МЕХАНИКА

<

081714 2047 1 МЕХАНИКА Скорость. Ускорение

 

Скоростью  (или мгновенной  скоростью ) называется векторная величина v, равная первой производной по времени от радиус-вектора r движущейся точки: v = dr/dt 

Скорость  направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и численно равна первой производной от длины пути по времени: v = ds/dt

Проекции скорости  vx, vy и vz на оси прямоугольных декартовых координат равны первым производным но времени от соответствующих координат движущейся точки vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt

Движение точки называется равномерным, если численное значение ее скорости  не зависит от времени (v = const). Длина пути, пройденного равномерно движущейся точкой, является линейной функцией времени: s=v(t-t0).

Средней скоростью  точки в промежутке времени от t до t +Dt называется скалярная величина vср, равная отношению длины пути Ds, пройденного точкой за этот промежуток времени, к его продолжительности Dt: vср(t, Dt) = Ds/Dt

В случае равномерного движения vср= v.

Вектором средней скорости  точки vcр в промежутке времени от t до t +Dt называется отношение приращения Dr радиус-вектора точки за этот промежуток времени к его продолжительности Dt: vср(t, Dt) = Dr/Dt

В пределе при Dt -> 0 вектор средней скорости  совпадает с вектором скорости  точки в момент времени t.

При равномерном прямолинейном движении точки vcp =v.

Модуль вектора vcp совпадает со средней скалярной скоростью  vср только в тех случаях, когда точка движется прямолинейно с неизменной по направлению скоростью  v. Во всех остальных случаях | vср|| < vср.

Ускорение, векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки по её численному значению и по направлению.

Мгновенная скорость — величина, равная пределу средней векторной скорости при уменьшении промежутка времени 081714 2047 2 МЕХАНИКА[м / с]

081714 2047 3 МЕХАНИКА

081714 2047 4 МЕХАНИКА081714 2047 5 МЕХАНИКА

 

 

Определим 081714 2047 6 МЕХАНИКАчерез радиус вектор:

081714 2047 7 МЕХАНИКА

Среднее ускорение: величина, равная отношению разности векторов конечной и начальной скоростей к промежутку времени изменения скорости

081714 2047 8 МЕХАНИКА

где 081714 2047 9 МЕХАНИКА, Δt = t − t0

Мгновенное ускорение: величина, равная пределу отношения изменения вектора скорости к промежутку времени, в течение которого изменение скорости произошло

 

081714 2047 10 МЕХАНИКА

081714 2047 11 МЕХАНИКА

 

081714 2047 12 МЕХАНИКА081714 2047 13 МЕХАНИКА
Вектор ускорения раскладывают на две компоненты: тангенциальное (касательное к траектории) 081714 2047 14 МЕХАНИКАи нормальное (центростремительное) 081714 2047 15 МЕХАНИКА

081714 2047 16 МЕХАНИКА

081714 2047 17 МЕХАНИКА


081714 2047 18 МЕХАНИКАизменяет только величину скорости, а 081714 2047 19 МЕХАНИКА— только ее направление.
Мгновенный радиус кривизны траектории определяется радиусом окружности, вписанной в участок траектории в данный момент времени.

Равноускоренное движение: движение с постоянным по величине ускорением 081714 2047 20 МЕХАНИКА= const

В случае поступательного движения

081714 2047 21 МЕХАНИКА081714 2047 22 МЕХАНИКА
081714 2047 23 МЕХАНИКА

и

081714 2047 24 МЕХАНИКА


 

Закон Ньютона

Предмет динамики: всевозможные взаимодействия тел, приводящие к ускоренным движениям.

Изменение движения тела (ускорение) вызывается действием на него других тел. При изучении изменений движения тела удобно изображать действие на него других тел векторами — силами.

  • Сила — это мера действия одного тела на другое, вызывающего ускорение последнего (векторная величина).

    Систему сил можно заменить эквивалентной ей, не изменяющей состояние тела. Если силы действуют вдоль прямых пересекающихся в одной точке, то их действие можно заменить равнодействующей силой равной векторной сумме сил.

