Показательная и логарифмическая функции

<

092713 1440 1 Показательная и логарифмическая функции

1.1. График, свойства

 

Функция вида y = ax, где а постоянное, отличное от единицы, положительное число, называется показательной. Областью ее определения является все множество действительных чисел, так как выражение ax при a > 0 имеет смысл при всех действительных значениях x.

Показательная функция (экспонента) – это функция вида 092713 1440 2 Показательная и логарифмическая функции(092713 1440 3 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 4 Показательная и логарифмическая функции). Для неё 092713 1440 5 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 6 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 7 Показательная и логарифмическая функции, и при 092713 1440 8 Показательная и логарифмическая функцииграфик имеет такой вид:

092713 1440 9 Показательная и логарифмическая функции

Рис. График показательной функции при 092713 1440 10 Показательная и логарифмическая функции

 

При 092713 1440 11 Показательная и логарифмическая функциивид графика такой:

092713 1440 12 Показательная и логарифмическая функции

Рис.График показательной функции при 092713 1440 13 Показательная и логарифмическая функции

Число 092713 1440 14 Показательная и логарифмическая функцииназывается основанием показательной функции.

Установим свойства показательной функции.

Свойство 1. Функция y = ax принимает только положительные значения.

Для доказательства справедливости этого утверждения рассмотрим четыре случая:

  1. x— натуральное число или нуль. Если х = 1, то ах = а1 = а > 0; если x = n, где 092713 1440 15 Показательная и логарифмическая функции, то

    092713 1440 16 Показательная и логарифмическая функции

    при х = 0

    ах = а0 = 1 > 0

  2. если x =m/n, где m и n натуральные числа, то ax = am/n > 0 по определению степени с положительным рациональным показателем;
  3. x— иррациональное положительное число. По определению степени с иррациональным положительным показателем,

    092713 1440 17 Показательная и логарифмическая функциипри а > 1

    092713 1440 18 Показательная и логарифмическая функциипри 0 < a < 1,

    где 092713 1440 19 Показательная и логарифмическая функциии 092713 1440 20 Показательная и логарифмическая функции— рациональные положительные числа. На основании п. 2. 092713 1440 21 Показательная и логарифмическая функциии 092713 1440 22 Показательная и логарифмическая функции. Так как ах заключено между двумя положительными числами, то оно также число положительное;

  4. х— действительное отрицательное число. Пусть x = -t, где t > 0. Тогда имеем ax=a-t=1/at > 0. Так как at > 0 на основании п. 1-3.

    Итак, ax > 0 при любом действительном значении х. Это свойство имеет место как при a > 1, так и при 0 < a < 1.

    Свойство 2. При a > 1 имеем ax > 1, если x > 0, и ax < 1, если x < 0 , при a < 1 имеем ax < 1, если x > 0, и ax > 1, если x < 0.

    Докажем это свойство для a > 1. Рассмотрим следующие случаи:

  5. если x = n (n-натуральное число), то

    092713 1440 23 Показательная и логарифмическая функции

  6. если x = m/n (m и n – натуральные числа), то

    092713 1440 24 Показательная и логарифмическая функции

    По доказанному выше, am > 1; тогда 092713 1440 25 Показательная и логарифмическая функции, т. е. 092713 1440 26 Показательная и логарифмическая функции, следовательно ax > 1;

    3) х — иррациональное положительное число. По определению степени с положительным иррациональным показателем при a > 1 имеем

    092713 1440 27 Показательная и логарифмическая функции

    На основании п.2. 092713 1440 28 Показательная и логарифмическая функции, поэтому и подавно ax > 1

    Итак, доказано, что для a > 1 при x > 0 значения функции ax > 1;

    4) х — любое действительное отрицательное число. Пусть x = -t, где t > 0; тогда ax = a-t = 1/at < 1, так как, по доказанному выше, at > 1. Аналогично это свойство доказывается для a < 1

    Свойство 3. При a > 1 функция y = ax монотонновозрастает, а при a < 1 – монотонно убывает.

    Докажем это свойство для a > 1. Возьмем два значения аргумента х1 и х2, причем x2 > x1. Докажем, что 092713 1440 29 Показательная и логарифмическая функции. Исследуя разность

    092713 1440 30 Показательная и логарифмическая функции

    Имеем: 092713 1440 31 Показательная и логарифмическая функции(на основании свойства 1); х2х1 > 0, так как x2 > x1, 092713 1440 32 Показательная и логарифмическая функции( на основании свойства 2), следовательно 092713 1440 33 Показательная и логарифмическая функции. Произведение 092713 1440 34 Показательная и логарифмическая функции, т. е. 092713 1440 35 Показательная и логарифмическая функциитаким образом 092713 1440 36 Показательная и логарифмическая функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается это свойство для a < 1.

    092713 1440 37 Показательная и логарифмическая функции

    рис. 1

    Логарифмическая функция – это функция вида 092713 1440 38 Показательная и логарифмическая функции(092713 1440 39 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 40 Показательная и логарифмическая функции). Для неё 092713 1440 41 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 42 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 43 Показательная и логарифмическая функции, и при 092713 1440 44 Показательная и логарифмическая функцииграфик имеет такой вид:

    092713 1440 45 Показательная и логарифмическая функции

    Рис .График логарифмической функции при 092713 1440 46 Показательная и логарифмическая функции

    При 092713 1440 47 Показательная и логарифмическая функцииграфик получается такой:

    092713 1440 48 Показательная и логарифмическая функции

    Рис. График логарифмической функции при 092713 1440 49 Показательная и логарифмическая функции

     

    Число 092713 1440 50 Показательная и логарифмическая функцииназывается основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.

    Рассмотрим показательное уравнение где а—основание степени; N — степень; переменная х —показатель степени.

    Требуется по данной степени и данному основанию степени найти показатель степени, т. е. корень данного уравнения. Решим это уравнение графически. Для этого построим график функции у = ах
    и y = N (рис. 77), а затем найдем абсциссу их общей точки. Очевидно, что при N > 0 это уравнение имеет единственный корень, который обозначается так: logaN, т. е. x = logaN. По определению корня уравнения имеем тождество

    092713 1440 51 Показательная и логарифмическая функции(1)

    которое выражает определение логарифма

    092713 1440 52 Показательная и логарифмическая функции

    рис.

    Определение. Логарифмом данного числа N по данному основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число N.

    К понятию логарифма мы пришли, рассматривая уравнение ax = N, где а > 0, а092713 1440 53 Показательная и логарифмическая функции1 и N>0. Этими неравенствами определяются допустимые значения а и N в (1).

    Равенство (1) называется основным логарифмическим тождеством. Подчеркнем, что по определению логарифма из равенства

    ax = N следует равенство х = loga N; обратно: из равенства х = logaN вытекает равенство ax = N.

    Действие, с помощью которого находится показатель степени по данной степени и данному основанию степени, называется логарифмированием. Таким образом, уравнение ax = N решается логарифмированием.

    Функция вида y = logax где а > 0 и а092713 1440 54 Показательная и логарифмическая функции1, называется логарифмической.

    Равенство у = loga
    х выражает ту же зависимость между х и у, что и равенства ау = х и х = ау. Так как ay>0
    (на основании свойства 1 показательной функции), то из равенства ау = х следует, что х > 0. Таким образом, областью определения логарифмической функции является все множество положительных чисел.

