Фокусные расстояние для сферической поверхности

<

081714 2035 1 Фокусные расстояние для сферической поверхности

 

7. Линза

 

7.1. Фокусные расстояние для сферической поверхности

 

081714 2035 2 Фокусные расстояние для сферической поверхности     A b

    a        s’


O     s     R         O’

     B C

    n=1     n>1

Рассмотрим прохождение световой волной сферической поверхности, разделяющей вакуум и некоторую среду, например, стекло, показатель которой равен n. Пусть в точке O находится источник света.

Ранее мы получили соотношение между углом излучения (падения) луча света и производной начальной фазы вдоль поверхности раздела двух сред:

 

081714 2035 3 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

В данном случае справа и слева у нас разные углы q — это углы падения a и b, и разные длины волнl0 в вакууме и
l
в стекле. Прямая OO’ обозначает оптическую ось и мы ограничиваемся параксиальными лучами, т.е. лучами, проходящими через преломляющую поверхность вблизи оптической оси. Это означает, что углы a и b малы.

С учетом этих замечаний мы можем записать:

 

081714 2035 4 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 5 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Здесь h — расстояние точки A от оптической оси.

Из этих уравнений следует:

 

081714 2035 6 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 7 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Собственно, мы здесь записали закон преломления для малых углов

 

081714 2035 8 Фокусные расстояние для сферической поверхности

 

и из него получили выражение, с помощью которого можно подсчитать радиус сферической поверхности, необходимой для того, чтобы вышедшие из точки O лучи собирались в точке O’.

Ограничиваясь лишь рассмотрением параксиальных лучей, мы можем не делать различия между величинами s и s’ с одной стороны и длинами отрезков OB и O’B с другой. Обозначим длины этих отрезков как x и x’.

Устремив теперь величину x к бесконечности (на сферическую поверхность падает плоская волна), мы получим

 

081714 2035 9 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 10 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Иначе говоря, при падении на сферическую поверхность параллельного пучка параксиальных лучей они соберутся в точке O’ на расстоянии x’=f’ от поверхности. Величина f’ называется фокусным расстоянием.

Если мы хотим, чтобы вышедшие из точки O лучи после преломления на сферической поверхности были параллельны оптической оси, нам в полученном выражении нужно положить равной бесконечности величину x’»s’ и тогда

081714 2035 11 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 12 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Таким образом, слева и справа фокусные расстояния неодинаковы и различаются в n раз.

С учетом полученных выражений мы можем записать такие соотношения:

081714 2035 13 Фокусные расстояние для сферической поверхности или 081714 2035 14 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

081714 2035 15 Фокусные расстояние для сферической поверхности

 

O’    O

Предположим теперь, что величина x<f. тогда будет n/x'<0. Это означает, что точка O’ будет находиться слева от сферической поверхности. Точку O’ называют изображением точки O. Если x'<0, реальные лучи не пересекаются в точке O’, они идут после преломления таким образом, как если бы они вышли из этой точки. В таком случае говорят, что изображение точки O мнимое. Если лучи пересекаются в точке O’, то говорят о действительном изображении.

 

         O

             O’

 

 

081714 2035 16 Фокусные расстояние для сферической поверхности

Но может быть и такое положение, что лучи направлены в точку O, расположенную справа от поверхности (x<0) и после преломления пересекаются в точке O’. Тогда говорят о мнимом источнике света, в отличии от действительного, из которого на самом деле исходят лучи света. Разумеется, при x'<f’ мнимый источник расположен по отношению к преломляющей поверхности ближе правого фокусного расстояния.

 

 

7.2. Фокусное расстояние линзы

 

Обычно используется устройство из стекла или другого материала, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если эти поверхности расположены близко друг от друга, говорят о тонкой линзе. Подсчитаем фокусное расстояние тонкой линзы.