  • Инерция — явление сохранения телом скорости движения при отсутствии действия на него со стороны других тел (либо взаимной компенсации их действий).

  • Инертность — свойство тела, характеризуемое массой, сохранять состояние своего движения (покоя).

  • I закон Ньютона (закон инерции) 1687 г. (Галилей, 1636 г.)
    Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если действие на не. со стороны других тел взаимно компенсируется.

  • Инерциальными системами отсчета называются системы отсчета, в которых выполняется I закон Ньютона. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью (прямолинейно и равномерно) также является инерциальной.

  • Принцип относительности Галилея : все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

  • II закон Ньютона

    Ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием силы, направлено также как сила, по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела.

    081714 2047 25 МЕХАНИКА

    — экспериментальный закон

    отсюда 081714 2047 26 МЕХАНИКА

    081714 2047 27 МЕХАНИКА


  • III закон Ньютона

    Два взаимодействующих тела действующих друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению

    081714 2047 28 МЕХАНИКА


  • Принцип независимости действия сил: каждая действующая сила сообщает телу ускорение, величина которого не зависит ни от состояния движения тела, ни от действия на тело других сил.

     

     

    Закон Всемирного тяготения

    Изучая движение планет и падение тел в земных условиях на основании опытных данных Кеплера и Галилея, Ньютон установил закон всемирного тяготения:

  • Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

    081714 2047 29 МЕХАНИКА

    где 081714 2047 30 МЕХАНИКАгравитационная постоянная, впервые измеренная Кавендишем в 1798 г. на крутильных весах.
    Тяготение (гравитационное взаимодействие) между телами осуществляется через гравитационное поле, порождаемое телами.

    Если на тело действует только гравитационное поле, оно совершает свободное падение: движение тела в вакууме под действием силы тяжести.
    Земля и тело притягивают друг друга, двигаясь навстречу. При этом перемещение Земли бесконечно малое, т.к. е. масса много больше массы тела.

    • Сила притяжения между некоторым телом и Землей равна:

      081714 2047 31 МЕХАНИКА— сила тяготения

      где M — масса Земли, m — масса тела, R — радиус Земли, h — высота тела над поверхностью Земли.

    По II закону Ньютона под действием силы тело движется с ускорением, т.е. F = mg Приравниваем выражения для силы тяжести и силы притяжения

    081714 2047 32 МЕХАНИКА

    081714 2047 33 МЕХАНИКАполучаем выражение для ускорения свободного падения

    081714 2047 34 МЕХАНИКА

    Вблизи поверхности Земли 081714 2047 35 МЕХАНИКА
    g = 9,83 081714 2047 36 МЕХАНИКАна полюсе, g = 9,80 081714 2047 37 МЕХАНИКАна широте 450, g = 9,78 081714 2047 38 МЕХАНИКАна экваторе, т.к.

  1. радиус Земли изменяется
  2. изменяется центробежная сила.

    Весом тела называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору либо вертикальную подвеску в вакууме вследствие притяжения к Земле.

    Во всех инерциальных системах отсчета вес тела одинаков и равен силе тяжести.

    Земля вращается, т.е. не является инерциальной системой отсчета. На тело массой m, лежащее на поверхности Земли, действует сила тяготения 081714 2047 39 МЕХАНИКА, направленная к центру Земли, и сила центробежная 081714 2047 40 МЕХАНИКА, направленная по линии r — радиуса сегмента.

    Составляющая 081714 2047 41 МЕХАНИКАуравновешивается силой трения о земную поверхность, а составляющая 081714 2047 42 МЕХАНИКАпротиводействует силе тяготения 081714 2047 43 МЕХАНИКА.
    Вес тела равен разности 081714 2047 44 МЕХАНИКАи 081714 2047 45 МЕХАНИКА

    081714 2047 46 МЕХАНИКА

    где φ — географическая широта места.

    Но 081714 2047 47 МЕХАНИКА, где 081714 2047 48 МЕХАНИКА— угловая скорость суточного вращения Земли.

    Учтем, что r = R cos φ , тогда вес тела выражается формулой:

    081714 2047 49 МЕХАНИКА

    и зависит от широты места.