    Связь показательной и логарифмической функций иллюстрирует следующая таблица:

     

    x

    y

    у=ах

    Показатель степени 

    степень 

    092713 1440 55 Показательная и логарифмическая функции

    (x = ay)

    степень 

    показатель степени 

    Показательная функция характеризует изменение степени в зависимости от изменения показателя степени, а логарифмическая функция — изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Поэтому эти функции называют взаимно обратными .

    На основании свойств показательной функции установим свойства логарифмической функции.

    Свойство 1. Функция у = logaх может принимать любые действительные значения: — 092713 1440 56 Показательная и логарифмическая функции<y < + 092713 1440 57 Показательная и логарифмическая функции.

    Действительно, в равенстве х = ау
    показатель у — любое действительное число (на основании свойства показательной функции), значит, рассматриваемое свойство справедливо.

    Свойство2. Логарифм единицы при любом основании равен нулю.

    Действительно, из равенства х = а у
    следует, что при y = 0 х = а°=1, т. е. при х=1 y = 0. Это означает, что функция у = = logax имеет единственный корень х = 1.

    Таким образом, loga 1=0.

    Свойство 3. Логарифм самого основания равен единице.

    В самом деле, logaa=l, так как а1 = а.

    Первые три свойства имеют место как при а > 1, так и при 0 < а < 1. При установлении дальнейших свойств эти два случая будем различать.

    Свойство 4. При а > 1 функция y = logax монотонно возрастает, а при а < 1 — монотонно убывает.

    Возьмем два положительных значения аргумента х2 > x1. Согласно основному логарифмическому

    Тождеству 092713 1440 58 Показательная и логарифмическая функциии 092713 1440 59 Показательная и логарифмическая функции. так как x2 > x1, то 092713 1440 60 Показательная и логарифмическая функции>092713 1440 61 Показательная и логарифмическая функции

    В силу свойства монотонности показательной функции имеем loga x2>log ax1, если a >1, и loga x2 < log ax1 , если a < 1, что и требовалось доказать.

    Свойство 5. При а > 1 значения функции y = logax
    отрицательны, если 0 < х < 1, и положительны, если х > 1; при а < 1 значения функции положительны, если 0 < x < 1, и отрицательны, если х>1.

    Докажем справедливость этого свойства. Корень х=1
    разбивает область определения функции y=logax на два промежутка: 0 < x < 1 и 1 < x +092713 1440 62 Показательная и логарифмическая функции. Определим знаки логарифмической функции в этих промежутках:

    а > 1

    1) из неравенства х < 1 на основании свойства монотонности имеем

    loga
    X < loga 1 или logax < 0;

    2) из неравенства х > 1, cледует, что

    loga
    x > loga 1 или logax > 0

    а > 1

    1) из неравенства х < 1 в соответствии со свойством монотонности имеем

    loga
    х > loga 1 или logax > 0;

    2) из неравенства х <1, cледует, что

    loga
    x < loga 1 или logax < 0

     
     

    1.2. Уравнения: способы решения

     

    Уравнение, содержащее переменную только в показателе степени, называется показательным. Например 2x = 8, 3x+1 + 3x
    = 12 – показательные уравнения. Решение показательных уравнений основано на следующей теореме.

    Теорема. Если две степени положительного числа, отличного от единицы, равны, то равны и их показатели, т.е. если am = an, где a > 0 и 092713 1440 63 Показательная и логарифмическая функции, то m = n

    Доказательство. Допустим, что 092713 1440 64 Показательная и логарифмическая функции. Тогда или m > n или m < n. Если m > n, то на основании свойства 3 показательной функции am > an при a > 1 или am
    < an при a < 1 т.е. am092713 1440 65 Показательная и логарифмическая функцииan, что противоречит условию. Таким образом, сделанное допущенное неверно. Аналогично можно доказать, что допущение m < n также неверно. Остается одна возможность: m = n.

    Простейшие показательное уравнение имеет вид

    ax
    = b

    На основании свойства (1) показательной функции ax > 0, поэтому уравнение ax
    = b имеет корень только при b > 0.

    Уравнение, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

    Решение логарифмических уравнений основано на следующей теореме.

    Теорема. Если loga
    N1 = loga
    N2, то N1 = N2.

    Ее можно доказать методом от противного, опираясь на свойство монотонности логарифмической функции.

     

    1.3. Неравенства: способы решения

     

    Неравенство, содержащее переменную только в показателе степени, называется показательным.

    Решение показательных неравенств основано на следующем утверждении: если 092713 1440 66 Показательная и логарифмическая функции, то х1 > x2 при a > 1 и х1 < x2 при a < 1, которое обратно предложению, выражающему свойство монотонности показательной функции. Его легко доказать методом от противного.

    Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

    Решение логарифмических неравенств основано на следующем свойстве: если logaх1> logax2, то х1> x2 при а> 1 и x1<x2 при а < 1

    Это утверждение является обратным утверждению, выражающему свойство монотонности логарифмической функции. Оно легко доказывается методом от противного.

     

    2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (СИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС, КОСИНУС)

     

    2.1. Определения

     

    092713 1440 67 Показательная и логарифмическая функцииНа координатной плоскости OXY построим окружность единичного радиуса с центром в точке 092713 1440 68 Показательная и логарифмическая функции. Радиус 092713 1440 69 Показательная и логарифмическая функции, где точка 092713 1440 70 Показательная и логарифмическая функции имеет координаты 092713 1440 71 Показательная и логарифмическая функции, будет называться начальным радиусом. Для любого действительного числа 092713 1440 72 Показательная и логарифмическая функции можно провести радиус 092713 1440 73 Показательная и логарифмическая функции этой окружности, образующий с осью ОХ угол, радианная мера которого равна 092713 1440 74 Показательная и логарифмическая функции. Угол 092713 1440 75 Показательная и логарифмическая функции отсчитывается от начального радиуса 092713 1440 76 Показательная и логарифмическая функции (на рисунке угол 092713 1440 77 Показательная и логарифмическая функции — положительный, так как отсчет угла происходит от 092713 1440 78 Показательная и логарифмическая функции против хода стрелки часов).

    Определение.
    Синусом угла 092713 1440 79 Показательная и логарифмическая функции называется число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу 092713 1440 80 Показательная и логарифмическая функции, и обозначается 092713 1440 81 Показательная и логарифмическая функции. Таким образом, по определению 092713 1440 82 Показательная и логарифмическая функции (см. рисунок). Так как каждому углу 092713 1440 83 Показательная и логарифмическая функции соответствует на единичной окружности единственная точка 092713 1440 84 Показательная и логарифмическая функциис ординатой 092713 1440 85 Показательная и логарифмическая функции, то соответствие 092713 1440 86 Показательная и логарифмическая функции является функцией. В дальнейшем будем писать 092713 1440 87 Показательная и логарифмическая функции.

     

    Тангенсом угла
    092713 1440 88 Показательная и логарифмическая функции называется число, равное отношению 092713 1440 89 Показательная и логарифмическая функции к 092713 1440 90 Показательная и логарифмическая функции, причем 092713 1440 91 Показательная и логарифмическая функции.

    Так как каждому углу 092713 1440 92 Показательная и логарифмическая функции можно поставить в соответствие единственное число 092713 1440 93 Показательная и логарифмическая функции, то отображение 092713 1440 94 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 95 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 96 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 97 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 98 Показательная и логарифмическая функции является функцией. Далее будем писать 092713 1440 99 Показательная и логарифмическая функции. Таким образом, по определению

    092713 1440 100 Показательная и логарифмическая функции

    Определение.
    Косинусом угла
    092713 1440 101 Показательная и логарифмическая функции называется число, равное абсциссе конца единичного радиуса, соответствующего углу 092713 1440 102 Показательная и логарифмическая функции, и обозначается 092713 1440 103 Показательная и логарифмическая функции. Таким образом, по определению 092713 1440 104 Показательная и логарифмическая функции.

