Средние величины в статистике » Буквы.Ру Научно-популярный портал<script async custom-element="amp-auto-ads" src="https://cdn.ampproject.org/v0/amp-auto-ads-0.1.js"> </script>

Средние величины в статистике

<

100713 1727 1 Средние величины в статистике

 

 

 

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина это:

1) наиболее типичное для совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

 

05 f01 Средние величины в статистике,

 

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид   

    
 

05 f02 Средние величины в статистике,

 

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

05 f05 Средние величины в статистике

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Вид степенной
средней

Показатель
степени (m)

Формула расчета 

Простая 

Взвешенная 

Гармоническая 

-1 

100713 1727 2 Средние величины в статистике

100713 1727 3 Средние величины в статистике

Геометрическая 

0 

100713 1727 4 Средние величины в статистике

100713 1727 5 Средние величины в статистике

Арифметическая 

1 

100713 1727 6 Средние величины в статистике

100713 1727 7 Средние величины в статистике

Квадратическая 

2 

100713 1727 8 Средние величины в статистике

100713 1727 9 Средние величины в статистике

Кубическая 

3 

100713 1727 10 Средние величины в статистике

100713 1727 11 Средние величины в статистике

 

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым . Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

05 f16 Средние величины в статистике

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i1, i2, i3,…, in. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q0) и последующим наращиванием по годам:

qn=q0× i1× i2×…×in.

Приняв qn в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

05 f17 Средние величины в статистике

Отсюда


05 f18 Средние величины в статистике

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

05 f19 Средние величины в статистике,

где XMe – нижняя граница медианного интервала;

hMe – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

mMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

05 f21 Средние величины в статистике,

где ХMo – нижнее значение модального интервала;

mMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

mMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

mMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

ЗАДАЧА 1

 

Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год


предприятия

Объем продукции, млн. руб.

Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.

Среднесписочное число работников, чел. 

Прибыль, тыс. руб. 

1 

197,7 

10,0 

900 

13,5 

2 

592 

22,8 

1500 

136,2 

3 

465,5 

18,4 

1412 

97,6 

4 

296,2 

12,6 

1200 

44,4 

5 

584,1 

22,0 

1485 

146,0 

6 

480,0 

119,0 

1420 

110,4 

7 

57805 

21,6 

1390 

138,7 

8 

204,7 

9,4

817 

30,6 

9 

466,8 

19,4 

1375 

<

111,8 

10 

292,2 

113,6 

1200 

49,6 

11 

423,1 

17,6 

1365 

105,8 

12 

192,6 

8,8 

850 

30,7 

13 

360,5 

14,0 

1290 

64,8 

14 

280,3 

10,2 

900 

33,3 

 

Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:

  1. до 200 млн. руб.
  2. от 200 до 400 млн. руб.
  3. от 400 до 600 млн. руб.

    По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.

    РЕШЕНИЕ

    Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.

     

    Группы по объему продукции


    предприятия

    Объем продукции, млн. руб.

    Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.

    Среднеспи

    сочное число работников, чел.

    Прибыль, тыс. руб.

    Средняя выработка продукции на одного работника

    1 группа

    до 200 млн. руб. 

    1,8,12

    197,7

    204,7

    192,6

    10,0

    9,4

    8,8

    900

    817

    850

    13,5

    30,6

    30,7

     

    S

    3 

    595 

    28,2 

    2567 

    74,8 

    0,23 

    Средний уровень 

     

    198,3 

    9,4 

    856 

    24,9 

     

    2 группа

    от 200 до 400 млн. руб. 

    4,10,13,14

    196,2

    292,2

    360,5

    280,3

    12,6

    113,6

    14,0

    10,2

    1200

    1200

    1290

    900

    44,4

    49,6

    64,8

    33,3

     

    S

    4 

    1129,2 

    150,4 

    4590 

    192,1 

    0,25 

    Средний уровень 

     

    282,3 

    37,6 

    1530 

    64,0 

     

    3 группа

    от 400 до

    600 млн. 

    2,3,5,6,7,9,11

    592

    465,5

    584,1

    480,0

    578,5

    466,8

    423,1

    22,8

    18,4

    22,0

    119,0

    21,6

    19,4

    17,6

    1500

    1412

    1485

    1420

    1390

    1375

    1365

    136,2

    97,6

    146,0

    110,4

    138,7

    111,8

    105,8

     

    S

    7 

    3590 

    240,8 

    9974 

    846,5 

    0,36 

    Средний уровень 

     

    512,9 

    34,4 

    1421 

    120,9 

     

    Всего по совокупности

    14

    5314,2

    419,4

    17131

    1113,4

    0,31

    В среднем по совокупности

     

    379,6

    59,9

    1223,6

    79,5

     

    Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.