    Ускорение силы тяжести 081714 2047 50 МЕХАНИКА
    на полюсе φ = 900 максимально: 081714 2047 51 МЕХАНИКА, на экваторе φ = 00 минимально

    081714 2047 52 МЕХАНИКА

    Работа сил гравитационного поля.

    081714 2047 53 МЕХАНИКА

    где 081714 2047 54 МЕХАНИКА-потенциал гравитационного поля для i-й материальной точки.

     

    Закон сохранения импульса

    Рассмотрим случай, когда на тело массы m действует постоянная сила 081714 2047 55 МЕХАНИКАв течение промежутка времени Δt . Из II закона Ньютона

    081714 2047 56 МЕХАНИКА


    Величина 081714 2047 57 МЕХАНИКА— произведение силы на время е. действия называется импульсом силы.

    Произведение массы тела на его скорость 081714 2047 58 МЕХАНИКАназывается импульсом тела.

    Изменение импульса тела в единицу времени равно действующей на тело силе

    081714 2047 59 МЕХАНИКА


    Импульс постоянной силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела

    081714 2047 60 МЕХАНИКА


    При стремлении промежутка времени действия силы к нулю в пределе из II закона Ньютона получим 081714 2047 61 МЕХАНИКА— уравнение движения тела.

    Из II и III законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса. Для двух тел, взаимодействующих друг с другом, и не взаимодействующих с другими телами т.е. изолированной механической системы.
    По III закону: 081714 2047 62 МЕХАНИКА
    По II закону: 081714 2047 63 МЕХАНИКА

    Закон сохранения импульса тела:

  1. Если V — объем сосуда с газом, то молекулы газа занимают объем b, т. е. свободным остается объем V − b, в котором и движутся молекулы реального газа. Для одного моля уравнение состояния имеет вид

    p(V − b) = RT

    т. е. p = RT ⁄ (V − b): p → ∞ 081714 2047 107 МЕХАНИКАV → b.

    Молекулы при сближении подходят другу к другу на расстояние r + r = R = d диаметр молекулы. Молекулы не могут сблизиться в пределах сферы с радиусом R = d, т. е. недоступный объем 43 πd3 . Тогда свободный объем сосуда равен 081714 2047 108 МЕХАНИКА, где NА — число молекул, число Авогадро, а NА ⁄ 2 — т. к. при столкновении двух молекул для них недоступна только обращенная к ним полусфера. Пренебрегая
    d << 081714 2047 109 МЕХАНИКАполучим

    V′ = V — 081714 2047 110 МЕХАНИКАπr3NA = V — 4VmNA ,

    где Vm = 081714 2047 111 МЕХАНИКАπr3 — объем молекулы, b = 4VmN0.
    Поправка b обусловлена силами отталкивания.

  2. Силы притяжения между молекулами уменьшают давление на стенки сосуда на величину Δp, т. е.

    p = 081714 2047 112 МЕХАНИКА= Δp отсюда (p + Δp)(V — b) = RT.

    Силы притяжения пропорциональны концентрации n молекул на единицу площади пристенного слоя и соседнего с ним слоя, т. е. Δp081714 2047 113 МЕХАНИКА n2 . Но концентрация n обратно пропорциональна объему V, занимаемому молем газа (n 081714 2047 114 МЕХАНИКАV):

    Δp = 081714 2047 115 МЕХАНИКА

    где α — коэффициент пропорциональности. Учтем, что М/v молей занимают объем V′ = 081714 2047 116 МЕХАНИКАV.

     

    Основные положение молекулярной кинетической теории

    Тела, которые нас окружают (твердые, жидкие, газообразные) воспринимаются нашими органами чувств как сплошные. Однако, с давних пор известны явления, противоречащие представлениям о сплошной структуре тел: перемешивание жидкостей, распространение запахов, расширение и сжатие тел при нагревании и охлаждении и т. п. Объяснить эти физические явления возможно лишь, если предположить, что тела не сплошные, а состоят из мельчайших невидимых невооруженным глазом частичек., расположенных не вплотную друг к другу, а на некотором расстоянии. Называют эти мельчайшие частицы вещества молекулами (уменьшительное от латинского слова «масса»).