    Котангенс угла 092713 1440 105 Показательная и логарифмическая функции (обозначается 092713 1440 106 Показательная и логарифмическая функции ) — отношение косинуса угла 092713 1440 107 Показательная и логарифмическая функции его синусу, т. е.

    092713 1440 108 Показательная и логарифмическая функции.

    2.2. Графики и свойства

     

    Рассмотрим свойства функции 092713 1440 109 Показательная и логарифмическая функции.

    1) Областью определения. функции является множество действительных чисел 092713 1440 110 Показательная и логарифмическая функции. Свойство следует из определения функции.

    2) Область значений.
    092713 1440 111 Показательная и логарифмическая функции, так как ордината точки 092713 1440 112 Показательная и логарифмическая функции, являющаяся концом радиуса 092713 1440 113 Показательная и логарифмическая функции, может принимать значения на отрезке 092713 1440 114 Показательная и логарифмическая функции.

    3) Периодичность. Функция является периодической с наименьшим положительным периодом 092713 1440 115 Показательная и логарифмическая функции. Действительно, трем углам 092713 1440 116 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 117 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 118 Показательная и логарифмическая функции на единичной окружности соответствует одна и та же точка 092713 1440 119 Показательная и логарифмическая функции, следовательно, 092713 1440 120 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 121 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 122 Показательная и логарифмическая функции, т.е. 092713 1440 123 Показательная и логарифмическая функции — период функции 092713 1440 124 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 125 Показательная и логарифмическая функцииДокажем, что число 092713 1440 126 Показательная и логарифмическая функции является наименьшим положительным периодом функции. Пусть 092713 1440 127 Показательная и логарифмическая функции — наименьший положительный период, тогда 092713 1440 128 Показательная и логарифмическая функции для любого 092713 1440 129 Показательная и логарифмическая функции. Положив 092713 1440 130 Показательная и логарифмическая функции, получим 092713 1440 131 Показательная и логарифмическая функции. Отсюда 092713 1440 132 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 133 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 134 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 135 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 136 Показательная и логарифмическая функции принимает значения 092713 1440 137 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 138 Показательная и логарифмическая функции, …. Следовательно, период не может быть меньше 092713 1440 139 Показательная и логарифмическая функции. Свойство доказано.

    4) Четность и нечетность. Функция 092713 1440 140 Показательная и логарифмическая функции является нечетной.

    Пусть двум действительным числам 092713 1440 141 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 142 Показательная и логарифмическая функции соответствуют на единичной окружности точки 092713 1440 143 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 144 Показательная и логарифмическая функции. Ординаты точек 092713 1440 145 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 146 Показательная и логарифмическая функции равны по абсолютной величине, но отличаются знаками. Поэтому 092713 1440 147 Показательная и логарифмическая функции. Следовательно, 092713 1440 148 Показательная и логарифмическая функции — функция нечетная.

    092713 1440 149 Показательная и логарифмическая функции5) Знаки функции. Непосредственно из определения функции 092713 1440 150 Показательная и логарифмическая функции следует, что она положительна в I и II четвертях, т.е. при 092713 1440 151 Показательная и логарифмическая функции и отрицательна в III и IV четвертях, т.е. при 092713 1440 152 Показательная и логарифмическая функции. Очевидно, что 092713 1440 153 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 154 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 155 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 156 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 157 Показательная и логарифмическая функции.

    Таким образом, 092713 1440 158 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 159 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 160 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 161 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 162 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 163 Показательная и логарифмическая функции, так как для любого 092713 1440 164 Показательная и логарифмическая функции значение 092713 1440 165 Показательная и логарифмическая функции. Ось ОХ функция 092713 1440 166 Показательная и логарифмическая функции пересекает в точках 092713 1440 167 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 168 Показательная и логарифмическая функции, поскольку 092713 1440 169 Показательная и логарифмическая функции.

    6) Точки экстремума. Наибольшее значение, равное 092713 1440 170 Показательная и логарифмическая функции, достигается в точках 092713 1440 171 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 172 Показательная и логарифмическая функции; наименьшее значение, равное 092713 1440 173 Показательная и логарифмическая функции, достигается в точках 092713 1440 174 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 175 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 176 Показательная и логарифмическая функции7) Промежутки возрастания и убывания. Функция 092713 1440 177 Показательная и логарифмическая функции возрастает при 092713 1440 178 Показательная и логарифмическая функции и убывает при 092713 1440 179 Показательная и логарифмическая функции.

    Докажем первую часть этого утверждения. Пусть 092713 1440 180 Показательная и логарифмическая функции — два произвольных угла в I четверти, причем 092713 1440 181 Показательная и логарифмическая функции. Углам 092713 1440 182 Показательная и логарифмическая функции соответствуют точки 092713 1440 183 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 184 Показательная и логарифмическая функцииединичной окружности с ординатами 092713 1440 185 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 186 Показательная и логарифмическая функции. Очевидно, 092713 1440 187 Показательная и логарифмическая функции, если 092713 1440 188 Показательная и логарифмическая функции, т.е. в первой четверти функция 092713 1440 189 Показательная и логарифмическая функции возрастает. Если 092713 1440 190 Показательная и логарифмическая функции, а 092713 1440 191 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 192 Показательная и логарифмическая функции, а 092713 1440 193 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 194 Показательная и логарифмическая функции.

    С учетом периодичности функции 092713 1440 195 Показательная и логарифмическая функции окончательно получаем, что 092713 1440 196 Показательная и логарифмическая функции

    а) возрастает при 092713 1440 197 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 198 Показательная и логарифмическая функции;

    б) убывает при 092713 1440 199 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 200 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 201 Показательная и логарифмическая функции8) График функции
    092713 1440 202 Показательная и логарифмическая функции приведен на рисунке. Для построения графика 092713 1440 203 Показательная и логарифмическая функции сначала строим часть графика на отрезке 092713 1440 204 Показательная и логарифмическая функции длиной 092713 1440 205 Показательная и логарифмическая функции. При построении графика учитываем, что 092713 1440 206 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 207 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 208 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 209 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 210 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 211 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 212 Показательная и логарифмическая функции, при 092713 1440 213 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 214 Показательная и логарифмическая функции является периодической функцией с периодом 092713 1440 215 Показательная и логарифмическая функции, то ее график на промежутках 092713 1440 216 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 217 Показательная и логарифмическая функции, получается из ее графика, построенного на отрезке 092713 1440 218 Показательная и логарифмическая функции, параллельным переносом вдоль оси ОХ на расстояние 092713 1440 219 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 220 Показательная и логарифмическая функции. График функции 092713 1440 221 Показательная и логарифмическая функции называется синусоидой.

    Функция 092713 1440 222 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 223 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 224 Показательная и логарифмическая функции

    ,
    092713 1440 225 Показательная и логарифмическая функции — заданные действительные числа, описывает так называемые гармонические колебания. Числа 092713 1440 226 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 227 Показательная и логарифмическая функции
    ,
    092713 1440 228 Показательная и логарифмическая функции имеют наглядный физический смысл: 092713 1440 229 Показательная и логарифмическая функцииамплитуда колебания, 092713 1440 230 Показательная и логарифмическая функции — его частота, 092713 1440 231 Показательная и логарифмическая функцииначальная фаза. Если 092713 1440 232 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 233 Показательная и логарифмическая функции, поэтому будем считать, что 092713 1440 234 Показательная и логарифмическая функции.

