ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

<

020215 1548 1 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬНа рис.1 выделены факторы, характеризующие производство: труд (L), средства труда – ОПФ (K) и предметы труда (W*). Последние включают природные ресурсы (W) и предметы труда (W*), возвращаемые в производство как часть совокупного общественного продукта.

020215 1548 2 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рис. 1 – Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

 

 

Результатом производственной деятельности является валовый продукт — ВП (X), распределяемый в блоке Px на производственное потребление (W), и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится в блоке распределения Py на валовые капвложения (I) и непроизводственное потребление (C). Валовые капвложения (I) делятся на амортизационные отчисления (A) и чистые капвложения, идущие на расширение производственных фондов (блок PI).

Однопродуктовые макроэкономические модели — это модели, изучающие свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических показателей, таких, как ВП, КП, трудовые ресурсы, ПФ, КВ, потребление и т.д. На рис. 1 показаны эти взаимосвязи.

На макроуровне блок распределения Px показывает взаимосвязь между ВП X, производственным потреблением W и КП Y:

X = W + Y. (1)

Блок Py делит КП на две составляющие: валовые капвложения (КВ) I и непроизводственное потребление C, т.е.

Y = I + C. (2)

Одна из трудностей формализации является учет распределенного запаздывания прироста.

Предположим, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост ОПФ в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

It = q.Kt + A, (3)

где .Kt = Kt+1 — Kt — прирост ОПФ в году t; q — параметр модели; A = μKt —

амортизационные отчисления; μ — коэффициент амортизации; Kt — ОПФ в году t;

б) аналогом этого уравнения в непрерывном варианте является

I = q(dK/dt) + μK, (3′)

Отсюда можно получить уравнение движения фондов:

dK/dt = 1/q(I — μK)

Объединим уравнения (1)-(3), получим однопродуктовую динамическую микромодель в дискретном варианте:

Xt = Wt + q.Kt + μKt + Ct.

Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции X, т.е.

W = aX, (4)

то дискретная однопродуктовая динамическая модель примет вид

Xt = aXt + q.Kt + μKt + Ct,

или

.Kt = 1/q[(1 — a)Xt — μKt — Ct],

а в непрерывном варианте — соответственно

dK/dt = 1/q[(1-a)X — μK — C].

В некоторых случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели.

1) Открытая однопродуктовая динамическая модель Леонтьева. Предполагают, что все валовые КВ идут на ввод в действие новых ОПФ (ОПФ не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска продукции

.Xt = Xt+1 — Xt

пропорционален КВ, т.е.

It = χ.Xt, (5)

из уравнений (1), (2), учитывая (4), (5), получим однопродуктовую открытую динамическую модель Леонтьева:

Xt = aXt + χ.Xt + Ct.

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель Леонтьева имеет вид

X = aX + χ(dX/dt) + C. (6)

С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

2) Замкнутая однопродуктовая модель Леонтьева

Предполагают, что непроизводственное потребление C(t) идет полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму потребления γ(t), получим

C(t) = γ(t)L(t). (7)

Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то

L(t) = b(t)X(t), (8)

где b(t) — норма трудоемкости.

Подставим (7) в (6) с учетом (8) получим «замкнутую по потреблению» модель расширенного воспроизводства

X = a(t)X(t) + χ(t)[dX(t)/dt] + γ(t)b(t)X(t),

которая описывается однородным дифференциальным уравнением

dX(t)/dt — p(t)X(t) = 0, (9)

где

p(t) = [1 — a(t) — γ(t)b(t)] / χ(t).

Тогда развитие экономики определяется решением уравнения (9):

X(t) = X0e∫ p(t)dt

3). Предполагают, что непроизводственное потребление является известной функцией времени. Тогда закон развития экономики определим из модели (6), которая с математической точки зрения является неоднородным дифференциальным уравнением вида

<

dX/dt + p1(t)X(t) = .(t),

p1(t) = -[(1-a(t))/χ(t)]; .(t) = -C(t)/χ(t), с решением

t

X(t) = e-∫ p1(t)dt (∫ .(t)e∫ p1(t)dtdt + X0).

0

Итак, можно сделать следующий вывод. Выделение из КП Y накапливаемой части I приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для исследования в качестве математического аппарата теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечно-разностных уравнений (в многошаговом варианте).

5. Моделирование производства на макроуровне

 

При математическом моделировании взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно отражают с помощью производственных функций. При построении производственных функций следует иметь в виду, что затраты факторов производства на выпуск продукции всегда неотрицательны. Кроме того, при моделировании производственных функций надо отметить, что отсутствие одного из факторов приводит к нулевому выпуску продукция. Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно, а выпуск продукции изменяется достаточно гладко при изменении факторов, что естественно при рассмотрении производства на макроуровне.