    Представление о том, что все тела состоят и мельчайших частиц возникло еще в Древнем мире: на Востоке — в Индии, в Европе — в Греции (Левкип, Эпикур). Демокрит (V в. до н. э.) назвал мельчайшие частицы, из которых состоят все тела в мире, атомами (неделимыми). Согласно Демокриту атомы имеют разные размеры, вес, форму и т. п. В дальнейшем атомистические представления оставались в философии, а в физике были возрождены Бойлем лишь в XVII в. развились далее в XVIII- XIX вв. Ломоносовым, Дальтоном, Больцманом, Максвеллом и др. и получили название молекулярно — кинетической теории. Ее основные положения:

  3. 081714 2047 117 МЕХАНИКАВсе вещества состоят из мельчайших частиц — молекул. Молекула — наименьшая частица вещества, сохраняющая все его химические свойства. Все молекулы, образующие данное вещество, совершенно одинаковы. Молекулы состоят из атомов. Атом — мельчайшая частица химического элемента (105 шт.- 94 природных и 11 искусственных).
  4. Между молекулами тела одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания: для сил притяжения 081714 2047 118 МЕХАНИКА, сил отталкивания 081714 2047 119 МЕХАНИКА.
    081714 2047 120 МЕХАНИКА
    Равновесие сил f+081714 2047 121 МЕХАНИКАf- наступает при минимуме потенциальной энергии.
  5. Молекулы, образующие тела находятся в состоянии непрерывного беспорядочного движения (осцилляции).

     

    Скорость молекулярных газов

    Скорость движения молекул тем выше, чем выше температура тела. Температура — мера средней кинетической энергии молекул тела. Скорость движения молекул тела, определяющих кинетическую энергию, определяет тепловое состояние тела, величину его внутренней энергии. Хаотическое движение молекул называют тепловым.

    Соотношение между средними значениями кинетической 081714 2047 122 МЕХАНИКАи потенциальной 081714 2047 123 МЕХАНИКАмолекул вещества определяют одно из трех его агрегатных состояний:

  6. 081714 2047 124 МЕХАНИКА— газ;
  7. 081714 2047 125 МЕХАНИКА— жидкость;
  8. 081714 2047 126 МЕХАНИКА— твердое тело.

    Расщепление молекулы на атомы называется диссоциацией. Диссоциация происходит под действием 1) высокой температуры, 2) химических реакций, 3) облучения.

    Силы межмолекулярного взаимодействия имеют электрическую природу: молекулы состоят из электрически заряженных элементарных частиц — положительных протонов
    p (в атомных ядрах) и отрицательных электронов 081714 2047 127 МЕХАНИКА(в электронных оболочках), одноименно заряженные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. В целом молекулы электрически нейтральны, но центры положительных и отрицательных зарядов в молекулах могут быть смещены — это поляризация молекул (диполь, квадруполь, октуполь…).

    Связь между нуклонами (ядерными частицами — протонами и нейтронами) осуществляется пионами (081714 2047 128 МЕХАНИКА-мезонами), между нуклонами и лептонами (электронами, мю- и тау-лептонами и их нейтрино 081714 2047 129 МЕХАНИКА) — фотонами. Протоны, нейтроны, мезоны и другие элементарные частицы состоят из кварков (их заряды -1/3,2/3) и антикварков, связывает их глюонное поле.

    Различие числа нейтронов в ядре атомов приводит к различию химических свойств одного и того же элемента -это изотопы. Потеря или присоединение атомами электронов нарушает их нейтральность — возникают положительные или отрицательные ионы.

    Атом может поглощать и излучать энергию только порциями — квантами. Энергетические уровни атома дискретные — квантованные.

     

    Основное уравнение молекулярной кинетической теории

    Молекулы газа действуют на стенку сосуда. Стенки также 081714 2047 130 МЕХАНИКАдействуют на газ с такой же силой, но направленной противоположно.

    Нормальная компонента силы, отнесенная к единице площади поверхности, называется давлением.