    Обозначим 092713 1440 235 Показательная и логарифмическая функции, тогда 092713 1440 236 Показательная и логарифмическая функции. Если 092713 1440 237 Показательная и логарифмическая функции пробегает множество значений 092713 1440 238 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 239 Показательная и логарифмическая функции пробегает это же множество значений. Поэтому графиком функции 092713 1440 240 Показательная и логарифмическая функции, а значит и функции 092713 1440 241 Показательная и логарифмическая функции будет синусоида.

    Найдем наименьший положительный период функции 092713 1440 242 Показательная и логарифмическая функции. Пусть 092713 1440 243 Показательная и логарифмическая функции и пусть 092713 1440 244 Показательная и логарифмическая функции — период функции 092713 1440 245 Показательная и логарифмическая функции. Тогда для любого 092713 1440 246 Показательная и логарифмическая функции должно выполняться равенство 092713 1440 247 Показательная и логарифмическая функции.

    Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда

    092713 1440 248 Показательная и логарифмическая функции

    откуда 092713 1440 249 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 250 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 251 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 252 Показательная и логарифмическая функции, то период может принимать значения 092713 1440 253 Показательная и логарифмическая функции. Отсюда следует, что наименьший положительный период равен 092713 1440 254 Показательная и логарифмическая функции.

    График функции 092713 1440 255 Показательная и логарифмическая функции можно построить исходя из графика функции 092713 1440 256 Показательная и логарифмическая функции и используя три типа преобразований графиков – параллельный перенос, растяжение (сжатие) и симметрию. Для этого строим последовательно графики функций

    1. 092713 1440 257 Показательная и логарифмическая функции;

    2. 092713 1440 258 Показательная и логарифмическая функции. Данный график получается из графика 092713 1440 259 Показательная и логарифмическая функции его сжатием вдоль оси ОХ в 092713 1440 260 Показательная и логарифмическая функции раз, если 092713 1440 261 Показательная и логарифмическая функции и растяжением его в 092713 1440 262 Показательная и логарифмическая функции раз, если 092713 1440 263 Показательная и логарифмическая функции.

    3. 092713 1440 264 Показательная и логарифмическая функции. График функции получается параллельным переносом графика функции 092713 1440 265 Показательная и логарифмическая функции на 092713 1440 266 Показательная и логарифмическая функции вдоль оси ОХ.

    4. 092713 1440 267 Показательная и логарифмическая функции.

    Если 092713 1440 268 Показательная и логарифмическая функции, то происходит растяжение графика 092713 1440 269 Показательная и логарифмическая функции в 092713 1440 270 Показательная и логарифмическая функции раз вдоль оси OY; если 092713 1440 271 Показательная и логарифмическая функции, то происходит сжатие графика 092713 1440 272 Показательная и логарифмическая функции в 092713 1440 273 Показательная и логарифмическая функции раз вдоль оси OY.

    Если 092713 1440 274 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 275 Показательная и логарифмическая функции, то происходит растяжение графика 092713 1440 276 Показательная и логарифмическая функции в 092713 1440 277 Показательная и логарифмическая функции раз вдоль оси OY и его отражение относительно оси ОХ; если 092713 1440 278 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 279 Показательная и логарифмическая функции, то происходит сжатие графика 092713 1440 280 Показательная и логарифмическая функции в 092713 1440 281 Показательная и логарифмическая функции раз и его отражения относительно оси ОХ. Построение графика функции 092713 1440 282 Показательная и логарифмическая функции изображено на рисунке.

    092713 1440 283 Показательная и логарифмическая функции

    Рассмотрим свойства функции 092713 1440 284 Показательная и логарифмическая функции.

    Область определения
    092713 1440 285 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 286 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 287 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 288 Показательная и логарифмическая функцииТак как 092713 1440 289 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 290 Показательная и логарифмическая функции определены на 092713 1440 291 Показательная и логарифмическая функции, то область определения 092713 1440 292 Показательная и логарифмическая функции является множество 092713 1440 293 Показательная и логарифмическая функции за исключением точек 092713 1440 294 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 295 Показательная и логарифмическая функции, в которых 092713 1440 296 Показательная и логарифмическая функции.

    2) Область значений
    092713 1440 297 Показательная и логарифмическая функции. Возьмем произвольное число 092713 1440 298 Показательная и логарифмическая функции и докажем, что существует угол 092713 1440 299 Показательная и логарифмическая функции, отвечающий точке 092713 1440 300 Показательная и логарифмическая функции на единичной окружности и такой, что 092713 1440 301 Показательная и логарифмическая функции. Используем известные формулы

     

    092713 1440 302 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 303 Показательная и логарифмическая функции.            (2)

    Положим 092713 1440 304 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 305 Показательная и логарифмическая функции.

    Очевидно, что числа 092713 1440 306 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 307 Показательная и логарифмическая функции принадлежат промежутку 092713 1440 308 Показательная и логарифмическая функции. Кроме того, выполняется равенство

    092713 1440 309 Показательная и логарифмическая функции.

    <

    Следовательно, точка 092713 1440 310 Показательная и логарифмическая функции расположена на единичной окружности, а числа 092713 1440 311 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 312 Показательная и логарифмическая функции равны соответственно косинусу и синусу некоторого угла 092713 1440 313 Показательная и логарифмическая функции, т.е. 092713 1440 314 Показательная и логарифмическая функции. Тангенс угла 092713 1440 315 Показательная и логарифмическая функции равен 092713 1440 316 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 317 Показательная и логарифмическая функции.■

    092713 1440 318 Показательная и логарифмическая функцииЗамечание. Угол 092713 1440 319 Показательная и логарифмическая функции такой, что 092713 1440 320 Показательная и логарифмическая функции, для каждого числа 092713 1440 321 Показательная и логарифмическая функции определяется неоднозначно. Это следует, в частности из формулы (2). Например, если 092713 1440 322 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 323 Показательная и логарифмическая функции должны иметь одинаковые знаки.

    Одинаковые знаки функции 092713 1440 324 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 325 Показательная и логарифмическая функции имеют в первой и третьей четвертях, т.е., если 092713 1440 326 Показательная и логарифмическая функции или 092713 1440 327 Показательная и логарифмическая функции. На рисунке показано, что заданному числу 092713 1440 328 Показательная и логарифмическая функции отвечают два угла 092713 1440 329 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 330 Показательная и логарифмическая функции, такие что 092713 1440 331 Показательная и логарифмическая функции.

    Заметим, что доказательство утверждения 092713 1440 332 Показательная и логарифмическая функции можно осуществить из геометрических соображений. Через точку 092713 1440 333 Показательная и логарифмическая функции проводим прямую перпендикулярную оси ОХ. Эта прямая называется линией тангенсов. Берем произвольную точку 092713 1440 334 Показательная и логарифмическая функции на линии тангенсов и соединяем ее с точкой О – центром окружности.

    Из прямоугольного треугольника 092713 1440 335 Показательная и логарифмическая функции следует, что 092713 1440 336 Показательная и логарифмическая функции. Но 092713 1440 337 Показательная и логарифмическая функции
    092713 1440 338 Показательная и логарифмическая функции и тогда 092713 1440 339 Показательная и логарифмическая функции. Из подобия прямоугольных треугольников 092713 1440 340 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 341 Показательная и логарифмическая функции заключаем, что

    092713 1440 342 Показательная и логарифмическая функции.

