Многофакторный дисперсионный анализ » Буквы.Ру Научно-популярный портал<script async custom-element="amp-auto-ads" src="https://cdn.ampproject.org/v0/amp-auto-ads-0.1.js"> </script>

Многофакторный дисперсионный анализ

<

101113 1607 1 Многофакторный дисперсионный анализ Назначение. Данная процедура расширяет возможности однофакторного и двухфакторного анализа на большее число (m>2) факторов. Процедура производит проверку гипотез об отсутствии влияния каждого фактора на отклик и не учитывает эффектов взаимодействия факторов второго и большего порядков. Однако она позволяет выявлять факторные эффекты даже в том случае, когда произведены измерения не при всех сочетаниях значений факторов, то есть в случае неполного факторного планирования.

 

Исходные данные. Исходные данные представляют собой матрицу размером (m+1)*n (n – число измерений), в которой в качестве первых m переменных содержатся градаций m факторов, а m+1-я переменная содержит значение отклика, измеренного при указанных градациях фактора. Каждый фактор должен иметь не менее двух градаций, значение которых нумеруются целыми числами, начиная с 1. Для каждого фактора должны быть произведены измерения по крайней мере при двух его уровнях, при этом допускаются повторные измерения при каждом сочетании значений факторов. Общее число измерений должно быть больше числа факторов.

Результаты. На экран выдаётся стандартная таблица дисперсионного анализа и результаты проверки каждой гипотезы.

 

Формулы и алгоритмы.

Исходная модель представляется в виде :

yij…k=m+ai+bj+…ck+eij…k

где :

    yij…k – отклики;

    m – общее среднее ;

    ai – средний эффект фактора a на уровне i=1,2,…I;

    bi — средний эффект фактора a на уровне j=1,2,…J;

    ci — средний эффект фактора c на уровне k=1,2,…K;

eij…k – ошибки.

 

Исходные данные отображаются в пространство I-1+J-1+…+K-1 независимых переменных со значениями 0,1,-1 с использованием дополнительных условий вида:

            aj=-a1-a2-…-aI-1.

Анализ производится методом множественной линейной регрессии. Остаточная сумма квадратов (ОСК) определяется ОСК полной регрессии. Факторные СК для каждой нулевой гипотезы вида a1=a2=…aI=0 определяется ОСК регрессии в усечённом пространстве после удаления переменных a1,a2,…,aI-1.

 

Пример.

Данные: В качестве примера рассмотрим данные двухфакторного эксперимента с повторными измерениями, где фактор 1 имеет три градации, а фактор 2 имеет две градации:

 

 

Фактор 2 

Фактор 1

1 

2 

3 

1


 

17.5

16.2 

13.2

12.8

10.4

9.9 

2 

10.1

8.6

11.3 

5.4

3.7 

10.3 

 

В этом случае матрица исходных данных имеет следующий вид:

 

F1 

F2 

Y 

1 

1 

17.5 

1 

1 

16.2 

2 

1 

13.2 

3 

1 

12.8 

3 

1 

10.4 

3 

1 

9.9 

1 

2 

10.1 

1 

2 

8.6 

1 

2 

11.3 

2 

2 

5.4 

2 

2 

3.7 

3 

2 

10.3 

 

Диалог:     выберите метод или нажмите его ключ >> н

        Нажмите Enter=продолжить или f2=печать экрана >> Enter

 

Выдача: Файл: mav    Переменных=3    Измерений=36

МНОГОФАКОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ.

 

Источник      Сум.квадр Ст.своб Ср.квадр Сила влияния

Фактор 1 92,1 2 46,1 0,165

 

F(фактор 1)=6,07, Значимость=0,0247, степ.своб = 2,8

Гипотеза 1: <Есть влияние фактора на отклик>

 

Фактор 2 117 1 117 0,663

 

F(фактор 2)=17,7,        Значимость=0,     степ.своб = 8

Гипотеза 1: <Есть влияние фактора на отклик>

 

Остат. 36,6 8 4,57

 

Для сравнения приведём результаты анализа тех же самых данных по методу двухфакторного анализа.

 

Анализ факторных эффектов (дисперсионный анализ)

 

Выдача: Файл: mav1    Переменных=6    Измерений=12

2-ФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ.

<

Факторный план: повторяемый, с фиксированными эффектами

 

Источник

Сумма квадр 

Ст. своб 

Ср. квадр 

Сила явления

Факт.1 

40.78 

2 

20.39 

0.4349 

Факт.2 

85.23 

1 

85.23 

0.4843 

Межфак 

33.42 

2 

16.71 

0.4061 

Остат. 

10.76 

6 

1.793 

 

Общая 

170.2 

11 

15.47 

 

 

F(фактор1)=11.37,    Значимость=0.0097,    степ.своб=2, 6

F(фактор2)=47.54,    Значимость=0,        степ.своб=6

F(межфак)=9.32,        Значимость=0.0149,    степ.своб=2, 6

 

Пример 2.