Пусть радиусы сферических поверхностей, отделяющих стекло от вакуума, равны R1
и R2. Запишем координату точки, в которой собрались бы параллельные оси лучи справа от первой поверхности:

 

081714 2035 17 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

На таком расстоянии оказывается изображение бесконечно удаленного источника света после прохождения первой сферической поверхности. Оно является (мнимым) источником для второй сферической поверхности. Применим полученное выше выражения для определения координаты изображения точки O’, которое получается с помощью второй сферической поверхности. Но здесь необходимы некоторые пояснения.

Заменяя x на y, мы можем записать для нее такое выражение:

 

081714 2035 18 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

<

В этом выражении нам следует положить y=-f’, поскольку (мнимый) источник находится правее преломляющей поверхности, а поверхности мы считаем близко расположенными. Наконец, в точке с координатой y’ соберутся параллельные лучи, падающие на линзу. Поэтому введем обозначение F’=y’ — фокусное расстояние линзы. Таким образом,

 

081714 2035 19 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 20 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Если по обе стороны линзы вакуум, то левый и правый фокусы находятся на одинаковых расстояниях от нее. Докажем это утверждение, повторив с некоторыми изменениями наши рассуждения.

Если источник света расположен в левом фокусе линзы F, после нее пучок лучей должен быть параллельным оптической оси. Для этого изображение источника, полученное с помощью первой поверхности должно находиться в левом фокусе второй преломляющей поверхности (слева от первой, почему x'<0). Кроме того y’=¥. Поэтому:

 

081714 2035 21 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 22 Фокусные расстояние для сферической поверхности;

081714 2035 23 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Что мы и хотели доказать.

 

 

7.3. Фокусное расстояние линзы. Другой подход

 

Решая ту или иную задачу мы применяем, по возможности, самый подходящий метод решения. И, вообще говоря, нет нужды решать задачу еще и другим методом. Но некоторые методы не слишком просты и сами по себе не всегда до конца понятны. Тогда и решение задачи также оказывается непонятным. Поэтому полезно иногда решить одну и ту же задачу разными методами. Собственно, нашей целью является не столько изучение задач, сколько изучение разных методов их решения. Поэтому мы сейчас и обращаемся к задаче об определении фокусного расстояния линзы, используя иные рассуждения.

Вернемся вновь к задаче распространения волны, плоской волны. Вдоль показанного на рисунке фронта фаза колебаний постоянна — согласно определению фронта. Эти колебания, как мы знаем, являются источниками других колебаний, распространение которых и есть распространение волны. Причем очень удобно, что мы заранее знаем направление ее распространения.

081714 2035 24 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 25 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 26 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 27 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 28 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 29 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 30 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 31 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 32 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 33 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 34 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 35 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 36 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 37 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 38 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 39 Фокусные расстояние для сферической поверхности Y             Y l

 

 

081714 2035 40 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 41 Фокусные расстояние для сферической поверхности081714 2035 42 Фокусные расстояние для сферической поверхности             q

q

 

0        X 0     X

 

 

     x=x0cos(wt-kx)


081714 2035 43 Фокусные расстояние для сферической поверхности         081714 2035 44 Фокусные расстояние для сферической поверхности

Колебания вдоль фронта происходят в фазе, на левой картинке 081714 2035 45 Фокусные расстояние для сферической поверхности и излучение происходит по нормали к поверхности фронта, что не представляется удивительным.

Проведем теперь плоскость под углом q к фронту волны. Мы уже говорили, что величина -kx при определенном x имеет смысл начальной фазы. Поэтому вдоль оси Ol начальная фаза колебаний изменяется по закону:

 

081714 2035 46 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

По отношению к нормали к этой поверхности направление излучения происходит, как видно из рисунка, под углом q. Этот же результат дает и полученное ранее выражение:

 

081714 2035 47 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

В данном случае мы не получили нового результата, просто убедились, что полученная нами выражение действительно «работает». А теперь применим его в задаче об определении фокусного расстояния линзы.

