Последовательности и предел последовательности

<

013114 0432 1 Последовательности и предел последовательности

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число 013114 0432 2 Последовательности и предел последовательности  то говорят, что задана числовая последовательность 013114 0432 3 Последовательности и предел последовательности Кратко она обозначается символом 013114 0432 4 Последовательности и предел последовательности  013114 0432 5 Последовательности и предел последовательности называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

  1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например, 013114 0432 6 Последовательности и предел последовательности).
  2. xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

    Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией:

    bn + 1 = bn · q.

    Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как 013114 0432 7 Последовательности и предел последовательности  то 013114 0432 8 Последовательности и предел последовательности Верна и обратная теорема.

  3. и условиями x1 = 1, x2 = 1.
  4. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой xn равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323…, задается следующим образом: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 5, x5 = 9, x6 = 2, x7 = 6, x8 = 5, x9 = 3, x10 = 5 и т. д.

    Числовую последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии:

    an + 1 = an + d.

    Так как an – 1 = an – d, то an + 1 + an – 1 = 2an. Верно и обратное.

    Последовательность 013114 0432 9 Последовательности и предел последовательностиявляется арифметической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное соотношение

    013114 0432 10 Последовательности и предел последовательности

    Формула общего члена арифметической прогрессии {an} такова:

    an = a1 + (n – 1) · d.

    Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство

    |xn – a| < ε,

    т. е. 013114 0432 11 Последовательности и предел последовательностиПри этом пишут, что 013114 0432 12 Последовательности и предел последовательностиили 013114 0432 13 Последовательности и предел последовательностипри n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

    013114 0432 14 Последовательности и предел последовательности

    Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

    013114 0432 15 Последовательности и предел последовательности

    1 

    Рисунок 1 – ε-окрестность точки a

    Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

    Так, если 013114 0432 16 Последовательности и предел последовательностито 013114 0432 17 Последовательности и предел последовательностиДействительно, выбрав для произвольного ε > 0 013114 0432 18 Последовательности и предел последовательностиполучаем 013114 0432 19 Последовательности и предел последовательности, так как 013114 0432 20 Последовательности и предел последовательности. Здесь существенно, что Nε зависит от ε.

    Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {xn} такой, что xn = a при n ≥ n0) в качестве Nε для любого ε можно взять n0.

    Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

    Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

    Последовательность 013114 0432 21 Последовательности и предел последовательностиназывается возрастающей, если для любого 013114 0432 22 Последовательности и предел последовательностивыполняется неравенство

    xn + 1 > xn.

    Последовательность 013114 0432 23 Последовательности и предел последовательностиназывается убывающей, если для любого 013114 0432 24 Последовательности и предел последовательностивыполняется неравенство

    xn + 1 < xn.

    Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

    Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

    Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

    Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

    Можно показать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена.

    Заметим, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность {xn}: xn = (–1)n.

    Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

    <

    013114 0432 25 Последовательности и предел последовательности

    Если число a – предел последовательности {xn}, то последовательность {αn}, где αn = xn – a, бесконечно малая. Примером бесконечно малой последовательности является геометрическая прогрессия {qn}, где |q| < 1.

     

    013114 0432 26 Последовательности и предел последовательности

    1 

    Рисунок 2. Последовательность называют ограниченной, если C1 ≤ xn ≤ C2.

    Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

    Из определения бесконечно малой последовательности непосредственно следует, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что конечность числа бесконечно малых последовательностей в этой алгебраической сумме существенна.

    Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что и здесь конечность числа последовательностей также существенна, т. к. произведение бесконечного числа бесконечно малых последовательностей может уже и не быть бесконечно малой последовательностью.

    Множества 013114 0432 27 Последовательности и предел последовательностии 013114 0432 28 Последовательности и предел последовательностиназываются δ-окрестностями –∞ и +∞ соответственно.

    Определим понятие бесконечного предела. Говорят, что 013114 0432 29 Последовательности и предел последовательности, если для любого R > 0 существует 013114 0432 30 Последовательности и предел последовательноститакой, что 013114 0432 31 Последовательности и предел последовательностипри 013114 0432 32 Последовательности и предел последовательности

    Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

    013114 0432 33 Последовательности и предел последовательности

    Другими словами, 013114 0432 34 Последовательности и предел последовательности, если для любого δ > 0 найдется номер 013114 0432 35 Последовательности и предел последовательноститакой, что для любого 013114 0432 36 Последовательности и предел последовательности  013114 0432 37 Последовательности и предел последовательности Аналогично вводятся понятия бесконечных пределов +∞ и –∞. Примерами бесконечно больших последовательностей могут служить {n2} или {1 – n}.

