Математика 47

<

092913 0149 471 Математика 47 Задание 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной Модели на основе исследования:

  1. случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  2. независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1.37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении г1= 0,32;
  3. нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3до 4,21.

    4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

    5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

     

    Квартал

    Вариант

    Квартал

    Вариант 

    1 

    38 

    12 

    41 

    2 

    48 

    13 

    49 

    3 

    57 

    14 

    60 

    4 

    37 

    18 

    72 

    5 

    40 

    16 

    44 

    6 

    52 

       

    7 

    63 

       

    8 

    38 

       

    9 

    44 

       

    10 

    56 

       

    11 

    67 

       

     

    Решение:

    В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

    Требуется:

  4. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
  5. Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом, используя основную формулу:

    Yp(t+k)=[a(t)+k×b(t)]×F(t+k-L)

    где k – период упреждения;

    Yp
    (t
    ) – расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

    F(t+k-L) – коэффициент сезонности, найденный для соответствующего сезона в предыдущем году;

    a(t), b(t), F(t) – коэффициенты сезонности, найденные для соответствующего сезона в предыдущем году.

    L – период сезонности, например для квартальных данных L=4.

    Коэффициенты модели a, b, F зависит от рассматриваемого момента времени t и требует пересчета, уточнения для каждого нового момента по формулам:

    a(t)=α1×Y
    (t
    )/F(t-L)+(1-α1)×[a(t-1)+b(t-1)];

    b(t)=α2×[a(t)-a(t-1)]+(1+α2)×b(t-1);

    F(t)=α3×Y
    (t
    )/a(t)+(1-α3)×F(t-L).

    Формулы выражают адаптивный характер модели с получением новых данных Y(t) они позволяют получить улучшенные, уточненные коэффициенты a(t), b(t) и F(t)

    Чтобы начать расчет (для t-1) предварительно нужно определить a(0), b(0) – коэффициенты трендовой модели для предыдущего сезона.

    F(-3), F(-2), F(-1), F(0) – коэффициенты сезонности для каждого квартала предыдущего года.

    Подготовим расчетную таблицу в которой включим столбцы t1, Y(t), a(t), b(t), F(t), Yp(t).

    t 

    Y(t) 

    a(t) 

    b(t) 

    F(t) 

    Yp(t) 

     

      

      

      

     

      

    Рассмотрим 3 периода времени:

    Предварительный –t – от -3 до 0

    Основной t – от 1 до 16

    Прогнозный t – от 16 до 20

    Выполним предварительный расчет.

    Для определения трендовых коэффициентов построим вспомогательную линейную регрессию по данным за первые 8 кварталов (2 года).

    ВЫВОД ИТОГОВ 

     
       

    Регрессионная статистика 

                 

    Множественный R 

    0,1847873 

                 

    R-квадрат 

    0,0341463 

                 

    Нормированный R-квадрат 

    -0,1268293 

                 

    Стандартная ошибка 

    10,553435 

                 

    Наблюдения 

    8 

                 
                     

    Дисперсионный анализ

                 

      

    df 

    SS 

    MS 

    F 

    Значимость F 

         

    Регрессия 

    1 

    23,625 

    23,625 

    0,2121212 

    0,6613303 

         

    Остаток 

    6 

    668,25 

    111,375 

             

    Итого 

    7 

    691,875 

      

      

      

         
                     

      

    Коэффициенты 

    Стандартная ошибка 

    t-статистика 

    P-Значение 

    Нижние 95% 

    Верхние 95% 

    Нижние 95,0%

    Верхние 95,0% 

    Y-пересечение 

    43,25 

    8,2231707 

    5,2595284 

    0,0019023 

    23,128612 

    63,37138846 

    23,128612 

    63,371388 

    Переменная X 1 

    0,75 

    1,6284304 

    0,4605662 

    0,6613303 

    -3,2346287 

    4,734628669 

    -3,2346287 

    4,7346287 

                     
                     
                     

    ВЫВОД ОСТАТКА 

                 
                     

    Наблюдение 

    Предсказанное Y 

    Остатки 

               

    1 

    44 

    -6 

               

    2 

    44,75 

    3,25 

               

    3 

    45,5 

    11,5 

               

    4 

    46,25 

    -9,25 

               

    5 

    47 

    -7 

               

    6 

    47,75 

    4,25 

               

    7 

    48,5 

    14,5 

               

    8 

    49,25 

    -11,25 

               

     

    Используем данные, найденного значения a(0)=43,59

    b(0)=0,75

    Оценим коэффициент сезонности:

    С помощью построенной регрессии можно рассчитать:

    Y1/Y1 — коэффициент сезонности 1 квартала 1 го года.

