Математика 8

<

092613 0126 81 Математика 81. Найти пределы:

а)

092613 0126 82 Математика 8

 

б) Применить правило Лопиталя:

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида 092613 0126 83 Математика 8. При этом предел отношения функций заменяется пределом отношения их производных:

092613 0126 84 Математика 8

092613 0126 85 Математика 8

 

в) Принцип замены эквивалентными:

092613 0126 86 Математика 8— неопределенность

Для раскрытия неопределенностей, содержащих тригонометрические функции, используем первый замечательный предел 092613 0126 87 Математика 8

Воспользуемся тождеством: 092613 0126 88 Математика 8

Произведем замену

092613 0126 89 Математика 8

Получаем:

092613 0126 810 Математика 8

 

г) Умножить на сопряженное выражение:

092613 0126 811 Математика 8

Умножим числитель и знаменатель на 092613 0126 812 Математика 8, получим:

092613 0126 813 Математика 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти производные


092613 0126 814 Математика 8
092613 0126 815 Математика 8

092613 0126 816 Математика 8

Применим формулу: производная частного 092613 0126 817 Математика 8

Получаем:            

092613 0126 818 Математика 8

 

 

092613 0126 819 Математика 8

 

Пусть 092613 0126 820 Математика 8

Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций:

092613 0126 821 Математика 8

Поскольку 092613 0126 822 Математика 8, получаем:

092613 0126 823 Математика 8

Применимы формулы: 092613 0126 824 Математика 8

 

Получаем:

092613 0126 825 Математика 8

 

 

 

 

3. Исследовать функцию на ↑ и ↓, max и min, построить график:


092613 0126 826 Математика 8

 

Находим критические точки, возрастание, убывание:


092613 0126 827 Математика 8

092613 0126 828 Математика 8

Приравниваем 092613 0126 829 Математика 8, решаем уравнение, находим критические точки.

092613 0126 830 Математика 8

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант

092613 0126 831 Математика 8

092613 0126 832 Математика 8

092613 0126 833 Математика 8

092613 0126 834 Математика 8

 

x 

092613 0126 835 Математика 8

1 

1; 2 

2 

092613 0126 836 Математика 8

092613 0126 837 Математика 8

+ 

0 

0

+

092613 0126 838 Математика 8

092613 0126 839 Математика 8

max 

092613 0126 840 Математика 8

min

092613 0126 841 Математика 8

Подставим значения 092613 0126 842 Математика 8 в функцию 092613 0126 843 Математика 8, найдем координаты минимума и максимума.

092613 0126 844 Математика 8

092613 0126 845 Математика 8

Функция возрастает на промежутке 092613 0126 846 Математика 8 и 092613 0126 847 Математика 8, функция убывает на промежутке092613 0126 848 Математика 8

<

Экстремум в точке 092613 0126 849 Математика 8 достигает максимума, экстремум в точке 092613 0126 850 Математика 8 достигает минимума.

092613 0126 851 Математика 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти: 092613 0126 852 Математика 8

Сделаем замену 092613 0126 853 Математика 8, отсюда 092613 0126 854 Математика 8,
092613 0126 855 Математика 8

Получаем:

Применима формула: 092613 0126 856 Математика 8

092613 0126 857 Математика 8

Возвратившись к старой переменной, имеем

092613 0126 858 Математика 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Дано: 092613 0126 859 Математика 8; 092613 0126 860 Математика 8

Найти: 092613 0126 861 Математика 8

Пусть на [a,b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x), такие что f2(x)092613 0126 862 Математика 8 f1(x)

Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на [a,b] находится по формуле:

092613 0126 863 Математика 8

Найдем пределы интегрирования

092613 0126 864 Математика 8

092613 0126 865 Математика 8

 

Находим площадь фигуры:

092613 0126 866 Математика 8

092613 0126 867 Математика 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Дано: 092613 0126 868 Математика 8; 092613 0126 869 Математика 8; 092613 0126 870 Математика 8; 092613 0126 871 Математика 8

Найти: 092613 0126 872 Математика 8

 

Пусть на [a,b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x), такие что f2(x)092613 0126 873 Математика 8 f1(x)

Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на [a,b] находится по формуле:

092613 0126 874 Математика 8

Находим площадь фигуры:

092613 0126 875 Математика 8

 

092613 0126 876 Математика 8

 

 

7. В ящике 13 красных, 11 синих, 8 фиолетовых шаров. Какова вероятность того, что вытянутый шар будет красным, синим, фиолетовым?

 

M1=13– возможный вариант извлечения красного шара

M2=11 – возможный вариант извлечения синего шара

M3=8– возможный вариант извлечения фиолетового шара

 

N=32 — количество шаров в ящике

Вероятность, того, что вытянутый шар будет красным

092613 0126 877 Математика 8

Вероятность, того, что вытянутый шар будет синим

092613 0126 878 Математика 8

Вероятность, того, что вытянутый шар будет фиолетовым

092613 0126 879 Математика 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Решить систему уравнений:

092613 0126 880 Математика 8

 

Решение системы методом Крамера:

Найдем определитель092613 0126 881 Математика 8 и значения 092613 0126 882 Математика 8,092613 0126 883 Математика 8,092613 0126 884 Математика 8

092613 0126 885 Математика 8092613 0126 886 Математика 8

 

    Решение системы с помощью обратной матрицы (матричным методом);

    1. Матрица квадратная (число строк равно числу столбцов), следовательно обратная к ней матрица существует.

    2. Находим определитель исходной матрицы:

092613 0126 887 Математика 8

092613 0126 888 Математика 8

    3. Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

092613 0126 889 Математика 8

В итоге находим решение:

092613 0126 890 Математика 8

 

 

 

9. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого А (5; 2; 0), B (3; 0; 0),

C (8; 4; 0).

Известно, что 092613 0126 891 Математика 8

Находим стороны AB и АС, по формуле:

092613 0126 892 Математика 8

Получаем:

092613 0126 893 Математика 8

Векторное произведение вектора 092613 0126 894 Математика 8на вектор 092613 0126 895 Математика 8определяется формулой

092613 0126 896 Математика 8,092613 0126 897 Математика 8

092613 0126 898 Математика 8

Получаем:

092613 0126 899 Математика 8Найдем модуль 092613 0126 8100 Математика 8

092613 0126 8101 Математика 8

Получаем:

092613 0126 8102 Математика 8

Окончательно имеем:

092613 0126 8103 Математика 8

 

 

 

 

 

Список литературы

 

  1. Глухов М.М. Алгебра и начертательная геометрия. –М.: Гелиос, 2008.
  2. Епихин В.Е. Алгебра и теория пределов. Элективный курс. –М.: Бином, 2006.
  3. Игнатович И.К. Алгебра и начала анализа. –М.: ТетраСистемс, 2008.

     

     

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 21.94MB | MySQL:122 | 1,435sec