Математика 4

<

092613 0042 41 Математика 4№4(а)

Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

Решение.

Обозначим через А событие – две пули поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): В1 – третий стрелок поразил мишень; В2 – третий стрелок не попал в мишень.

По условию, Р(В1) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В1), Р(В2) = 1 – 0,4 = 0,6.

Найдем условную вероятность РВ1(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку и, следовательно, вторая – либо первому стрелку (при этом второй не попал), либо второму стрелку (при этом первый не попал). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:

РВ1(А) = p1∙q2 + p2∙q1 = 0,6∙0,5 + 0,5∙0,4 = 0,5.

Найдем условную вероятность РВ2(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем третий стрелок промахнулся. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

РВ2(А) = p1∙p2 = 0,6∙0,5 = 0,3.

Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна:

092613 0042 42 Математика 4

Ответ: 0,53.

 

 

№4(б)

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть:

1)    три партии из четырех или пять из восьми?

2)    не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение

1)Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша


092613 0042 43 Математика 4

Следовательно, вероятность проигрыша 092613 0042 44 Математика 4.

Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

А) Найдем вероятность того, что три партии из четырех будут выиграны:

092613 0042 45 Математика 4

Найдем вероятность того, что пять партий из восьми будут выиграны:

092613 0042 46 Математика 4

Таким образом, вероятнее выиграть три партии из четырех чем пять из восьми

2 ) Найдем вероятность выиграть не менее трех партий из четырех:

092613 0042 47 Математика 4

Найдем вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми:

092613 0042 48 Математика 4

092613 0042 49 Математика 4

092613 0042 410 Математика 4

Таким образом, вероятнее выиграть не менее трех партий из четырех чем не менее пяти партий из восьми.

Ответ:

1) вероятнее выиграть три партии из четырех чем пять из восьми

2) вероятнее выиграть не менее трех партий из четырех чем не менее пяти партий из восьми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№6(а)

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе-0,95, третье- 0,85.Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

Решение

1) работает только одно устройство:

092613 0042 411 Математика 4

092613 0042 412 Математика 4

2) работает два устройство:

092613 0042 413 Математика 4

092613 0042 414 Математика 4

3) работают три устройство:

092613 0042 415 Математика 4

Ответ: 0,02525; 0,24725; 0,72675

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№6 (б)

Вероятность появления события в каждом из 20000 независимых
испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число 092613 0042 416 Математика 4, чтобы с
вероятностью 0,988 абсолютная величина отклонения относительной
частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила 092613 0042 417 Математика 4.

Решение

Решение:

По условию,

092613 0042 418 Математика 4

Следовательно,

092613 0042 419 Математика 4

092613 0042 420 Математика 4

По таблице приложения найдем

092613 0042 421 Математика 4

Отсюда искомое число

092613 0042 422 Математика 4

092613 0042 423 Математика 4

Ответ:

092613 0042 424 Математика 4

 

 

 

 

 

 

 

 

№14

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: х1 и х2, причем х2 > х1. Известны: вероятность р1=0,7 возможного значения х1 математическое ожидание М(Х)=3,3 и дисперсия D(X)=0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение

Сумма вероятностей всех возможных значений х равна 1, поэтому вероятность р2 того, что х примет значение х2 , равна р2 = 1 — р1 = 1 – 0,7 =0,3

Напишем закон распределения:

х 

х1

х2

р 

0,7 

0,3 

Для отыскания х1 и х2 составляем систему из двух уравнений:

092613 0042 425 Математика 4

092613 0042 426 Математика 4

092613 0042 427 Математика 4

092613 0042 428 Математика 4

092613 0042 429 Математика 4

092613 0042 430 Математика 4

092613 0042 431 Математика 4

092613 0042 432 Математика 4

Так как по условию задачи х2 > х1, верными будут значения Х:

092613 0042 433 Математика 4

Закон распределения:

х 

3 

4 

р 

0,7 

0,3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№16

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: х1 и х2, причем х2 > х1. Известны: вероятность р1=0,9 возможного значения х1 математическое ожидание М(Х)=3,2 и дисперсия D(X)=0,36. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение

Сумма вероятностей всех возможных значений х равна 1, поэтому вероятность р2 того, что х примет значение х2 , равна р2 = 1 — р1 = 1 – 0,9 =0,1

Напишем закон распределения:

х 

х1

х2

р 

0,9 

0,1 

Для отыскания х1 и х2 составляем систему из двух уравнений:

092613 0042 434 Математика 4

092613 0042 435 Математика 4

092613 0042 436 Математика 4

092613 0042 437 Математика 4

092613 0042 438 Математика 4

092613 0042 439 Математика 4

092613 0042 440 Математика 4

092613 0042 441 Математика 4

Так как по условию задачи х2 > х1, верными будут значения Х:

092613 0042 442 Математика 4

Закон распределения:

х 

3 

5

р

0,9

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№24

Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность f(x) распределения вероятностей, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины.