    Y5/Y5 — коэффициент сезонности 1 квартала 2 го года.

    В качестве оценки коэффициента сезонности 1го квартала предыдущего года, возьмем среднее арифметическое

    F(-3)=1/2[Y(1)/Yp(1)+ Y(5)/Yp(5)]=0,857

    F(-2)=1/2[Y(2)/Yp(2)+ Y(6)/Yp(6)]=1,081

    F(-1)=1/2[Y(3)/Yp(3)+ Y(7)/Yp(7)]=1,276

    F(0) =1/2[Y(4)/Yp(4)+ Y(8)/Yp(8)]=0,786

    Используем значения параметров сглаживания, заданные в условии: α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

    Рассчитаем Yp(t) по основной формуле, выбираем t=0, k=1, находим Yp(1):

    Yp(1)=[a(0)+1×b(0)]×F(-3)= 37,72

    Уточним коэффициент модели, полагая, что t=1, находим:

    a(1)=0,3×Y(1)/F(-3)+(1-0,3)×[a(0)+b(0)]=44,10

    b(1)=0,6×[a(1)-a(0)]+(1+0,6)×b(0)=0,78

    F(1) =0,3×
    (1)/a(0)+(1-0,3)×F(0)=0,86

    Аналогично определяется остальные коэффициенты и расчетные значения Yp(t) для всех уравнений исходящих данных t-1, 2,…., 16.

     

     

    t 

    Y(t) 

    a(t) 

    b(t) 

    F(t) 

    Yp(t) 

    -3 

      

      

      

    0,857 

      

    -2 

      

      

      

    1,081

      

    -1 

      

      

      

    1,276 

      

    0 

      

    43,25 

    0,75 

    0,786 

      

    1 

    38 

    44,10 

    0,78 

    0,860 

    37,72 

    2 

    48 

    44,74 

    0,74 

    1,076 

    48,50 

    3 

    57 

    45,23 

    0,67 

    1,266 

    58,02 

    4 

    37 

    46,26 

    0,77 

    0,794 

    36,07 

    5 

    40 

    46,87 

    0,73 

    0,856 

    40,44 

    6 

    52 

    47,82 

    0,79 

    1,083 

    51,22 

    7 

    63 

    48,95 

    0,89 

    1,279 

    61,56 

    8 

    38 

    49,24 

    0,71 

    0,781 

    39,59 

    9 

    44 

    50,39 

    0,84 

    0,866 

    42,76 

    10 

    56 

    51,38 

    0,89 

    1,087 

    55,48 

    11 

    67 

    52,30 

    0,90 

    1,280 

    66,83 

    12 

    41 

    53,00 

    0,84 

    0,776 

    41,53 

    13 

    49 

    54,65 

    1,08 

    0,884 

    46,64 

    14 

    60 

    55,57 

    1,03 

    1,083 

    60,59 

    15 

    72 

    56,50 

    1,00 

    1,277 

    72,46 

    16 

    44 

    57,25 

    0,93 

    0,772 

    44,64 

    17 

      

      

      

      

    51,45 

    18 

      

      

      

      

    63,99 

    19 

      

      

      

      

    76,64 

    20 

      

      

      

      

    47,04 

     

  6. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

    Для проверки точности рассчитаем относительные погрешности каждого уровня:

    Εотн=|Ε(t)/Y(t)|×100%

    По полученным результатам определим среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ.

    092913 0149 472 Математика 47=1,77(%).

    092913 0149 473 Математика 47=1,77 % находится в интервале (0; 5) значит точность модели высокая.