    3) Четность и нечетность. Тангенс – нечетная функция. Действительно, для любого 092713 1440 343 Показательная и логарифмическая функции имеем

    092713 1440 344 Показательная и логарифмическая функции.

    4) Периодичность. Функция 092713 1440 345 Показательная и логарифмическая функции — периодическая с наименьшим положительным периодом 092713 1440 346 Показательная и логарифмическая функции. Действительно, для любого 092713 1440 347 Показательная и логарифмическая функции имеем

    092713 1440 348 Показательная и логарифмическая функции.

    Покажем, что 092713 1440 349 Показательная и логарифмическая функции — наименьший период. Пусть 092713 1440 350 Показательная и логарифмическая функции такое, что 092713 1440 351 Показательная и логарифмическая функции для любого 092713 1440 352 Показательная и логарифмическая функции. При 092713 1440 353 Показательная и логарифмическая функции имеем 092713 1440 354 Показательная и логарифмическая функции, т.е.092713 1440 355 Показательная и логарифмическая функции. Но 092713 1440 356 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 357 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 358 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 359 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 360 Показательная и логарифмическая функции может принимать значение 092713 1440 361 Показательная и логарифмическая функции. Наименьшее из этих чисел равно 092713 1440 362 Показательная и логарифмическая функции.

    5) Интервалы монотонности. Функция 092713 1440 363 Показательная и логарифмическая функции является монотонно возрастающей на каждом интервале 092713 1440 364 Показательная и логарифмическая функции. Простейший способ доказательства этого утверждения основан на использовании производной (теоремы об интервалах монотонности функции).

    Так как 092713 1440 365 Показательная и логарифмическая функции для всех 092713 1440 366 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 367 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 368 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 369 Показательная и логарифмическая функции — монотонно возрастающая функция на интервалах 092713 1440 370 Показательная и логарифмическая функции.

    Приведем альтернативный способ доказательства – из определений монотонной функции.

    Пусть 092713 1440 371 Показательная и логарифмическая функции. Тогда 092713 1440 372 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 373 Показательная и логарифмическая функции. Из неравенства 092713 1440 374 Показательная и логарифмическая функции следует, что 092713 1440 375 Показательная и логарифмическая функции.

    Перемножая это неравенство и неравенство 092713 1440 376 Показательная и логарифмическая функции как неравенства одного знака с неотрицательными числами, получаем

    092713 1440 377 Показательная и логарифмическая функции или 092713 1440 378 Показательная и логарифмическая функции.

    Аналогично доказывается монотонное возрастание 092713 1440 379 Показательная и логарифмическая функции на интервале 092713 1440 380 Показательная и логарифмическая функции. Если же 092713 1440 381 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 382 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 383 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 384 Показательная и логарифмическая функции, а 092713 1440 385 Показательная и логарифмическая функции и как следствие 092713 1440 386 Показательная и логарифмическая функции.

    6) Точки пересечения с координатными осями и промежутки знакопостоянства. Ось ОХ график функции 092713 1440 387 Показательная и логарифмическая функции пересекает в точках с абсциссами 092713 1440 388 Показательная и логарифмическая функции. Ось OY пересекается ветвью графика функции 092713 1440 389 Показательная и логарифмическая функции в точке 092713 1440 390 Показательная и логарифмическая функции.

    Промежутки знакопостоянства:

    092713 1440 391 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 392 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 393 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 394 Показательная и логарифмическая функции.

    Действительно, так как 092713 1440 395 Показательная и логарифмическая функции, то тангенс положителен в первой и третьей четвертях, поскольку в этих четвертях функции 092713 1440 396 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 397 Показательная и логарифмическая функции имеют одинаковые знаки. Во второй и четвертой четвертях 092713 1440 398 Показательная и логарифмическая функции отрицателен, поскольку в этих четвертях 092713 1440 399 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 400 Показательная и логарифмическая функции имеют разные знаки.

    7) Точек экстремума функция 092713 1440 401 Показательная и логарифмическая функции не имеет, поскольку является монотонно возрастающей на каждом интервале 092713 1440 402 Показательная и логарифмическая функции.

    8) График функции. Приведен на рисунке.

    092713 1440 403 Показательная и логарифмическая функцииРассмотрим свойства и построим график функции 092713 1440 404 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 405 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 406 Показательная и логарифмическая функции,
    092713 1440 407 Показательная и логарифмическая функции — заданные действительные числа. Будем считать, что 092713 1440 408 Показательная и логарифмическая функции, так как при 092713 1440 409 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 410 Показательная и логарифмическая функции.

    Обозначим 092713 1440 411 Показательная и логарифмическая функции, тогда 092713 1440 412 Показательная и логарифмическая функции. Если 092713 1440 413 Показательная и логарифмическая функции пробегает множество значений 092713 1440 414 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 415 Показательная и логарифмическая функции пробегает это же множество значений при 092713 1440 416 Показательная и логарифмическая функции (см. свойства линейной функции). Поэтому свойства функции 092713 1440 417 Показательная и логарифмическая функции аналогичны свойствам функции 092713 1440 418 Показательная и логарифмическая функции.

    Областью определения функции 092713 1440 419 Показательная и логарифмическая функции являются все действительные числа 092713 1440 420 Показательная и логарифмическая функции, кроме тех 092713 1440 421 Показательная и логарифмическая функции, при которых 092713 1440 422 Показательная и логарифмическая функции, т.е. 092713 1440 423 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 424 Показательная и логарифмическая функции.

    Таким образом, 092713 1440 425 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 426 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 427 Показательная и логарифмическая функции.

    Найдем наименьший положительный период функции 092713 1440 428 Показательная и логарифмическая функции.

    Пусть 092713 1440 429 Показательная и логарифмическая функции и пусть 092713 1440 430 Показательная и логарифмическая функции — период функции 092713 1440 431 Показательная и логарифмическая функции. Тогда для любого 092713 1440 432 Показательная и логарифмическая функции должно выполняться равенство

    092713 1440 433 Показательная и логарифмическая функции.

    Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда

    092713 1440 434 Показательная и логарифмическая функции.

    Откуда 092713 1440 435 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 436 Показательная и логарифмическая функции.

    Так как 092713 1440 437 Показательная и логарифмическая функции, то период 092713 1440 438 Показательная и логарифмическая функции может принимать значения 092713 1440 439 Показательная и логарифмическая функции

    Отсюда следует , что наименьший положительный период равен 092713 1440 440 Показательная и логарифмическая функции.

    Найдем точки пересечения графика функции 092713 1440 441 Показательная и логарифмическая функции с осями координат

    092713 1440 442 Показательная и логарифмическая функции.

    Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ:

    092713 1440 443 Показательная и логарифмическая функции.

    Ордината точки пересечения ветви графика с осью ОY:

    092713 1440 444 Показательная и логарифмическая функции092713 1440 445 Показательная и логарифмическая функции.

    На рисунке приведен график функции 092713 1440 446 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 447 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 448 Показательная и логарифмическая функции.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:

     

    092713 1440 449 Показательная и логарифмическая функции   092713 1440 450 Показательная и логарифмическая функции

    Поскольку деление на нуль невозможно, эти функции определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен для всех 092713 1440 451 Показательная и логарифмическая функции 092713 1440 452 Показательная и логарифмическая функции Котангенс определен для всех 092713 1440 453 Показательная и логарифмическая функции 092713 1440 454 Показательная и логарифмическая функции Обе функции непрерывны на всей области определения и имеют разрывы в точках вида 092713 1440 455 Показательная и логарифмическая функции(тангенс) и 092713 1440 456 Показательная и логарифмическая функции(котангенс).