092613 0042 443 Математика 4

Решение

1)

092613 0042 444 Математика 4

 

2) Математическое ожидание найдем по формуле:

092613 0042 445 Математика 4

092613 0042 446 Математика 4

092613 0042 447 Математика 4

092613 0042 448 Математика 4

3) Вычисли дисперсию, используя формулу:

092613 0042 449 Математика 4

092613 0042 450 Математика 4

092613 0042 451 Математика 4

092613 0042 452 Математика 4

Вычислим каждый интеграл:

092613 0042 453 Математика 4

092613 0042 454 Математика 4

092613 0042 455 Математика 4

092613 0042 456 Математика 4

092613 0042 457 Математика 4

092613 0042 458 Математика 4

092613 0042 459 Математика 4

092613 0042 460 Математика 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№26

Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность f(x) распределения вероятностей, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины.

092613 0042 461 Математика 4

Решение

1)

092613 0042 462 Математика 4

 

2) Математическое ожидание найдем по формуле:

092613 0042 463 Математика 4

092613 0042 464 Математика 4

3) Вычисли дисперсию, используя формулу:

092613 0042 465 Математика 4

092613 0042 466 Математика 4

092613 0042 467 Математика 4

092613 0042 468 Математика 4

 

 

№34

Дано статистическое распределение выборки. Требуется найти:

  1. Выборочную среднюю
  2. Выборочное среднее квадратическое отклонение
  3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания с заданной надежностью.

    хi

    24 

    30 

    36 

    42 

    <

    48 

    54 

    60 

    ni

    5 

    15 

    40 

    25

    8 

    4 

    3 

     

    Решение

    Составим расширенную таблицу

     

    092613 0042 469 Математика 4

    092613 0042 470 Математика 4

    092613 0042 471 Математика 4

    092613 0042 472 Математика 4

    092613 0042 473 Математика 4

    092613 0042 474 Математика 4

     

    24 

    5 

    29,4 

    -5,4 

    29,16 

    145,8 

     

    30 

    15 

     

    0,6 

    0,36 

    5,4 

     

    36 

    40 

     

    6,6 

    43,56 

    1742,4 

     

    42 

    25 

     

    12,6 

    158,76 

    3969 

     

    48 

    8 

     

    18,6 

    345,96 

    2767,68 

     

    54 

    4 

     

    24,6 

    605,16 

    2420,64 

     

    60 

    3 

     

    30,6 

    936,36 

    2809,08 

    S

    294 

    100

         

    13860 

     

     

    Выборочная средняя:

    092613 0042 475 Математика 4

    092613 0042 476 Математика 4

    Выборочная дисперсия

    092613 0042 477 Математика 4

    Выборочное среднее квадратическое отклонение

    092613 0042 478 Математика 4

    Доверительный интервал для оценки математического ожидания
    с заданной надежностью (

    g = 0,95)

    092613 0042 479 Математика 4

    Найдем t из соотношения:

    092613 0042 480 Математика 4

    Из таблицы значений функции Ф(х) находим 092613 0042 481 Математика 4.

    Тогда искомый доверительный интервал:

    092613 0042 482 Математика 4

    092613 0042 483 Математика 4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    №36

    Дано статистическое распределение выборки. Требуется найти:

    1. Выборочную среднюю
    2. Выборочное среднее квадратическое отклонение
    3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
      с заданной надежностью.

    хi

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    ni

    4

    11

    25

    30

    15

    10

    5

     

    Решение

    Составим расширенную таблицу

     

    092613 0042 484 Математика 4

    092613 0042 485 Математика 4

    092613 0042 486 Математика 4

    092613 0042 487 Математика 4

    092613 0042 488 Математика 4

    092613 0042 489 Математика 4

     

    10 

    4 

    28 

    -18 

    324 

    1296 

     

    20 

    11 

     

    -8 

    64 

    704 

     

    30 

    25 

     

    2 

    4 

    100 

     

    40 

    30 

     

    12 

    144 

    4320 

     

    50 

    15 

     

    22 

    484 

    7260 

     

    60 

    10 

     

    32

    1024 

    10240 

     

    70 

    5 

     

    42 

    1764 

    8820 

    S

    280

    100 

         

    32740

     

    Выборочная средняя:

    092613 0042 490 Математика 4

    092613 0042 491 Математика 4

    Выборочная дисперсия

    092613 0042 492 Математика 4

    Выборочное среднее квадратическое отклонение

    092613 0042 493 Математика 4

    Доверительный интервал для оценки математического ожидания
    с заданной надежностью (

    g = 0,95)

    092613 0042 494 Математика 4

    Найдем t из соотношения:

    092613 0042 495 Математика 4

    Из таблицы значений функции Ф(х) находим 092613 0042 496 Математика 4.

    Тогда искомый доверительный интервал:

    092613 0042 497 Математика 4

    092613 0042 498 Математика 4

     

     

     

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.99MB/0.00308 sec

WordPress: 22.26MB | MySQL:120 | 1,843sec