     


  7. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основании критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Ε(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной.

    Выделим поворотные точки и соединим их.

    092913 0149 474 Математика 47

    P=10

    Определим по формуле p критические:

    Pкр=|2(n-2)/3-1,96√(16n-29)/90|

    При n=16, получим

    P=10> Pкр=6=>если количество поворотных точек P больше Pкр , то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

    1.3.2. Для проверки независимости остатков по d-критерию подготовим:

    d=∑|E(t)-E(t-1)|2/∑E(t)2=43,99/16,32=2,70

    Полученное значение больше 2, значит место имеет отрицательная автокорреляция. В этом случае величину d уточняют, вычитая из 4.

    d’=4-2,7=1,3.

    Из таблицы выпишем критические уровни: d1=1,10; d2=1,37

    d’=1,3 входит в интервал (d1; d2) => требуется дополнительная проверка.

    Для расчета r(1) подготовим:

    ∑|E(t)-E(t-1)= -5,92

    И вычислим r(1)= ∑[E(t)×E(t-1)]/∑E(t)2=-5,92/16,32=-0,36

    Критическое значение по таблице rкр=0,32

    |r(1)|=0.36> rкр=0.32 => свойство независимых остатков не выполняется.

  8. Для проверки нормального распределения остатков RS подготовим:

    Emin=-1,59

    Emax=2,36

    Средний квадрат отклонений: S(E)= 1,04

    R/S= (Emax— Emin)/S(E)= 3,82

    Значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

    Так как R/S=3,82 входит в критический интервал (3,00; 4,21), то свойство нормального распределения остатков выполняется.

  9. Построим точный прогноз на четыре квартала (т.е. на 1 год) вперед.

    Для прогнозирования используем построенную модель. Воспользуемся для этого основной формулой, в которой t=n – фиксировано, k-1, 2, 3, 4 – изменяется, получим:

    Yp(17)=|t=16, k=1|=[a(16)+1×b(16)]×F(13)= 51,45

    Yp(18)=|t=16, k=2|=[a(16)+2×b(16)]×F(14)= 63,99

    Yp(19)=|t=16, k=3|=[a(16)+3×b(16)]×F(15)= 76,64

    Yp(20)=|t=16, k=4|=[a(16)+4×b(16)]×F(16)= 47,04

    На рисунке показано сопоставление фактических и расчетных данных. Так же показаны прогнозные данные о кредите на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

    092913 0149 475 Математика 47

     

    Вывод: По точности модель удовлетворительная, но не является адекватной (не выполняется свойство независимости остатков). Прогноз по этой модели проводить не целесообразно.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задание 2

     

    Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

  10. экспоненциальную скользящую среднюю;
  11. момент;
  12. скорость изменения цен;
  13. индекс относительной силы;
  14. %К, %К и %D.

    Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

     

    Вариант 7

    Дни 

    Цены 

    макс. 

    мин. 

    закр. 

    1 

    663 

    605 

    610 

    2 

    614 

    577 

    614 

    3 

    639

    580 

    625 

    4 

    625 

    572 

    574 

    5 

    600 

    553 

    563 

    <

    6 

    595 

    563 

    590 

    7 

    608 

    590 

    598 

    8 

    610 

    573 

    580 

    9 

    595 

    575 

    595 

    10 

    600 

    580 

    580 

     

     

  15. Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю, используя формулу:

    EMAt=k×Ct+(1-k)× EMAt-1

    При интервале сглаживания n=5, расчет начинаем с 5 строки. Подготовим EMA5=EM5= 352,40

    По формуле: EM(t)=Ct+Ct-1+Ct-2/n

    где Ct – цена закрытия t-го дня;

    MAt— значение скользящего среднего текущего дня t.

    Применим формулу EMAt, в которой k=2/n+1=2/5+1=2/6

    EMA6=1/3× 590+2/3× 352,40

    Аналогично рассчитываются EMA7, EMA8, EMA9, EMA10.

