ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

<

081714 1948 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 1. Виды линз. Главная оптическая ось линзы

 

Линзой называют прозрачное для света тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (одна из поверхностей может быть плоской). Линзы, у которых середина толще, чем
края, называют выпуклыми, а те, у которых края толще середины, — вогнутыми. Выпуклая линза, изготовленная из вещества с оптической плотностью большей, чем у среды, в которой линза
находится, является собирающей, а вогнутая линза при тех же условиях — рассеивающей. Различные виды линз показаны на рис. 1: 1 — двояковыпуклая, 2 — двояковогнутая, 3 — плосковыпуклая, 4 — плосковогнутая, 3,4 — выпукловогнутая и вогнутовыпуклая.

 

081714 1948 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 1. Линзы

 

Прямую О1О2, проходящую через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы.

 

2. Тонкая линза, ее оптический центр.
Побочные оптические оси

Линзу, у которой толщина l =|С1С2| (см. рис. 1) пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны R1 и R2 поверхностей линзы и расстоянием d от предмета до линзы, называют тонкой. В тонкой линзе точки С1 и С2, являющиеся вершинами шаровых сегментов, расположены настолько близко друг к другу, что их можно принять за одну точку. Эту лежащую на главной оптической оси точку О, через которую световые лучи проходят, не изменяя своего направления, называют оптическим центром тонкой линзы. Любую прямую, проходящую через оптический центр линзы, называют ее оптической осью. Все оптические оси, кроме главной, называют побочными оптическими осями.

Световые лучи, идущие вблизи главной оптической оси, называют параксиальными (приосевыми).

 

3. Главные фокусы и фокусные
расстояния линзы

Точку F на главной оптической оси, в которой пересекаются после преломления приосевые лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси (или же продолжения этих преломленных лучей), называют главным фокусом линзы (рис. 2 и 3). Любая линза имеет два главных фокуса, которые расположены по обе стороны от нее симметрично ее оптическому центру.

081714 1948 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 2 Рис. 3

 

У собирающей линзы (рис. 2) фокусы действительные, а у рассеивающей (рис. 3) — мнимые. Расстояние |ОР| = F от оптического центра линзы до ее главного фокуса называют фокусным. У собирающей линзы фокусное расстояние считают положительным, а у рассеивающей линзы — отрицательным.

 

4. Фокальные плоскости линзы, их свойства

 

Плоскость, проходящая через главный фокус тонкой линзы перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальной. У каждой линзы есть две фокальные плоскости (М1М2 и М3М4 на рис. 2 и 3), которые расположены по обе стороны от линзы.

Лучи света, падающие на собирающую линзу параллельно какой-либо ее побочной оптической оси, после преломления в линзе сходятся в точке пересечения этой оси с фокальной плоскостью (в точке F’ на рис. 2). Эту точку называют побочным фокусом.

 

Формулы линзы

 

5.Оптическая сила линзы

 

Величину D, обратную фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы:

D =1/F (1)

У собирающей линзы F>0, следовательно, D>0, а у рассеивающей линзы F<0, следовательно, D<0, т.е. оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей — отрицательна.

За единицу оптической силы принимают оптическую силу такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м; эту единицу называют диоптрией (дптр):

1 дптр = 081714 1948 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА= 1 м-1

 

6. Вывод формулы тонкой линзы на основе

геометрического построения хода лучей

 

Пусть перед собирающей линзой находится светящийся предмет АВ (рис. 4). Для построения изображения этого предмета необходимо построить изображения его крайних точек, причем удобно выбирать такие лучи, построение которых окажется наиболее простым. Таких лучей, в общем случае, может быть три:

а) луч АС, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через главный фокус линзы, т.е. идет по прямой CFA1;

081714 1948 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 4

 

б) луч АО, идущий через оптический центр линзы не преломляется и тоже приходит в точку А1;

в) луч АВ, идущий через передний фокус линзы, после преломления идет параллельно главной оптической оси по прямой DA1.