Исследуем факторы, возможно влияющие на успеваемость студентов:

Фактор 1 — количество часов в день, отдаваемых занятиям

3 градации:

1. — не занимается

2. — занимается 2 часа

3. — занимается 4 часа

Фактор 2 — квалификация преподавателя

1. — средняя

2. — хорошая

Фактор 3 — посещаемость студентами дополнительных занятий

1. — плохая

2. — удовлетворительная

3. — хорошая

 

Исходные данные имеют вид:

 

Фактор1 Фактор2 Фактор3 Оценки студентов

1    1    1    2

2    1    1    3

3    1    1    4

1    1    2    4

2    1    2    4

3    1    2    5

1    1    3    3

2    1    3    4

3    1    3    5

1    2    1    2

2    2    1    4

3    2    1    5

1    2    2    3

2    2    2    4

3    2    2    5

1    2    3    3

2    2    3    4

3    2    3    5

Результат выполнения многофакторного анализа

Фактор 1 влияет на отклик со степенью значимости 0

Фактор 2 не влияет на отклик со степенью значимости 0.755

Фактор 3 влияет на отклик со степенью значимости 0.0114

Вывод: Квалификация преподавателя в общем случае не влияет на успеваемость, тогда как дополнительные и самостоятельные занятия имеют большое

значение .

 

 

 

Выводы: Как можно заметить, в результатах рассмотренных двух методов имеются некоторые расхождения по величине суммы квадратов и степеней свободы, которые объясняются тем, что многофакторный метод не учитывает межфакторных взаимодействий. Тем не менее, результирующие значимости нулевых гипотез находятся в очень хорошем согласии.

 

Задача. Четыре группы продавцов продавали штучный товар, каждая группа была подготовлена по определенной методике (фактор А=1,2,3,4). Товар рекламировался по телевидению, в газете и по радио (фактор B=1,2,3). Кроме того, он был расфасован в различные упаковки (фактор С=1,2,3). Эксперимент повторялся дважды (R=1,2 играет роль случайного фактора). После окончания двух сроков распродажи были получены следующие результаты по количеству продаж:

 

101113 1607 2 Многофакторный дисперсионный анализ

Исследовать влияние факторов на объём продаж.

Фрагмент таблицы с исходными данными приведен на рис. 1

 

101113 1607 3 Многофакторный дисперсионный анализ

 

 

 

 

 

 

 

 

1    1    1    1    3

1    1    2    1    4

1    1    3    1    5

1    1    1    2    2

1    1    2    2    7

1    1    3    2    9

2    1    1    1    10

2    1    2    1    12

2    1    3    1    10

2    1    1    2    14

2    1    2    2    11

2    1    3    2    10

3    1    1    1    9

3    1    2    1    3

3    1    3    1    5

3    1    1    2    9

3    1    2    2    5

3    1    3    2    27

4    1    1    1    8

4    1    2    1    9

4    1    3    1    8

4    1    1    2    13

4    1    2    2    8

4    1    3    2    8

1    2    1    1    24

1    2    2    1    22

1    2    3    1    23

1    2    1    2    29

1    2    2    2    28

1    2    3    2    28

2    2    1    1    8

2    2    2    1    7

2    2    3    1    9

2    2    1    2    16

2    2    2    2    18

2    2    3    2    16

3    2    1    1    9

3    2    2    1    16

3    2    3    1    17

3    2    1    2    11

3    2    2    2    10

3    2    3    2    11

4    2    1    1    3

4    2    2    1    2

4    2    3    1    3

4    2    1    2    3

4    2    2    2    6

4    2    3    2    7

1    3    1    1    2

1    3    2    1    2

1    3    3    1    2

1    3    1    2    2

1    3    2    2    6

1    3    3    2    8

2    3    1    1    8

2    3    2    1    2

2    3    3    1    8

2    3    1    2    7

2    3    2    2    6

2    3    3    2    9

3    3    1    1    9

3    3    2    1    7

3    3    3    1    6

3    3    1    2    5

3    3    2    2    5

3    3    3    2    8

4    3    1    1    8

4    3    2    1    2

4    3    3    1    3

4    3    1    2    3

4    3    2    2    9

4    3    3    2    15

 

МНОГОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ. Файл: anova_b2.std

 

Источник Сум.квадр Ст.своб Ср.квадр Сила влияния

Фактор 1 2314 3 771,3 0,7272

 

F(фактор 1)=2,307, Значимость=0,08389, степ.своб = 3,63

Гипотеза 0: <Нет влияния фактора на отклик>

 

Фактор 2 2807 2 1404 0,955

 

F(фактор 2)=10,92, Значимость=0,0002178, степ.своб = 2,63

Гипотеза 1: <Есть влияние фактора на отклик>

 

Фактор 3 2140 2 1070 0,5859

 

F(фактор 3)=0,8327, Значимость=0,5569, степ.своб = 2,63

Гипотеза 0: <Нет влияния фактора на отклик>

 

Фактор 4 2226 1 2226 0,6604

 

F(фактор 4)=4,281, Значимость=0,0001966, степ.своб = 63

Гипотеза 1: <Есть влияние фактора на отклик>

 

Остат. 2085 63 33,09

 

Вывод: исходя из проведённого анализа можно сделать вывод, что внедрение новой методики не влияет на продажу товаров, рекламирование товаров по телевидению, в газете и по радио приводит к увеличению продажи товаров, расфасовка товара не приводит к увеличению объёма продаж товара, данный эксперимент повторялся дважды в ходе чего было выявлено, что во втором случае факторы, влияющие на объём продаж штучного товара имеют противоположное значение.

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 23.14MB | MySQL:120 | 1,399sec