     

    t 

    EMA(t) 

    1 

      

    2 

      

    3 

      

    4 

      

    5 

    352,40 

    6 

    431,60 

    7 

    487,07 

    8 

    518,04 

    9 

    543,70 

    10 

    555,80 

    График исходных данных C(t) и экспоненциальной скользящей средней ЕМА(t)

    092913 0149 476 Математика 47

     

    С 5 до 10 дня ЕМА ниже, чем Ct => рекомендуются покупки. Графики не пересекаются, значит сигналов разворота нет.

     

  16. Рассчитаем момент, по формуле:

    MOMt=Ct-Ct-n

    где Ct
    – цена закрытия t-го дня;

    Расчет выполняется для t ≥ n+1

    MOMt=C6-C6-5=590-610=-20

    t 

    C(t) 

    MOM(t) 

    1 

    610 

      

    2 

    614 

      

    3 

    625

      

    4 

    574 

      

    5 

    563 

      

    6 

    590 

    -20 

    7 

    598 

    -16 

    8 

    580 

    -45 

    9 

    595 

    21 

    10 

    580 

    17 

    Покажем линию момента на графике:

    092913 0149 477 Математика 47

    Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке. С 9-го по 10-й день восходящий тренд – надо покупать.

    2.3. Рассчитаем скорость изменения цен по формуле:

    ROCt=Ct/Ct-n×100%

    где Ct – цена закрытия t-го дня;

    ROCt – значение ROC текущего дня.

    ROC666-5×100%= 590/610×100%=96,72.

     

    t 

    C(t) 

    ROC(t) 

    1 

    610 

      

    2 

    614 

      

    3 

    625 

      

    4 

    574 

      

    5 

    563 

      

    6 

    590 

    96,72 

    7 

    598 

    97,39 

    8 

    580 

    92,80 

    9 

    595 

    103,66 

    10 

    580 

    103,02 

     

    Покажем линию скорости изменения цен на графике:

    092913 0149 478 Математика 47092913 0149 479 Математика 47

    С 9-го по 10-й день наблюдается пересечение 100% уровня, значит тренд восходящий – рекомендуются покупки.

    2.4. Рассчитаем индекс относительной силы по формуле:

    RSI=100-100/(1+AU/AD)

    Где AU – сумма конечных цен за n последних дней;

    AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

    Рассчитаем изменение цен:

    ∆Сt=Ct-Ct-1 (начиная со второго дня)

    ∆Сt=C2-C1=614-610=4

     

    t 

    C(t) 

    изменен. 

    1 

    610 

      

    2 

    614 

    4 

    3 

    625 

    11 

    4 

    574 

    -51 

    5 

    563 

    -11 

    6 

    590 

    27 

    7 

    598 

    8 

    8 

    580 

    -18 

    9 

    595 

    15 

    10 

    580 

    -15 

    Вычислим приросты (положительные изменения) и убытки (отрицательные изменения):

    t 

    C(t) 

    повышен. 

    понижен. 

    1 

    610 

      

      

    2 

    614 

    4 

    0 

    3 

    625 

    11

    0 

    4 

    574 

    0 

    51 

    5 

    563 

    0 

    11 

    6 

    590 

    27 

    0 

    7 

    598 

    8 

    0 

    8 

    580 

    0 

    18 

    9 

    595 

    15 

    0 

    10 

    580 

    0 

    15 

    Рассчитаем суммы приростов и убытков по n слагаемых, начиная с n+1-го уровня.

    t 

    C(t) 

    AU(t,5) 

    AD(t,5) 

    1 

    610 

       

    2 

    614 

       

    3 

    625 

       

    4 

    574 

       

    5 

    563 

       

    6 

    590 

    42 

    62 

    7 

    598 

    46

    62 

    8 

    580 

    35 

    80 

    9 

    595 

    50 

    29 

    10 

    580 

    50 

    33 

    По формуле рассчитаем RSI:

    t 

    AU(t,5) 

    AD(t,5) 

    RSI(t) 

    1 

       

      

    2 

       

      

    3 

       

      

    4 

       

      

    5 

       

      

    6 

    42 

    62 

    40,38462 

    7 

    46 

    62 

    42,59259 

    8 

    35 

    80 

    30,43478 

    9 

    50 

    29 

    63,29114 

    10 

    50 

    33 

    60,24096 

    Покажем линию относительной силы цен на графике:

    092913 0149 4710 Математика 47

    RSI находится в центральной зоне, финансовые операции можно выполнять, нет риска в этих операциях по сигналам других индексов.