     

    Рассмотрим свойства функции 092713 1440 457 Показательная и логарифмическая функции:

    1) 092713 1440 458 Показательная и логарифмическая функции;

    2) 092713 1440 459 Показательная и логарифмическая функции;

    3) Наименьший положительный период функции 092713 1440 460 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 461 Показательная и логарифмическая функции4)Функция 092713 1440 462 Показательная и логарифмическая функции является четной. Абсцисса точек 092713 1440 463 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 464 Показательная и логарифмическая функции на рисунке одна и та же, поэтому 092713 1440 465 Показательная и логарифмическая функции;

    5) Знаки функции. Очевидно, что 092713 1440 466 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 467 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 468 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 469 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 470 Показательная и логарифмическая функции. Функция 092713 1440 471 Показательная и логарифмическая функции пересекает ось ОХ в точках, в которых 092713 1440 472 Показательная и логарифмическая функции, откуда 092713 1440 473 Показательная и логарифмическая функции.

    Таким образом, 092713 1440 474 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 475 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 476 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 477 Показательная и логарифмическая функции.

    6) Наибольшее значение
    092713 1440 478 Показательная и логарифмическая функции достигается при 092713 1440 479 Показательная и логарифмическая функции, наименьшее значение
    092713 1440 480 Показательная и логарифмическая функции при 092713 1440 481 Показательная и логарифмическая функции.

    7) Функция возрастает при 092713 1440 482 Показательная и логарифмическая функции и убывает при 092713 1440 483 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 484 Показательная и логарифмическая функции8) График функции, называемой косинусоидой, изображен на рисунке.

    Исследование

    2.3. Основные формулы

     

     

    092713 1440 485 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 486 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 487 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 488 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 489 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 490 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 491 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 492 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 493 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 494 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 495 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 496 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 497 Показательная и логарифмическая функции,                092713 1440 498 Показательная и логарифмическая функции.

    Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из них.

    092713 1440 499 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 500 Показательная и логарифмическая функции,

    092713 1440 501 Показательная и логарифмическая функции, и т.д.

    Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент 092713 1440 502 Показательная и логарифмическая функции больше 092713 1440 503 Показательная и логарифмическая функции, то, используя их периодичность, можем записать: 092713 1440 504 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 505 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 506 Показательная и логарифмическая функции.

    Для перехода к аргументу 092713 1440 507 Показательная и логарифмическая функции воспользуемся формулами приведения для синуса и косинуса: 092713 1440 508 Показательная и логарифмическая функции.

    Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:092713 1440 509 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 510 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 511 Показательная и логарифмическая функции.

    Теорема 1. Для любого угла 092713 1440 512 Показательная и логарифмическая функции справедливы тождества:

    092713 1440 513 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 514 Показательная и логарифмическая функции,        (1)

    которые называются формулами двойного угла.

    Доказательство. В формулах 092713 1440 515 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 516 Показательная и логарифмическая функции положим 092713 1440 517 Показательная и логарифмическая функции равным 092713 1440 518 Показательная и логарифмическая функции. Получим тождества: 092713 1440 519 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 520 Показательная и логарифмическая функции.■

    Следствие. Из формулы 092713 1440 521 Показательная и логарифмическая функции следуют формулы:

    092713 1440 522 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 523 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство.

    092713 1440 524 Показательная и логарифмическая функции092713 1440 525 Показательная и логарифмическая функции092713 1440 526 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 527 Показательная и логарифмическая функции

    Теорема 2. Формулы двойного угла для тангенса и котангенса имеют вид:

    092713 1440 528 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 529 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 530 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 531 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство.

    В формулах 092713 1440 532 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 533 Показательная и логарифмическая функции положим 092713 1440 534 Показательная и логарифмическая функции равным 092713 1440 535 Показательная и логарифмическая функции. В результате получим формулы двойного угла для тангенса и котангенса.■

    Используя формулы двойных углов, можно получить формулы половинного угла для тригонометрических функций.

    1. Из формул следствия теоремы 1 найдем 092713 1440 536 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 537 Показательная и логарифмическая функции:

    092713 1440 538 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 539 Показательная и логарифмическая функции.

    В данных формулах 092713 1440 540 Показательная и логарифмическая функции заменим на 092713 1440 541 Показательная и логарифмическая функции:

    092713 1440 542 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 543 Показательная и логарифмическая функции,

    откуда следует 092713 1440 544 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 545 Показательная и логарифмическая функции.

    Знаки перед корнями соответствуют знакам 092713 1440 546 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 547 Показательная и логарифмическая функции.

    2. 092713 1440 548 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 549 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 550 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 551 Показательная и логарифмическая функции.

    Знаки перед корнями соответствуют знакам 092713 1440 552 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 553 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство. Формулы получаются при почленном делении каждого тождества из предыдущего пункта 1.

    3.Для любого 092713 1440 554 Показательная и логарифмическая функции справедлива формула 092713 1440 555 Показательная и логарифмическая функции;

    для любого 092713 1440 556 Показательная и логарифмическая функции справедлива формула 092713 1440 557 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство первой формулы:

    092713 1440 558 Показательная и логарифмическая функции.

    Вторая формула доказывается аналогично.■

    4. Выразим тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Докажем, что для любого угла 092713 1440 559 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 560 Показательная и логарифмическая функции, справедливы формулы: 092713 1440 561 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 562 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 563 Показательная и логарифмическая функции, если при этом 092713 1440 564 Показательная и логарифмическая функции, то 092713 1440 565 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство.
    092713 1440 566 Показательная и логарифмическая функции.

    Разделив числитель и знаменатель дроби на 092713 1440 567 Показательная и логарифмическая функции (092713 1440 568 Показательная и логарифмическая функции, так как 092713 1440 569 Показательная и логарифмическая функции), получим: 092713 1440 570 Показательная и логарифмическая функции.

    Аналогичным способом доказывается вторая формула:

    092713 1440 571 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 572 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 573 Показательная и логарифмическая функции.■

    Теорема 1. Для любых двух углов 092713 1440 574 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 575 Показательная и логарифмическая функции справедливо тождество

    092713 1440 576 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство. На единичной окружности возьмем точки 092713 1440 577 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 578 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 579 Показательная и логарифмическая функции, соответствующие углам 092713 1440 580 Показательная и логарифмическая функции,
    092713 1440 581 Показательная и логарифмическая функции
    ,
    092713 1440 582 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 583 Показательная и логарифмическая функции.

    Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:

    092713 1440 584 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 585 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 586 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 587 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 588 Показательная и логарифмическая функцииОчевидно, что отрезки 092713 1440 589 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 590 Показательная и логарифмическая функции равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим длины этих отрезков через координаты точек 092713 1440 591 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 592 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 593 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 594 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 595 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 596 Показательная и логарифмическая функции.

    Так как 092713 1440 597 Показательная и логарифмическая функции, то, возводя обе части этого равенства в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку эквивалентных равенств

    092713 1440 598 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 599 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 600 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 601 Показательная и логарифмическая функции. ■

    Теорема 2. Для любых двух углов 092713 1440 602 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 603 Показательная и логарифмическая функции справедливо тождество

    092713 1440 604 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство.
    092713 1440 605 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 606 Показательная и логарифмическая функции

    так как 092713 1440 607 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 608 Показательная и логарифмическая функции.■

     

     

    Для произвольного угла 092713 1440 609 Показательная и логарифмическая функции найдем соотношения между тригонометрическими функциями.

