Пусть Х — событие, состоящее в том, что среди 5-ти изделий 2 дефектные

Определим вероятность события Х по формуле 092613 0040 32 Математика 3, где n – число всех возможных исходов, m – число благоприятных исходов.

Число всех возможных исходов — число способов выбрать 5 изделий из 20

092613 0040 33 Математика 3

Число благоприятных исходов- число способов выбрать 2 дефектных изделия из 4-х при одновременном выборе трех изделий из 16-ти не дефектных:

092613 0040 34 Математика 3

ОТВЕТ: 0,217

 

2. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными?

Пусть Х — событие, состоящее в том, что из 20 изделий выбраны 2 некачественных

Определим вероятность события Х по формуле 092613 0040 35 Математика 3

Число всех возможных исходов — число способов выбрать 2 изделия из 20

092613 0040 36 Математика 3

Число благоприятных исходов- число способов выбрать 2 некачественных изделия из 6-ти:

092613 0040 37 Математика 3

ОТВЕТ: 0,079

 

3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 25 с первого завода, 35 со второго, 40 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9, на втором 0,8 , на третьем 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

РЕШЕНИЕ

Обозначим А – событие, состоящее в том, что взятое случайным образом изделие будет качественным.

Н1 – взятое случайным образом изделие изготовлено на первом заводе

Н2 – взятое случайным образом изделие изготовлено на втором заводе

Н3 – взятое случайным образом изделие изготовлено на третьем заводе

Найдем вероятности событий Нi (i=1,2,3)

P(Н1) = 092613 0040 38 Математика 3=0,25

P(Н2) = 092613 0040 39 Математика 3=0,35

P(Н3) = 092613 0040 310 Математика 3=0,40

По условию соответствующие условные вероятности равны:

Р(А/Н1) = 0,9 Р(А/Н2) =0,8 Р(А/Н3) = 0,7

По формуле полной вероятности:

Р(А)= Р(Н1)× Р(А/Н1) + Р(Н2)× Р(А/Н2) + Р(Н3)× Р(А/Н3) =

= 0,25 × 0,9 + 0,35×0,8 + 0,40×0,7 = 0.785 – вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным

ОТВЕТ: 0,785

 

4. Дано распределение дискретной случайной величины X . Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

хi

-5 

2 

3 

4 

pi

0.4 

0.3 

0.1 

0.2 

РЕШЕНИЕ

Найдем математическое ожидание

М(х)=092613 0040 311 Математика 3= -5×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4 0,2 = -0,3

Найдем дисперсию:

D(x) = M(x2) – M2(x)= (-5)2×0,4 + 22×0,3 + 32×0,1 + 42× 0,2 — (-0,3)2 = 15,21

Найдем среднее квадратичное отклонение:

092613 0040 312 Математика 33,9

ОТВЕТ М(х)=-0,3 s(х)=3,9

 

5. В городе имеются 3 оптовые базы . Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна 0,2 . Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

РЕШЕНИЕ

Число баз, на которых искомый товар отсутствует равно 0,1,2,3

Запишем закон распределения. Вычислим соответствующие вероятности по формуле Бернулли: Рn(k) = С092613 0040 313 Математика 3

р=0,2 — вероятность того, что на базе товар отсутствует,

q= 1- 0,2 = 0,8 – вероятность наличия товара, n=3 (число баз),

k=0,1,2,3 (число баз, на которых товар отсутствует)

1) k = 0 — нет ни одной базы, на которой данный товар отсутствует.

Р3(0) = С092613 0040 314 Математика 3 = 0,83 =0,512

2) k = 1 — товар отсутствует на одной базе.

Р3(1) = С092613 0040 315 Математика 3 = 3×0,2×0,82 = 0,384

3) k = 2 — товар отсутствует на двух базах.

Р3(2) = С092613 0040 316 Математика 3 = 0,096

4) k = 3 — товар отсутствует на всех базах.

Р3(3) = С092613 0040 317 Математика 3

 

Получаем следующий закон распределения:

хi

0 

1 

2 

<

3 

pi

0,512

0,384

0,096

0,008

 

ПРОВЕРКА: 0,512+0,384+0,096+0,008=1

 

 

6. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Ее математическое ожидание рано Мх=10, среднее квадратическое отклонение sх=1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8;14)

 

РЕШЕНИЕ

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (8;14). Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал (а;b) вычисляется по формуле:

092613 0040 318 Математика 3

В данном случае а=8, b=14, Мх=10, sх=1

092613 0040 319 Математика 3

ОТВЕТ: 0,9772

 

7. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину Х на основе заданного распределения двумерной случайной величины

Y

Х 

1 

3 

4 

2 

0,16

0,10 

0,28 

3 

0,14 

0,20 

0,12 

 

РЕШЕНИЕ

Сложив вероятности по строкам, найдем вероятности возможных значений X:

Р(X=2)=0,16+0,10+0,28=0,54

Р(X=3)=0,14+0,20+0,12=0,36

X 

2 

3 

Р 

0,54

0,36

Сложив вероятности по столбцам, найдем вероятности возможных значений Y:

Р(y=1)=0,16+0,14=0,3

Р(y=3)=0,10+0,20=0,3

Р(y=4)=0,28+0,14=0,4

Y 

1 

3 

4 

Р 

0,3

0,3 

0,4

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

М(Х)=2×0,54+3×0,36=2.16

М(Х2)= 22×0,54+32×0,36=5.4

D(X)=M(X2)-M2(X)=5.4-2.162=0.7344

М(Y)=1×0,3+3×0,3+4×0,4= 2.8

М(Y2)= 12×0,3+32×0,3+42×0,4= 9.4

D(Y)=M(Y2)-M2(Y)= 9.4-2.82= 1.56

Найдем среднеквадратичные отклонения:

092613 0040 320 Математика 3

Для вычисления корреляционного момента составим предварительно ряд распределения произведения Х×Y

Х×Y

2 

6 

8 

3 

9 

12 

P 

0,16 

0,1 

0,28 

0,14

0,2 

0,12 

 

Тогда М(Х×Y)=2×0.16+6×0,1+8×0,28+3×0,14+9×0,2+12×0,12=6.82

mху= М(Х×Y)- М(Х)×М(Y)=6.82-2.16×2.8= 0.772

Коэффициент корреляции равен:

rxy=092613 0040 321 Математика 3

Найдем уравнение регрессии:

у-М(Y)=rxy×092613 0040 322 Математика 3

у-2.8=0.773×092613 0040 323 Математика 3

y=1.124x+0.372

ОТВЕТ: y=1.124x+0.372


 

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.93MB/0.00040 sec

WordPress: 23.04MB | MySQL:116 | 1,326sec