  17. Рассчитаем %R, %K и %D по формулам:

    %K=(Ct-Lt,n)/(Ht,n-Lt,n)×100%

    %Rt=(Ht,n-Ct)/(Ht,n-Lt,n)×100%

    %D=∑(Ct-Lt,n)/∑(Ht,n-Lt,n)×100%

    где %K – значение закрытия текущего дня t;

    %Rt – значение индекса текущего дня t

    Ct – цена закрытия текущего дня t;

    Lt и H5 – минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, до дня t.

    Рассчитываем %R и %K:

    t 

    %K 

    %R 

    1 

      

      

    2 

      

      

    3 

      

      

    4 

      

      

    5 

    9,09 

    90,91 

    6 

    43,02326 

    56,97674 

    7 

    52,33 

    47,67 

    8 

    37,5 

    62,5 

    9 

    73,68 

    26,32 

    10 

    36,17 

    63,83 

    Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той разницей, что при его построении величины (Ct-Lt,n) и (Ht,n-Lt,n) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

    Выберем min и max цены за 5 дней, начиная с 5-го дня.

    Подготовим разности (C-L); (H-L); (H-C)

    t 

    H(t,5) 

    L(t,5) 

    C(t)-L(t,5) 

    H(t,5)-C(t) 

    H(t,5)-L(t,5) 

    1 

      

      

      

      

      

    2 

      

      

      

      

      

    3 

      

      

      

      

      

    4 

      

      

      

      

      

    5 

    663 

    553 

    10 

    100 

    110 

    6 

    639 

    553 

    37 

    49 

    86

    7 

    639 

    553 

    45 

    41 

    86 

    8 

    625 

    553 

    27 

    45 

    72 

    9 

    610 

    553 

    42 

    15 

    57 

    10 

    610 

    563 

    17 

    30 

    47 

     

    Подготовим 3-х дневные суммы для D%, начиная с 7-го уровня, заполним столбцы сумм sum(C-L) и sum(H-L). Получим:

    t 

    sum(C-L) 

    sum(H-L) 

    %D 

    1 

       

      

    2 

       

      

    3 

       

      

    4 

       

      

    5 

       

      

    6

       

      

    7 

    92,00 

    282 

    32,62 

    8 

    109,00 

    244 

    44,67 

    9 

    114,00 

    215 

    53,02 

    10 

    86,00 

    176 

    48,86 

     

    Покажем стохастические линии на графике:

    092913 0149 4711 Математика 47

    %К: 5– нижняя критическая зона перекупленности, остановить операции.

    С 6 по 10 дни – нейтральная зона.

    %R: 5 день – верхняя критическая зона перепроданности, остановить операции.

    С 6 по 10 дни – нейтральная зона.

    %D: С 5 по 10 дни — нейтральная зона.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задание 3

     

    Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет — время в годах, i — ставку в процентах и т.д.

    По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

     

     

     

     

    Вариант 

    Сумма 

    Дата начальная 

    Дата конечная 

    Время в днях 

    Время в годах 

    Ставка 

    Число начислений 

     

    S 

    Тн

    Тк

    Тдн

    Тлет

    i 

    m

    7 

    3500000 

    11.01.2002 

    19.03.2002 

    90 

    5 

    40 

    4 

     

    3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды — Тн, возврата — Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 1% годовых.

    Найти:

    3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

    3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

    3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

    3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

    3.3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

    3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тдн лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

    3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка — i% годовых. Проценты начисляются m раз в году.

    Вычислить наращенную сумму.

    3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты от раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

    3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

    3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

    3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

    3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

     

    Решение

     

    3.1. Банк выдал ссуду, размером 3500000 руб. Дата выдачи ссуды — 11.01.2002, возврата — 19.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 40
    % годовых.