Все три указанных луча где получается действительное изображение точки А. Опустив перпендикуляр из точки А1 на главную оптическую ось, находим точку В1, являющуюся изображением точки В. Для построения изображения светящейся точки достаточно использовать два из трех перечисленных лучей.

Введем следующие обозначения |OB| = d – расстояние предмета от линзы, |OB1| = f – расстояние от линзы до изображения предмета, |OF| = F – фокусное расстояние линзы.

Используя рис. 4, выведем формулу тонкой линзы. Из подобия треугольников АОВ и А1ОВ1 следует, что

081714 1948 6 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (2)

Из подобия треугольников COF и A1FB1 следует, что

081714 1948 7 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (3)

а так как |AB| = |CO|, то


081714 1948 8 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (4)

Из формул (2) и (3) следует, что


081714 1948 9 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (5)

Поскольку |OB1|= f, |OB| = d, |FB1| = f – F и |OF| = F, формула (5) принимает вид f/d = (f – F)/F, откуда

fF = df – dF (6)

Разделив почленно формулу (6) на произведение dfF, получим


081714 1948 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (7)

откуда


081714 1948 11 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (8)

С учетом (1) получим


081714 1948 12 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (9)

Соотношения (8) и (9) называют формулой тонкой собирающей линзы.

У рассеивающей линзы F<0, поэтому формула тонкой рассеивающей линзы имеет вид


081714 1948 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
(10)

 

7. Зависимость оптической силы линзы от кривизны ее поверхностей
и показателя преломления

 

Фокусное расстояние F и оптическая сила D тонкой линзы зависят от радиусов кривизны R1 и R2 ее поверхностей и относительного показателя преломления n12 вещества линзы относительно окружающей среды. Эта зависимость выражается формулой

081714 1948 14 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (11)

<

С учетом (11) формула тонкой линзы (9) принимает вид


081714 1948 15 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (12)

Если одна из поверхностей линзы плоская (для нее R= ∞), то соответствующий ей член 1/R в формуле (12) равен нулю. Если поверхность вогнутая, то соответствующий ей член 1/R входит в эту формулу со знаком минус.

Знак правой части формулыm (12) определяет оптические свойства линзы. Если он положителен, то линза является собирающей, а если отрицателен — рассеивающей. Например, у двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, (n12 — 1) >0 и

081714 1948 16 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

т.е. правая часть формулы (12) положительна. Поэтому такая линза в воздухе является собирающей. Если же ту же самую линзу поместить в прозрачную среду с оптической плотностью
большей, чем у стекла (например, в сероуглерод), то она станет рассеивающей, поскольку в этом случае у нее (n12 — 1) <0 и, хотя 081714 1948 17 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

, знак у правой части формулы/(17.44) станет
отрицательным.

 

8.Линейное увеличение линзы

 

Размер изображения, создаваемого линзой, изменяется в зависимости от положения предмета относительно линзы. Отношение размера изображения к размеру изображаемого предмета называют линейным увеличением и обозначают Г.

Обозначим h размер предмета АВ и H — размер А1В2 — его изображения. Тогда из формулы (2) следует, что

081714 1948 18 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (13)

 

 

 

 

10. Построение изображений в собирающей линзе

 

В зависимости от расстояния d предмета от линзы могут быть шесть различных случаев построения изображения этого предмета:

а) d =∞. В данном случае световые лучи от предмета падают на линзу параллельно либо главной, либо какой-нибудь побочной оптической оси. Такой случай изображен на рис. 2, из которого видно, что если предмет бесконечно удален от линзы, то изображение предмета действительное, в виде точки, находится в фокусе линзы (главном или побочном);

б) 2F < d <∞. Предмет находится на конечном расстоянии от линзы большем, чем ее удвоенное фокусное расстояние (см. рис. 3). Изображение предмета действительное, перевернутое, уменьшенное находится между фокусом и точкой, отстоящей от линзы на двойное фокусное расстояние. Проверить правильность построения данного изображения можно
путем расчета. Пусть d= 3F, h = 2 см. Из формулы (8) следует, что

081714 1948 19 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА (14)