    1. Основное тригонометрическое тождество.

    Для любого угла 092713 1440 610 Показательная и логарифмическая функции справедливо равенство:

    092713 1440 611 Показательная и логарифмическая функции                (1)

    Доказательство. На единичной окружности углу 092713 1440 612 Показательная и логарифмическая функции соответствует точка 092713 1440 613 Показательная и логарифмическая функции. Квадрат расстояния между точками 092713 1440 614 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 615 Показательная и логарифмическая функции равен единице: 092713 1440 616 Показательная и логарифмическая функции, откуда следует 092713 1440 617 Показательная и логарифмическая функции.■

    2. Определение 1.
    092713 1440 618 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 619 Показательная и логарифмическая функции.

    Определение 2.
    092713 1440 620 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 621 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 622 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 623 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 624 Показательная и логарифмическая функции.

    Действительно, 092713 1440 625 Показательная и логарифмическая функции.

    3. Разделив обе части равенства (1) на 092713 1440 626 Показательная и логарифмическая функции, получим 092713 1440 627 Показательная и логарифмическая функции, т.е. 092713 1440 628 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 629 Показательная и логарифмическая функции.

    Разделим обе части равенства (1) на 092713 1440 630 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 631 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 632 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 633 Показательная и логарифмическая функции.

    4. Из основного тригонометрического тождества (1) следуют формулы:

    092713 1440 634 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 635 Показательная и логарифмическая функции.

    Знаки перед корнями соответствуют знакам 092713 1440 636 Показательная и логарифмическая функции.

    5. Из формулы 092713 1440 637 Показательная и логарифмическая функции найдем 092713 1440 638 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 639 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 640 Показательная и логарифмическая функции.

    Из формулы 092713 1440 641 Показательная и логарифмическая функции найдем 092713 1440 642 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 643 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 644 Показательная и логарифмическая функции.

    Предварительно докажем формулы:

    1) 092713 1440 645 Показательная и логарифмическая функции; 2) 092713 1440 646 Показательная и логарифмическая функции.

    1) 092713 1440 647 Показательная и логарифмическая функции.

    2) 092713 1440 648 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 649 Показательная и логарифмическая функции

    Теорема 1. Для любых углов 092713 1440 650 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 651 Показательная и логарифмическая функции справедливо тождество

    092713 1440 652 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство. Используя формулы 1) и 2), докажем теорему 1

    092713 1440 653 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 654 Показательная и логарифмическая функции

    Теорема 2. Для любых углов 092713 1440 655 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 656 Показательная и логарифмическая функции справедлива формула

    092713 1440 657 Показательная и логарифмическая функции.

    Доказательство.

    092713 1440 658 Показательная и логарифмическая функции

    так как 092713 1440 659 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 660 Показательная и логарифмическая функции.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    3. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ (ФОРМУЛЫ) СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

     

    Так как областью значений функции 092713 1440 661 Показательная и логарифмическая функции является отрезок 092713 1440 662 Показательная и логарифмическая функции, то уравнение 092713 1440 663 Показательная и логарифмическая функции не имеет решений при 092713 1440 664 Показательная и логарифмическая функции.

  7. Пусть 092713 1440 665 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 666 Показательная и логарифмическая функции — абсцисса точки единичной окружности для угла 092713 1440 667 Показательная и логарифмическая функции, отсчитываемого от начального радиуса, то для решения уравнения 092713 1440 668 Показательная и логарифмическая функции найдем точки пересечения прямой 092713 1440 669 Показательная и логарифмическая функции092713 1440 670 Показательная и логарифмическая функции с окружностью.

    092713 1440 671 Показательная и логарифмическая функцииЕсли 092713 1440 672 Показательная и логарифмическая функции, то прямая 092713 1440 673 Показательная и логарифмическая функции пересекает окружность в двух точках 092713 1440 674 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 675 Показательная и логарифмическая функции, которые симметричны относительно оси ОХ. Числа 092713 1440 676 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 677 Показательная и логарифмическая функции являются решениями уравнения 092713 1440 678 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 679 Показательная и логарифмическая функции является периодической функцией с периодом 092713 1440 680 Показательная и логарифмическая функции, то точкам 092713 1440 681 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 682 Показательная и логарифмическая функции соответствуют на числовой оси бесконечное множество решений, отстоящих друг от друга на 092713 1440 683 Показательная и логарифмическая функции:

    092713 1440 684 Показательная и логарифмическая функции;

    092713 1440 685 Показательная и логарифмическая функции.

    Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:

    092713 1440 686 Показательная и логарифмическая функции.

    Для одного решения уравнения 092713 1440 687 Показательная и логарифмическая функции вводится специальное название – арккосинус.

    Определение.
    Арккосинусом числа 092713 1440 688 Показательная и логарифмическая функции
    092713 1440 689 Показательная и логарифмическая функции называется такой угол 092713 1440 690 Показательная и логарифмическая функции, принадлежащий отрезку 092713 1440 691 Показательная и логарифмическая функции, косинус которого равен 092713 1440 692 Показательная и логарифмическая функции.

    Обозначение: 092713 1440 693 Показательная и логарифмическая функции.

    Таким образом, равенство 092713 1440 694 Показательная и логарифмическая функции равносильно двум условиям:

    1) 092713 1440 695 Показательная и логарифмическая функции
    и 2)
    092713 1440 696 Показательная и логарифмическая функции.

    Теперь решения уравнения 092713 1440 697 Показательная и логарифмическая функции можно записать так:

  8. 092713 1440 698 Показательная и логарифмическая функции.
  9. Если 092713 1440 699 Показательная и логарифмическая функции, то уравнение 092713 1440 700 Показательная и логарифмическая функции имеет решения092713 1440 701 Показательная и логарифмическая функции.
  10. При 092713 1440 702 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 703 Показательная и логарифмическая функции имеет решения 092713 1440 704 Показательная и логарифмическая функции.
  11. В этом случае прямая 092713 1440 705 Показательная и логарифмическая функции или 092713 1440 706 Показательная и логарифмическая функции касается окружности, и точки 092713 1440 707 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 708 Показательная и логарифмическая функции совпадают.
  12. При 092713 1440 709 Показательная и логарифмическая функции, решением уравнения 092713 1440 710 Показательная и логарифмическая функции имеет вид: 092713 1440 711 Показательная и логарифмическая функции.

    Так как областью значений функции 092713 1440 712 Показательная и логарифмическая функции является отрезок 092713 1440 713 Показательная и логарифмическая функции, то уравнение 092713 1440 714 Показательная и логарифмическая функции не имеет решений при 092713 1440 715 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 716 Показательная и логарифмическая функцииПусть 092713 1440 717 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 718 Показательная и логарифмическая функции — ордината точки единичной окружности для угла 092713 1440 719 Показательная и логарифмическая функции, отсчитываемого от начального радиуса, то для решения уравнения 092713 1440 720 Показательная и логарифмическая функции на окружности найдем точки пересечения прямой 092713 1440 721 Показательная и логарифмическая функции с окружностью. Если 092713 1440 722 Показательная и логарифмическая функции, то прямая пересекает окружность в двух точках 092713 1440 723 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 724 Показательная и логарифмическая функции, которые симметричны относительно оси ОY. Числа 092713 1440 725 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 726 Показательная и логарифмическая функции являются решениями уравнения 092713 1440 727 Показательная и логарифмическая функции. Так как 092713 1440 728 Показательная и логарифмическая функции является периодической функцией с периодом 092713 1440 729 Показательная и логарифмическая функции, то точкам 092713 1440 730 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 731 Показательная и логарифмическая функции на числовой оси соответствует бесконечное множество решений, удаленных друг от друга на 092713 1440 732 Показательная и логарифмическая функции: 092713 1440 733 Показательная и логарифмическая функции; 092713 1440 734 Показательная и логарифмическая функции .