    Найти:

    3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

    Решение:

    Денежная сумма разовая P=3500000 руб.

    Точное число дней ссуды — t=67

    Операция – наращение S — ?

    Простые проценты рассчитываются по формулам:

    I=P×n×i

    где n=t/k.

    k=365; t=67.

    092913 0149 4712 Математика 47

    I=3500000× (67/365)×0,4=256986,30 (руб.)

    3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

    I=P×n×i

    где n=t/k.

    k=360; t=67.

    I =3500000× (67/360)×0,4=260555,56 (руб.)

     

    3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

    I=P×n×i

    где n=t/k.

    k=360; t=67.

    I =3500000× (67/360)×0,4=260555,56 (руб.)

    3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 3500000 руб. Кредит выдан под 40% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

    Решение:

    Денежная сумма    разовая    S=3500000

    Операция    дисконтирование        P-?

    Проценты    простые    

    i=40%, используем математическое дисконтирование:

    S=P(1+n∙i)=>092913 0149 4713 Математика 47 , где n=t/k.

    АСТ/360:

    092913 0149 4714 Математика 47

    092913 0149 4715 Математика 47= 3181818,18 руб.

    D=S-P=3500000-3181818=318181,8 (руб)

    3.3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 3500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 40% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

    Решение:

    S=3500000 руб.

    t=90 дней

    процент простой i=40%

    Используем формулы:

    D=Snd=3500000×90/360×0,4= 350000

    P=S-D=3500000-350000= 3150000

    3.4. В кредитном договоре на сумму 3500000руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 40% годовых. Определить наращенную сумму.

    Решение:

    Денежная сумма разовая Р=3500000

    Операция наращение сложных процентов S-?

    Используем функцию БС:

    092913 0149 4716 Математика 47

    БС= 18 823 840 руб.

    3.5. Ссуда размером 3500000руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка — 40% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

    Решение:

    Денежная сумма    разовая    P=3500000

    Операция    наращение        S-?

    Проценты    сложные    i=40%

    Число периодов m=4

    Число кварталов (5×4)=20

    Используем функцию БС:

    092913 0149 4717 Математика 47

    БС= 23 546 249,82р.

    3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 40% годовых.

    Решение:

    Используем функцию ЭФФЕКТ:

    092913 0149 4718 Математика 47

    iэ= 0,4641р.

    3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год, чтобы обеспечить аффективную ставку 40% годовых.

    Решение:

    Используем функцию НОМИНАЛ:

    092913 0149 4719 Математика 47

    Iн= 0,3510р.

    3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3500000руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 40% годовых.

    Решение:

    Денежная сумма    разовая    S=3 500 000

    Операция    дисконтирование        P-?

    Проценты    сложные    i=40%

    Для расчета используем функцию ПС:

    092913 0149 4720 Математика 47

    ПС= 650 770,51руб.

     

    3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 3500000руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 40% годовых. Определить дисконт.

    Решение:

    Денежная сумма    разовая    S=3 500 000

    Операция    дисконтирование        P-?

    Проценты    сложные    d=40%

    092913 0149 4721 Математика 47

    БС= 272 160,00руб.

    D=S-P

    D =3500000-272 160=3 227 840,00руб.

    3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3500000руб., на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 40%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

    Денежная сумма    разовая    P=3500000 (год)

    Операция    наращение        S-?

    Проценты    сложные    i=40% (квартал)

    m=4≠p=1, перейдем к эффективной процентной ставке:

    092913 0149 4722 Математика 47

    Определения суммы на расчетном счете к концу указанного срока:

    092913 0149 4723 Математика 47

    БС= 43 193 815,61руб.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Список литературы

     

     

     

     

  18. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. –М.: ЮРИТИ, 1995.
  19. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по экономико-математическому моделированию. –М.: Экономическое образование, 1993.
  20. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. –М.: ЮНИТИ, 1999.
  21. Четыркин Е.М. Финансовая математика. –М.: Дело, 2000.

     

     

     

     

     

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.18MB/0.00194 sec

WordPress: 24.28MB | MySQL:122 | 4,430sec