Так как f > 0, изображение действительное. Оно находится за линзой на расстоянии ОВ1=1,5F. Всякое действительное изображение является перевернутым. Из формулы
(13) следует, что

081714 1948 20 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА; H = 1 см

т. е. изображение уменьшенное. Аналогично с помощью расчета, основанного на формулах (8), (10) и (13), можно проверить правильность построения любого изображения в линзе;

в) d=2F. Предмет находится на двойном фокусном расстоянии от линзы (рис. 5). Изображение предмета действительное, перевернутое, равное предмету, находится за линзой на
двойном фокусном расстоянии от нее;

081714 1948 21 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 5

 

г) F<d<2F. Предмет находится между фокусом и точкой, отстоящей от линзы на двойное фокусное расстояние (рис. 6). Изображение предмета действительное, перевернутое, увеличенное находится за линзой на расстоянии большем, чем двойное фокусное;

081714 1948 22 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА081714 1948 23 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 6

д) d= F. Предмет находится в фокусе линзы (рис. 7). В этом случае изображения предмета не существует (оно находится в бесконечности), поскольку лучи от каждой точки предмета после преломления в линзе идут параллельным пучком;

 

081714 1948 24 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 7

е) d<F. Предмет находится между линзой и ее фокусом (рис. 8). Изображение предмета мнимое, прямое, увеличенное находится с той же стороны от линзы, что и сам предмет, но на
более далеком расстоянии.

081714 1948 25 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 8

11. Построение изображений в рассеивающей линзе

 

Построим изображение предмета при двух различных его расстояниях от линзы (рис. 9). Из рисунка видно, что на каком бы расстоянии ни находился предмет от рассеивающей линзы, изображение предмета мнимое, прямое, уменьшенное находится между линзой и ее фокусом
со стороны изображаемого предмета.

081714 1948 26 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 9

 

Построение изображений в линзах с помощью побочных осей и фокальной плоскости

 

(Построение изображения точки, лежащей на главной оптической оси)

081714 1948 27 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА081714 1948 28 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 10

Пусть светящаяся точка S находится на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 10). Чтобы найти, где образуется ее изображение S’, проведем из точки S два луча: луч SO вдоль главной оптической оси (он проходит через оптический центр линзы, не преломляясь) и луч SВ, падающий на линзу в произвольной точке В.

Начертим фокальную плоскость ММ1 линзы и проведем побочную ось ОF’, параллельную лучу SВ (показана штриховой линией). Она пересечется с фокальной плоскостью в точке S’.
Как отмечалось в п. 4, через эту точку F должен пройти луч после преломления в точке В. Этот луч ВF’S’ пересекается с лучом SOS’ в точке S’, которая и является изображением светящейся точки S.

 

Построение изображения предмета, размер которого больше линзы

 

Пусть предмет АВ расположен на конечном расстоянии от линзы (рис. 11). Чтобы найти, где получится изображение этого предмета, проведем из точки А два луча: луч АОА1, прохоходящий через оптический центр линзы без преломления, и луч АС, падающий на линзу в произвольной точке С. Начертим фокальную плоскость ММ1 линзы и проведем побочную ось ОF’, параллельную лучу АС (показана штриховой линией). Она пересечется с фокальной плоскостью в точке F’.

081714 1948 29 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 11

 

Через эту точку F’ пройдет луч, преломившийся в точке С. Этот луч СF’А1 пересекается с лучом АОА1 в точке А1, которая и является изображением светящейся точки А. Чтобы получить все изображение А1В1 предмета АВ, опускаем перпендикуляр из точки А1 на главную оптическую ось.

 

Лупа

Известно, что для того, чтобы увидеть на предмете мелкие детали, их нужно рассматривать под большим углом зрения, но увеличение этого угла ограничено пределом аккомодационных возможностей глаза. Увеличить угол зрения (сохраняя расстояние наилучшего зрения do) можно, используя оптические приборы {лупы, микроскопы}.

Лупой называют короткофокусную двояковыпуклую линзу или систему линз, действующих как одна собирающая линза обычно фокусное расстояние лупы не превышает 10см).