    Для одного решения вводится специальное название – арксинус.

    Определение.
    Арксинусом числа
    092713 1440 735 Показательная и логарифмическая функции
    092713 1440 736 Показательная и логарифмическая функции называется такой угол 092713 1440 737 Показательная и логарифмическая функции, принадлежащий отрезку 092713 1440 738 Показательная и логарифмическая функции, синус которого равен 092713 1440 739 Показательная и логарифмическая функции. Обозначение:

    092713 1440 740 Показательная и логарифмическая функции.

    Таким образом, равенство 092713 1440 741 Показательная и логарифмическая функции равносильно двум условиям:

    1) 092713 1440 742 Показательная и логарифмическая функции и 2)
    092713 1440 743 Показательная и логарифмическая функции;

    Теперь две серии решений уравнения 092713 1440 744 Показательная и логарифмическая функции
    092713 1440 745 Показательная и логарифмическая функции можно записать так: 092713 1440 746 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 747 Показательная и логарифмическая функции.

    Эти формулы можно объединить в одну:

    092713 1440 748 Показательная и логарифмическая функции.

    При 092713 1440 749 Показательная и логарифмическая функции (четном 092713 1440 750 Показательная и логарифмическая функции) получаем первую серию решений

    092713 1440 751 Показательная и логарифмическая функции.

    При 092713 1440 752 Показательная и логарифмическая функции (нечетном 092713 1440 753 Показательная и логарифмическая функции) получаем вторую серию решений

    092713 1440 754 Показательная и логарифмическая функции.

    Если 092713 1440 755 Показательная и логарифмическая функции, то уравнение 092713 1440 756 Показательная и логарифмическая функции имеет только одну серию решений

    092713 1440 757 Показательная и логарифмическая функции.

    Если 092713 1440 758 Показательная и логарифмическая функции, то уравнение 092713 1440 759 Показательная и логарифмическая функции имеет только одну серию решений

    092713 1440 760 Показательная и логарифмическая функции.

    В этом случае прямая 092713 1440 761 Показательная и логарифмическая функции (или 092713 1440 762 Показательная и логарифмическая функции) касается окружности, и точки 092713 1440 763 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 764 Показательная и логарифмическая функции совпадают.

    Если 092713 1440 765 Показательная и логарифмическая функции, то решением уравнения 092713 1440 766 Показательная и логарифмическая функции будет множество точек

    Поскольку область значений 092713 1440 767 Показательная и логарифмическая функции — вся числовая прямая, то уравнение 092713 1440 768 Показательная и логарифмическая функции имеет решение при любом значении 092713 1440 769 Показательная и логарифмическая функции.

    092713 1440 770 Показательная и логарифмическая функцииПостроим единичную окружность и проведем линию тангенсов. Пусть 092713 1440 771 Показательная и логарифмическая функции. Отложим на линии тангенсов отрезок 092713 1440 772 Показательная и логарифмическая функции в положительном направлении оси OY (в положительном, так как 092713 1440 773 Показательная и логарифмическая функции). Проведем через точку 092713 1440 774 Показательная и логарифмическая функции и точку 092713 1440 775 Показательная и логарифмическая функции – начало координат – прямую. Обозначим через 092713 1440 776 Показательная и логарифмическая функции угол между 092713 1440 777 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 778 Показательная и логарифмическая функции. Из прямоугольного треугольника 092713 1440 779 Показательная и логарифмическая функции и определения тангенса угла следует, что 092713 1440 780 Показательная и логарифмическая функции. Таким образом, 092713 1440 781 Показательная и логарифмическая функции является решением уравнения 092713 1440 782 Показательная и логарифмическая функции. Решением этого уравнения будет и 092713 1440 783 Показательная и логарифмическая функции, поскольку 092713 1440 784 Показательная и логарифмическая функции.

    Для записи решения уравнения 092713 1440 785 Показательная и логарифмическая функции вводят понятия арктангенса числа 092713 1440 786 Показательная и логарифмическая функции.

    Определение.
    Арктангенсом числа 092713 1440 787 Показательная и логарифмическая функции называется такой угол 092713 1440 788 Показательная и логарифмическая функции, принадлежащий интервалу 092713 1440 789 Показательная и логарифмическая функции, тангенс которого равен 092713 1440 790 Показательная и логарифмическая функции.

    Обозначается этот угол 092713 1440 791 Показательная и логарифмическая функции, т.е. 092713 1440 792 Показательная и логарифмическая функции и по определению 092713 1440 793 Показательная и логарифмическая функции.

    Используя введенное понятие арктангенса угла решения 092713 1440 794 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 795 Показательная и логарифмическая функции уравнение 092713 1440 796 Показательная и логарифмическая функции можно записать 092713 1440 797 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 798 Показательная и логарифмическая функции.

    С учетом периодичности функции 092713 1440 799 Показательная и логарифмическая функции получаем два множества решений 092713 1440 800 Показательная и логарифмическая функции, 092713 1440 801 Показательная и логарифмическая функции, где 092713 1440 802 Показательная и логарифмическая функции, каждое из которых отвечает точкам 092713 1440 803 Показательная и логарифмическая функции и 092713 1440 804 Показательная и логарифмическая функции соответственно на единичной окружности. Эти множества решений можно объединить в одно формулой

    092713 1440 805 Показательная и логарифмическая функции.

    4. НЕРАВЕНСТВА (СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ)

     

    При решении тригонометрических неравенств мы используем свойства неравенств, известные из алгебры, а также различные тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичного круга при решении тригонометрических неравенств почти необходимо. Рассмотрим ряд примеров.

     
     

    П р и м е р  1 .  Решить неравенство:   sin x > 0.

     
     

    Р е ш е н и е .  В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство

                             справедливо при 0 < x < 092713 1440 806 Показательная и логарифмическая функции. Теперь необходимо добавить период

                             синуса  2092713 1440 807 Показательная и логарифмическая функции n :

                                            092713 1440 808 Показательная и логарифмическая функции

    П р и м е р  2 .  Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

     
     

    Р е ш е н и е .

                                092713 1440 809 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 810 Показательная и логарифмическая функции

    092713 1440 811 Показательная и логарифмическая функции

    П р и м е р  4 .  Решить систему неравенств:

    092713 1440 812 Показательная и логарифмическая функции

                              Второе неравенство  tan x < 1  имеет решение:

                              092713 1440 813 Показательная и логарифмическая функции

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     



    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

     

  13. Высшая математика. Общий курс / Под ред.А.И. Яблонского.–Мн.: Высшая школа, 1993.
  14. Дадаян А.А. Математика.–М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.
  15. Турецкий В.Я. Математика и информатика. — 3-е изд., испр. и доп. — М.:ИНФРА-М, 2002.

     


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 1.26MB/0.00072 sec

WordPress: 22.96MB | MySQL:112 | 3,056sec