Математика 31

<

092713 1525 311 Математика 31 Задание 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1)     Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 =0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

  • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1, = l,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 =0,32;
  • нормальности распределения остаточной компоненты по
    R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

    4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

    5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

     

    Таблица №1 — Исходные данные.

    Квартал 

    Вариант 1 

    1 

    41

    2 

    52

    3 

    62

    4 

    40

    5 

    44

    6 

    56

    7 

    68

    8 

    41

    9 

    47

    10 

    60

    11 

    71

    12 

    44

    13 

    52

    14 

    64

    15 

    77

    16 

    47

     

    Решение:

    Исходные данные:

    t 

    1 

    2 

    3 

    4 

    5 

    6 

    7 

    8 

    9 

    10 

    11 

    12 

    13 

    14 

    15 

    16 

    Y(t) 

    41 

    52 

    62 

    40 

    44 

    56 

    68 

    41 

    47 

    60 

    71 

    44 

    52 

    64 

    77 

    47 

     

    1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса

    Линейная модель имеет вид: Yp = a(0) + b(0)*t

    Согласно методу наименьших квадратов:

    092713 1525 312 Математика 31 ; 092713 1525 313 Математика 31 ; 092713 1525 314 Математика 31

    Все расчеты произведем в таблице

    092713 1525 315 Математика 31

     

     

    092713 1525 316 Математика 31

    092713 1525 317 Математика 31

    Уравнение с учетом найденных коэффициентов имеет вид: Yp = 49,6 + 0,4*t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями:

    092713 1525 318 Математика 31

    Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта –Уинтерса.

    092713 1525 319 Математика 31

    Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

    092713 1525 3110 Математика 31

    092713 1525 3111 Математика 31
    092713 1525 3112 Математика 31

    092713 1525 3113 Математика 31
    092713 1525 3114 Математика 31

     

    2. Проверка качества модели

    Промежуточные значения для оценки адекватности модели

    092713 1525 3115 Математика 31

    2) Проверка точности модели

    092713 1525 3116 Математика 31,

    092713 1525 3117 Математика 31

    Еотн<5% — модель значима с высокой степенью точности

    3. Проверка адекватности модели

    а) проверка случайности уровней:

    Гипотеза подтверждается, если092713 1525 3118 Математика 31, где 092713 1525 3119 Математика 31. Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. Тогда рассчитав, получим q= int (2/3*(16-2) -2*092713 1525 3120 Математика 31) = 6.

    Из таблицы Р = 10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

    б) проверка независимостей уровня ряда остатков (отсутствия автокорреляции)

    — по критерию Дарбина — Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 = 1,36. 092713 1525 3121 Математика 31

    092713 1525 3122 Математика 31

    неоднозначный ответ

    — по первому коэффициенту корреляции: 092713 1525 3123 Математика 31

    Критический уровень для N<15 (табличное значение) rкр = 0,32,

    092713 1525 3124 Математика 31

    т.к. |r(1)| ≤ rкр – сильная автокорреляция

    в) Расчет нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 3 — 4,21

    092713 1525 3125 Математика 31, где 092713 1525 3126 Математика 31

    092713 1525 3127 Математика 31

    т.е. можно заключить, что распределение нормальное.

    г) Значимость коэффициентов регрессии аj оценим с помощью t-критерия Стьюдента: 092713 1525 3128 Математика 31

    Табличное значение t для вероятности 95% и v1=n-k-1=14: tтабл=2,15

    092713 1525 3129 Математика 31

    Т.к. tрасч>tтабл, то параметр b статистически значим

    4. Построение точечного прогноза

    092713 1525 3130 Математика 31

    5.Отразим на графике расчетные, фактические и прогнозные данные.

    092713 1525 3131 Математика 31

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задание 2

     

    Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принят равным пяти дням. Рассчитать:

    — экспонциальную скользящую среднюю;

    — момент;

    — скорость изменения цен;

    — индекс относительной силы;

    — %R, %K, %D.

    Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

     

    Таблица № 2 — Исходные данные.

    Вариант 1 

    Дни 

    Цены 

    макс. 

    мин. 

    закр. 

    1 

    998 

    970 

    982 

    2 

    970 

    922 

    922 

    3 

    950 

    884 

    902 

    4 

    880 

    823 

    846 

    5 

    920 

    842 

    856 

    6 

    889 

    840 

    881 

    7 

    930 

    865 

    870 

    8 

    890 

    847 

    852 

    9 

    866 

    800 

    802 

    10 

    815 

    680 

    699 

     

    Решение:

    Введем исходные данные в ячейки В2:Е13.