Экономически целесообразно также, чтобы при увеличении количества используемого ресурса выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой производственной функции можно записать следующие неравенства:

020215 1548 3 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 4 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

где К – основные производственные фонды; L – трудовые ресурсы.

Перечисленным условиям отвечают мультипликативные производственные функции вида

020215 1548 5 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 6 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 7 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 8 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

где Х – выпуск продукции; 020215 1548 9 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 10 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
020215 1548 11 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
параметры производственной функции.

Мультипликативная производственная функция дает возможность отразить эффект масштаба производства, который существует только при одновременном изменении факторов К и L. Пусть эти факторы изменятся в 020215 1548 12 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
раз. Тогда

020215 1548 13 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

В этом случае:

  1. если 020215 1548 14 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ>1, то имеет место интенсивный способ развития, т. е. с ростом масштаба производства в 020215 1548 15 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    раз, выпуск продукции возрастает более чем в 020215 1548 16 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ раз;
  2. если 020215 1548 17 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ<1, то рост масштаба производства отрицательно сказывается на выпуске продукции, т. е. при росте затрат в 020215 1548 18 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    раз выпуск продукции растет менее чем в 020215 1548 19 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ раз;
  3. если 020215 1548 20 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ=1, то происходит экстенсивный рост экономики только за счет факторов производства.

    Длительные наблюдения показывают, что в условиях чисто экстенсивного производства увеличение затрат только одного из факторов производства приводит к снижению эффективности его использования, т. е.

    020215 1548 21 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    020215 1548 22 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Это означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего в условиях неизменной технологии, квалификации персонала и характеристик станков, уменьшает эффективность использования оборудования.

    Для экстенсивного способа развития характерно


    020215 1548 23 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    020215 1548 24 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ


    020215 1548 25 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    020215 1548 26 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Производственная функция Кобба—Дугласа является модели экстенсивного способа развития:

    020215 1548 27 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    020215 1548 28 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    =1,

    где 020215 1548 29 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ—коэффициент эластичности выпуска по протводственным фондам; 020215 1548 30 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ—коэффициент эластичности выпуска по труду.

    Под эластичностью производственной функции по фактору (фонду, труду и т.д.) понимается отношение относительного прироста функции к относительному приросту фактора. Эластичность численно равна числу процентов, на которое изменятся выпуск продукции при изменений фактора на 1%. Нетрудно показать, что коэффициенты эластичности можно определить как отношение предельной эффективности функции по фактору к средней эффективности:

    020215 1548 31 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
    020215 1548 32 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Важной характеристикой производственных функций является эластичность замены ресурсов 020215 1548 33 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, так как она бывает постоянной для большинства производственных функций, используемых в экономико-математическом моделировании. Эластичность замены ресурсов показывает, на сколько процентов изменится фондовооруженность 020215 1548 34 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ при изменении предельной нормы замещения 020215 1548 35 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ (предельной фондовооруженности) на 1% при измененном выпуске продукции:

    020215 1548 36 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Отсюда

    020215 1548 37 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    где 020215 1548 38 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — предельная эффективность по труду; 020215 1548 39 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — предельная эффективность по основным производственным фондам.

    Эластичность замены ресурсов 020215 1548 40 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ для функции Кобба—Дугласа равна

    020215 1548 41 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    так как для нее предельная норма замещения

    020215 1548 42 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ где 020215 1548 43 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

    Часто экономические соображения подсказывают, что хотя эластичность замещения ресурсов и можно считать постоянной, но все-таки она отлична от единицы. В связи с этим представляет интерес линейно однородная производственная функция Солоу:

    020215 1548 44 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Для того чтобы найти эластичность замены ресурсов 020215 1548 45 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ для функции Солоу, вычислим предварительно предельную норму замещения s. Для этого найдем предельную фондоотдачу:

    020215 1548 46 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ,

    где 020215 1548 47 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — производительность труда; k — фондовооруженность труда.

    Теперь найдем предельную производительность труда, учитывая, что

    020215 1548 48 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    или

    020215 1548 49 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Окончательно

    020215 1548 50 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Отсюда эластичность замены ресурсов для функции Солоу

    020215 1548 51 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

    Нетрудно заметить, что функция Кобба-Дугласа является частным случаем функции Солоу при 020215 1548 52 ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

     

    Список литературы

     

  • Аллен Р. Математическая экономия. — М.: Изд-во ИЛ, 1963.
  • Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. — М.: Экономика, 1985.
  • Колемаев В.А. Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 2003.
  • Кротов Ф.В. Основы теории оптимального управления. — М.: Высшая школа, 1990.
<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.94MB/0.00172 sec

WordPress: 22.31MB | MySQL:120 | 1,684sec