081714 2035 48 Фокусные расстояние для сферической поверхности     dx

     q

r            F

                 X

0     R    a
q

 

    d

Для простоты рассмотрим плоско-выпуклую линзу с показателем преломления материала n.

Проведем некоторые расчеты. Пусть в плоскости с x=0 начальная фаза колебаний равна нулю. Тогда в плоскости при x=d (на задней поверхности линзы) начальная фаза на оптической оси j0=-k’d (k’— волновое число волны в стекле). Иная фаза на задней поверхности линзы при x=d на расстоянии r от оптической оси:

081714 2035 49 Фокусные расстояние для сферической поверхности,

 

поскольку k=2p/l и k’/k=n. Кроме того в этом выражении dx — координата точки пересечения параллельного оптической оси луча в передней поверхностью линзы:

081714 2035 50 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Таким образом,

 

081714 2035 51 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Таким образом, мы получаем выражение для фокусного расстояния плоско-выпуклой линзы:

 

081714 2035 52 Фокусные расстояние для сферической поверхности;

 

081714 2035 53 Фокусные расстояние для сферической поверхности,

 

что, естественно, совпадает с полученным ранее результатом при R1=R и R2=¥. Значит, и в этом случае выражение sin(q)=-(dj/dy)(l/2p) «работает».

 

 

7.4. Построение изображения предмета.

Увеличение

 

Предположим, что на некотором расстоянии от линзы находится освещенный предмет, каждая тоска которого тем самым является источником света. Рассмотрим сначала лучи, исходящие из точки предмета, находящиеся на оптической оси линзы.

 

081714 2035 54 Фокусные расстояние для сферической поверхности        
r

 

         q    s’

s f     O     f’

 

При падении на тонкую линзу на ее задней поверхности вдоль радиуса создается некоторая зависимость фазы колебаний

 

081714 2035 55 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

При косом падении лучей к этой производной фазы по радиусу добавляется еще

081714 2035 56 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

В результате угол направления излучения света будет:

 

081714 2035 57 Фокусные расстояние для сферической поверхности;

 

081714 2035 58 Фокусные расстояние для сферической поверхности; 081714 2035 59 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

081714 2035 60 Фокусные расстояние для сферической поверхности

y

             x’

                 s’

s x f f’
y’

 

 

Введем обозначения

 

081714 2035 61 Фокусные расстояние для сферической поверхности

 

и перемножим эти величины:

 

081714 2035 62 Фокусные расстояние для сферической поверхности;

081714 2035 63 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Мы доказали, что на расстояниях x и x’ находятся изображения нижних (совпадающих с оптической осью) концов предметов. А теперь проведем такие построения.

081714 2035 64 Фокусные расстояние для сферической поверхности

y

             x’

                 s’

s x f f’ y’

 

 

Проведем через верхний конец предмета на высоте y горизонтальный луч. После пересечения линзы он будет направлен в правый фокус. Другой луч проведем из верхнего конца предмета через левый фокус линзы — после ее пересечения он будет параллелен оптической оси. В точке их пересечения будет находиться изображение верхнего конца предмета.

Из подобных треугольников получаем выражения:

 

081714 2035 65 Фокусные расстояние для сферической поверхности;

081714 2035 66 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Мы доказали, что изображения верхних концов также находятся на таком же расстоянии от линз, что и нижних. Иначе, изображение перпендикулярного оптической оси предмета также ей перпендикулярно.

Теперь нам осталось лишь получить выражения для увеличения. Оно легко получается из выписанных выражений:

 

081714 2035 67 Фокусные расстояние для сферической поверхности.

 

Чтобы подсчитать увеличение нам нужно знать положение предмета относительно фокуса линзы и, конечно, величину фокусного расстояния.

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.94MB/0.00181 sec

WordPress: 22.07MB | MySQL:125 | 1,363sec