081714 1948 30 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 12

Ход лучей в лупе покаpан на рис. 12. Лупу помещают близко к глазу,
а рассматриваемый предмет AВ=A1В1 располагают между лупой и ее передним фокусом, чуть ближе последнего. Подбирают положение лупы между глазом и предметом так, чтобы видеть резкое изображение предмета. Это изображение А2В2 получается мнимым, прямым, увеличенным и находится на расстоянии наилучшего зрения |ОВ|=dо от глаза.

Как видно из рис. 12, использование лупы приводит к увеличению угла зрения, под которым глаз рассматривает предмет. Действительно, когда предмет находился в положении АВ и рассматривался невооруженным глазом, угол зрения был φ1. Предмет поместили между фокусом и оптическим центром лупы в положение А1В1, и угол зрения стал φ2. Поскольку φ2> φ1, это
значит, что с помощью лупы можно рассмотреть на предмете более мелкие детали, чем невооруженным глазом.

Из рис. 12 видно также, что линейное увеличение лупы

081714 1948 31 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Так как |OB2|=do, а |ОВ|≈F (фокусному расстоянию лупы), то

Г=dо/F,

следовательно, увеличение, даваемое лупой, равно отношению расстояния наилучшего зрения к фокусному расстоянию лупы.

Микроскоп

Микроскопом называют оптический прибор, служащий для рассматривания очень мелких предметов (в том числе невидимых невооруженным глазом) под большим углом зрения.

Микроскоп состоит из двух собирающих линз — короткофокусного объектива и длиннофокусного окуляра, расстояние между которыми может изменяться. Следовательно, F1<<F2 , где F1 — фокусное расстояние объектива, F2 — фокусное расстояние окуляра.

Ход лучей в микроскопе показан на рис. 13. Объектив создает действительное, перевернутое, увеличенное промежуточное изображение А1В2 предмета АВ.

081714 1948 32 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Рис. 13

282.

Линейное увеличение

С помощью микрометриче-
ского винта окуляр помещают
относительно объектива таким
образом, чтобы это промежу-
точное изображение А\В\ ока-
залось между передним фоку-
сом Рч и оптическим центром
Оч окуляра. Тогда окуляр
становится лупой и создает мни-
мое, прямое (относительно про-
межуточного) и увеличенное
изображение ЛчВч предмета ав.
Его положение можно найти,
используя свойства фокальной
плоскости и побочных осей (ось
О^Р’ проводят параллельно лу-
чу 1, а ось ОчР» — параллель-
но лучу 2). Как видно из
рис. 282, использование микро-
скопа приводит к значительно-
му увеличению угла зрения,
под которым глаз рассматрива-
ет предмет (фа ^> фО, что поз-
воляет видеть детали, не ви-
димые невооруженным глазом.
микроскопа

 

\АМ    1Л2Й2 И|й||

Г=

\АВ\ |Л,5,| \АВ\ •

Так как \А^Вч\/\А\В\\== Гок—линейное увеличение окуляра и
\А\В\\/\АВ\== Гоб —линейное увеличение объектива, то линейное
увеличение микроскопа

(17.62)

Г== Гоб Гок.

Из рис. 282 видно, что
» |Л1Й,1 |0,Я||

\АВ\ 150,1 ‘

где 10,5, | = |0/7, | +1/^21+1ад1.

Обозначим 6 расстояние между задним фокусом объектива
и передним фокусом окуляра, т. е. 6 = \Р\Р’г\. Так как 6 ^> \ОР\\
и 6 » \Р2В\, то |0|5|1 ^ 6. Поскольку |05|| ^ Роб, получаем

б

Роб

(17.63)

 

Линейное увеличение окуляра определяют по той же формуле
(17.61), что и увеличение лупы, т. е.

384

Гок=

а»

Гок

(17.64)

 

(17.65)

Подставив (17.63) и (17.64) в формулу (17.62), получим

бйо

Г==

/^об/м

Формула (17.65) определяет линейное увеличение микроскопа.

<

Комментирование закрыто.

MAXCACHE: 0.94MB/0.00032 sec

WordPress: 22.77MB | MySQL:121 | 1,905sec