    092713 1525 3132 Математика 31

    Расчет проведем в таблице.

    Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

    EMAt = Ct*K + EMAt-1*(1- K) ,

    где Ct — цена закрытия i-го дня ( i = (t –n +1),…,t);

    n — интервал сглаживания (n = 5)

    K = 2/(n+1) = 2/(5+1)= 0,33, запишем это значение в ячейку D$19.

    ЕМА5 = (С12345)/n, в ячейку С33 введем формулу: ==СУММ(B29:B33)/5.

    ЕМА66*K+EMA5*(1-K), в ячейку С34 введем формулу: =B34*D$19+C33*(1-D$19), аналогично заполним ячейки С35:С38 формулами.

     

    092713 1525 3133 Математика 31

    092713 1525 3134 Математика 31

    Момент (МОМ): МОМt = Ct — Ct-n

    092713 1525 3135 Математика 31

    Положительное значение МОМ свидетельствует о росте цен.

    092713 1525 3136 Математика 31

    Движение графика вверх (7-9 день) в зону положительных значений является относительным сигналом к покупке, а движение графика вниз (9 — 10 день) в зону отрицательных значений является относительным сигналом к продаже.

    Скорость изменения цен (ROC): ROCt = Ct/Ct-n *100%

    092713 1525 3137 Математика 31

    092713 1525 3138 Математика 31

    ROC является отражением скорости изменения цены , а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7-9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7-8 день скорость изменения цен была максимальной.

    Индекс относительной силы (RSI):

    RSI = 100 — 100/(1+AU/AD),

    где AU — сумма приростов конечных цен за n дней;

    AD — сумма убыли конечных цен за n дней.

    092713 1525 3139 Математика 31
    092713 1525 3140 Математика 31

    Рассчитаем сумму повышений:

    092713 1525 3141 Математика 31

    Рассчитаем сумма понижений:

    092713 1525 3142 Математика 31

    Индекс силы рассчитаем в ячейках J34:J38. В ячейку J34 введем формулу =100-100/(1+H34/I34), в остальных проделаем те же операции.

    092713 1525 3143 Математика 31

    092713 1525 3144 Математика 31

    Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности — выше 75-80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6-10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

    <

    Стохастические линии

    Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена ,а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

    Значение индекса текущего дня:

    t =100(Ct — L5)/(H5-L5)

    %R = (Ct-L5)/ (H5-L5)*100%

    092713 1525 3145 Математика 31%

    L5, H5 — соответственно минимальная и максимальная цены за предшествующие 5 дней;

    Ct – цена закрытия текущего дня.

    092713 1525 3146 Математика 31
    092713 1525 3147 Математика 31

     

    092713 1525 3148 Математика 31

    Критические значения %К практически во все дни анализа (зона перекупленности) свидетелствует о том, что можно ожидать скорого разворота тренда, т.е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы если цена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен , в противном случае,падение.092713 1525 3149 Математика 31

     

     

    Задание 3

     

    Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет — время в годах, i — ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

     

    092713 1525 3150 Математика 31

     

    3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды — Тн, возврата — Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

    Найти:

    1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

    2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

    3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

    3.2 Через Тдн
    дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

    3.3 Через Tдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

    3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

    3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка — i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

    3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

    Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i % годовых.

    Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

    Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

    3.10.    В течение Тлет
    лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

                     

     

    ЗАДАНИЕ 3

    Сумма, S = 4 500 000 руб.

    Дата начальная, Тн

    09.01.2002

    Дата конечная, Тк

    21.03.2002

    Время в днях, Тдн =90

    Время в годах, Тлет =5

    Ставка, i =50 %

    Число начислений, m =4

    Решение: 

             
             
             
             
             
             
             
             
             

    Используя формулы: I = P*n*i и n = t/K получим: I = S*i*t/K,

    где I — сумма процентов, S — наращенная сумма,

    i — ставка простых процентов, t — срок ссуды в днях, K — число дней в году

    (временная база). 

         

    К =365 — количество дней в году, точное количество дней за данный срок: t =71

    I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/365= 437 671,23 руб.

               
               

    Берем год условно состоящий из 12 месяцев по 30 дней, т.е. К =360 и точное количество дней за данный срок: t = 71

    I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/360 =43 750,00 руб. 

               
               

    К =360, так как берется приближенное число дней ссуды (30 дней в месяце), то t = 72

    I = S*i*t/K =4500000*0,5*73/360= 450 000,00 руб.