     

     

    ЗАДАЧА 2

     

    Имеются следующие данные по предприятиям фирмы

    Номер предприятия, входящего в фирму

    I квартал

    II квартал

    Выпуск продукции, тыс. руб.

    Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.

    Отработано рабочими человеко-дней

    Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.

    1 

    59390,13 

    770,3 

    79200 

    800,2 

    2 

    34246,1 

    710,5 

    50400 

    750,0 

    3 

    72000 

    800,0 

    90300 

    810,5

     

    Определить:

    1. Среднюю выработку на одного рабочего в день в целом по фирме в I и во II кварталах;

    2. На сколько процентов уменьшилась средняя выработка на одного рабочего в день во II квартале по сравнению с I кварталом;

    3. Среднее выработку на одного рабочего в день по фирме за первое полугодие.

    РЕШЕНИЕ

    1. Определим среднюю выработку на одного рабочего в день в целом по фирме в I и во II кварталах по формуле средней гармонической взвешенной (весом выступает выпуск продукции)

    100713 1727 12 Средние величины в статистике

    Получаем,

    для 1-го квартала

    100713 1727 13 Средние величины в статистике

    для 2-го квартала необходимо определить объем продукции путем умножения количества отработанных человеко-дней на среднюю выработку на одного рабочего

    100713 1727 14 Средние величины в статистике

     

    2. На сколько процентов уменьшилась средняя выработка на одного рабочего в день во II квартале по сравнению с I кварталом

    определяем по формуле

    100713 1727 15 Средние величины в статистике

    Таким образом, во втором квартале средняя выработка на одного рабочего не уменьшилась, а увеличилась на 3,9%.

    3. Среднюю выработку на одного рабочего в день по фирме за первое полугодие находим по формуле простой средней

    100713 1727 16 Средние величины в статистикеруб.

     

     

     

    ЗАДАЧА 3

     

    Имеются следующие данные о товарообороте магазина:

    Вид товара 

    Товарооборот в IV квартале 2001 г, тыс. руб.

    Изменение количества проданных товаров в IV квартале 2001 г, тыс. руб. по сравнению с IV квартале 2000 г,%

    Виноград 

    480

    +5,2

    Сухофрукты 

    230

    -1,0

    Арбузы 

    100

    +1,5

     

    Рассчитайте:

    1. Общий индекс физического объема товарооборота;

    2. Абсолютную сумму экономики (перерасхода) за счет изменения физического объема товарооборота

     

    РЕШЕНИЕ

    1) В данной задаче физический объем реализации q не задан базисного года, но известно его изменение в процентом выражении, что представляет собой индивидуальные индексы физического объема товарооборота:

    Изменение физического объема товарооборота по группе товаров

    100713 1727 17 Средние величины в статистике

    100713 1727 18 Средние величины в статистике

    100713 1727 19 Средние величины в статистике

    Общий индекс физического объема товарооборота может быть найден по формуле:

    100713 1727 20 Средние величины в статистике

    Данный показатель показывает величину прироста физического объема товарооборота предприятия в целом на + 5,7%.

    Общий индекс физического объема товарооборота можно также определить по формуле:

    100713 1727 21 Средние величины в статистике

    Абсолютная сумма экономики (перерасхода) за счет изменения физического объема товарооборота можно рассчитать по формуле

    100713 1727 22 Средние величины в статистикетыс. руб.

    Таким образом, абсолютное увеличение товарооборота в отчетном периоде составило 43,68 тыс. руб.

     

     

     

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

     

  4. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. Методология и проблемы.–М: Статистика, 1977
  5. Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. – М.: Статистика, 2002.
  6. Елисеева И.И. Моя профессия – статистик. – М.: Финансы и статистика, 2003.
  7. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004.
  8. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. -М.: ИНФРА-М, 2002
  9. Статистика / Под ред. И.И. Елисеевой. –М.: ООО «Витрэм», 2002.


     

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.99MB/0.00135 sec

WordPress: 22.24MB | MySQL:124 | 1,645sec