    013114 0432 38 Последовательности и предел последовательности

    2 

    Рисунок 3 δ-окрестность +∞.

     

    Сумма n первых членов арифметической прогрессии {an} равна

    013114 0432 39 Последовательности и предел последовательности

    Обе формулы легко доказать, используя метод математической индукции. Выполните это самостоятельно.

    Последовательность {bn} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение

    013114 0432 40 Последовательности и предел последовательности

    где 013114 0432 41 Последовательности и предел последовательностипри всех n. Тем не менее, важно понимать, что формула 013114 0432 42 Последовательности и предел последовательностисправедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

    Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой

    bn = b1 · qn – 1.

    Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем bk + 1 = bk · q = b1 · qk – 1 · q = b1 · qk. Теорема доказана.

     

     

    2. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА

     

    Теорема о трех последовательностях. Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ N, и

    013114 0432 43 Последовательности и предел последовательности

    то последовательность {yn} сходится, и

    013114 0432 44 Последовательности и предел последовательности

    Если 013114 0432 45 Последовательности и предел последовательности 013114 0432 46 Последовательности и предел последовательности и для любого 013114 0432 47 Последовательности и предел последовательности  013114 0432 48 Последовательности и предел последовательности  то a ≥ b.

    Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.

    Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.

    Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называют соответственно последовательности {xn + yn}, {xn – yn}, {xn ∙ yn}, {xn / yn}. При определении частного предполагается, что yn ≠ 0 при всех n.

    Справедлива следующая теорема (основная теорема теории пределов): если 013114 0432 49 Последовательности и предел последовательности 013114 0432 50 Последовательности и предел последовательности то:

  • 013114 0432 51 Последовательности и предел последовательности;
  • 013114 0432 52 Последовательности и предел последовательности;
  • 013114 0432 53 Последовательности и предел последовательностипри условии, что b ≠ 0 и 013114 0432 54 Последовательности и предел последовательностидля всех n.

    ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

    Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+a n, xn=b+b n, где a n и b n – элементы бесконечно малых последовательностей {a n} и {b n}.

    Вычитая данные соотношения, найдем a n-b n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a n-b n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

    Доказательство: Пусть {xn} — сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

    xn=а+a n,

    где a n- элемент бесконечно малой последовательности.

    Так как бесконечно малая последовательность {a n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a n|£ А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

    Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … — ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

    ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

    xn=а+a n, yn=b+b n,

    где {a n} и {b n) – бесконечно малые последовательности.

    Следовательно, (хn + yn) — (а + b) =a n+b n.

    Таким образом, последовательность {(хn + yn) — (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

    xn=а+a n, yn=b+b n,

    где {a n} и {b n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn — yn) — (а — b) =a n-b n.

    Таким образом, последовательность {(хn — yn) — (а — b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn — yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+a n, yn=b+b n и xn× yn=a× b+a× b n+b× a n+a n× b n. Следовательно,

    xn× yn-а× b=a× b n+b× a n+a n× b n.

    (в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a× b n+b× a n+a n× b n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn× yn-а× b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn× yn} сходится и имеет своим пределом число а× b. Теорема доказана.

    ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность, которая является ограниченной.

    Доказательство: Пусть Так как b¹ 0, то e >0. Пусть N – номер, соответствующий этому e , начиная с которого выполняется неравенство:

    |yn-b|<e или |yn-b|<

    из этого неравенства следует, что при n³ N выполняется неравенство |yn|>

    Поэтому при n³ N имеем

    Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

    ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

    Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность.

    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

     

     

  1. Высшая математика. Общий курс / Под ред.А.И. Яблонского.–Мн.: Высшая школа, 2008.
  2. Дадаян А.А. Математика.–М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006.
  3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. — 3-е изд., испр. и доп. — М.:ИНФРА-М, 2007.


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.94MB/0.00116 sec

WordPress: 22.47MB | MySQL:118 | 1,432sec