               
               

    Т.о., с точки зрения кредитора выгоднее вести расчеты точными процентами с

    точным числом дней ссуды, так как начисляются наименьшие проценты.

       

    С точки же зрения банка предпочтителен расчет обыкновенными

    процентами с приближенным числом дней ссуды. 

       

    Произведем расчет по следующим формулам: P= S / (1+ n*i),

    где P — первоначальная сумма,

    S – наращенная сумма,

    i — ставка простых процентов,

    n — продолжительность периода начисления.

         

    D = S — P, где D — дисконт

    Первоначальная сумма:

    P= S / (1+ n*i) =4500000/(1+0,5*90/360)= 4 000 000,00

    Дисконт:

    D = S — P = 500 000,00

    Т.е. первоначальная сумма должника

    90

    дней назад составляла

    а величина дисконта за этот период составила 500 000,00

    руб.

             

    руб. 

           

    руб. 

           

    4 000 000,00  

    рублей,  

     
             

    Дисконт расчитывается по формуле:

    D = S*n*d, где где n — cсрок ссуды, n= Tдн/K, Тдн — число дней в году

    D = S*n*d =4500000*0,5*90/360=

    562 500,00 руб.

    где n — cрок ссуды, n= Tдн/K, К — число дней в году 

    Полученная сумма составит: P = S — D = 3 937 500,00 руб.

    Т.о., предприятие получит 3 937 500,00 рублей, и величина дисконта,

    с которым банк приобрел вексель составил 562 500,00 р.

    Воспользуемся формулой S =P (1 + i)n , где S — наращенная сумма,

    (1 + i)n— множитель наращения , i- годовая ставка сложных процентов,

    n — срок ссуды 

         
         
         
         

    S =4500000*(1+0,5)5= 34 171 875,00

    руб.

    где n = Тлет

    лет на кредит в размере 4 500 000,00 рублей буде наращена сумма 

             

    34 171 875  

    рублей. 

     

    Используем формулу: S =P * (1 + j / m)N, где j / m — стака, по которой каждый раз начисляются проценты, j — номинальная ставка, N — число периодов начислений

         

    S =4500000*(1+0,5/4)20= 47 452 922,29 руб.

    где N = 5*4=20 

           

    лет наращенная сумма при таком начислении составит 47 452 922,29 руб.

    Воспользуемся формулой расчета эффективной ставки процента:

    iэф =(1 + j/m)m — 1 , где m — количество раз начислений процентов в году 

         
         

    iэф =(1 + 0,5/4)4 -1=0,602

    или 60,2%

    Если банк начисляет проценты 4 раз в году, исходя из номинальной ставки

    50% эффективная ставка процента составит 60,2%

    Определим номинальную ставку по формуле: j = m*((1 + iэф)1/m — 1) ,

    где все составляющие формулы описаны выше.

    j = 4*((1+0,5)1/4 — 1)= 0,427

    или

    42,7% 

       

    годовых 

     
       
       
       

    Если проценты начисляются раза в год номинальная ставка должна быть равна

    42,7%

    чтобы обеспечить эффективную ставку в размере 50 % годовых.

    Современная стоимость определяется по формуле: P= S/(1+i)n

    P= S/(1+i)n = 4500000/(1+0,5)5= 592 592,59 руб.

    где n = Тлет

    Современная стоимость предприятия при данных условиях составит

    592 592,59

    рублей,

    что меньше суммы, которая будет выплачена в будущем.

    Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

    P= S*(1-dсл)n ,

    где dсл — сложная годовая учетная ставка 

     
     
     
     
     
     
     

    P= 4500000*(1-0,5)5= 140 625,00 руб.

    Дисконт составит D = S — P =4 359 375,00 руб.

    Дискон по учтенному банком векселю составит 4 359 375,00 руб.

     

    Наращенная сумма рассчитывается по формуле

    S = R*((1 +j/m)mn — 1)/((1 +j/m)m — 1)

    S =4500000*((1+0,50/4)20-1)/((1+0,50/4)4 -1)=1 373 294,00 руб.

    где n = Тлет

    где n = Тлет, R =4500000 руб

    Сумма на расчетном счете к концу указанного срока составит

    71 373 294 руб. 

    dсл = 

    50 

    % 

       
             
             

    4 500 000,00  

    руб. 

     
             
             

     

     

     

     

     

     

     

        
     

     

     

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 24.83MB | MySQL:120 | 2,078sec