    081714 2047 131 МЕХАНИКА(2.1)

    081714 2047 132 МЕХАНИКА

    Даниил Бернули (XVIII в.) предположил, что давление есть следствие бесчисленных столкновений молекул газа со стенками. Эти удары приводят к деформации стенки и возникновению упругой силы. Допустим, что газ находится в состоянии равновесия, т. е. покоится как целое, а число молекул, движущихся в произвольном направлении равно числу молекул, движущихся в обратную сторону.

    Найдем давление газа на одну из стенок сосуда.

    Выделим слой газа толщиной 081714 2047 133 МЕХАНИКА. Газ в этом слое действует на стенку с силой 081714 2047 134 МЕХАНИКА, а стенка действует на слой с силой (-081714 2047 135 МЕХАНИКА). Импульс силы по II з. Ньютона 081714 2047 136 МЕХАНИКАсо стороны стенки равен 081714 2047 137 МЕХАНИКАизменению импульса газа в слое. Но газ находится в состоянии равновесия, т. е. приращение импульса не получает, т. к. из- за движений молекул слой 081714 2047 138 МЕХАНИКАполучает импульс противоположного направления.

    За время 081714 2047 139 МЕХАНИКАв слой 081714 2047 140 МЕХАНИКАслева входит число молекул такое же, как и выходит справа. Если в единице объема газа содержится n0 молекул, то слева направо входит половина

    081714 2047 141 МЕХАНИКАмолекул, находящихся на расстоянии 081714 2047 142 МЕХАНИКАот границы a’b’c’d’ слоя 081714 2047 143 МЕХАНИКА. Каждая из этих молекул обладает импульсом mvx , т. е. суммарный импульс слева направо равен

    081714 2047 144 МЕХАНИКА

    За этот же промежуток времени слой покидает вторая половина молекул с импульсом обратного знака

    081714 2047 145 МЕХАНИКА

    Изменение импульса слоя равно 081714 2047 146 МЕХАНИКА

    081714 2047 147 МЕХАНИКА

    Это изменение импульса и компенсирует импульс упругой силы со стороны стенки сосуда

    081714 2047 148 МЕХАНИКА

    Разделив на обе части равенства, получим

    081714 2047 149 МЕХАНИКА

    Учтем, что проекции скоростей vx разных молекул различны и заменим 081714 2047 150 МЕХАНИКАсредним значением 081714 2047 151 МЕХАНИКА

    081714 2047 152 МЕХАНИКА

    Полная скорость молекулы 081714 2047 153 МЕХАНИКА. Из-за беспорядочности межмолекулярного движения

    081714 2047 154 МЕХАНИКА

    т. е. 081714 2047 155 МЕХАНИКА.

    Подставим в формулу для давления

    081714 2047 156 МЕХАНИКА

    и разделим и умножим на 2, получаем

    081714 2047 157 МЕХАНИКА
    — основное уравнение кинетической теории газов.


    Приведенные рассуждения верны для любой площади в газе.

     

    Давление газа равно двум третям средней кинетической энергии молекул, содержащихся в единице объема.

    Формула (2.2) дает связь между микроскопическими величинами (скоростью, энергией молекулы) и макроскопической величиной (давлением), измеряемой на опыте и имеющей статистический характер.
    Величина 081714 2047 158 МЕХАНИКАназывается средней квадратичной скоростью молекул. (но не 081714 2047 159 МЕХАНИКА)

    Внутренняя энергия газа, обусловленная кинетической энергией молекул, характеризуется макроскопической функцией- температурой, определяемой мерой нагретости тела.

    Температура характеризует состояние теплового равновесия тел: при тепловом равновесии температуры всех тел, входящих в данную систему, одинаковы. Теплота передается от более нагретого тела к менее нагретому телу. Температуру измеряют с помощью термометра — прибора, в котором отслеживается изменение каких-либо свойств термометрического вещества. Например, линейное изменение длины столбца ртути, спирта. Размер градуса температуры выбирают как некий интервал между реперными точками: температурой таяния льда и кипения воды при атмосферном давлении, затем делят на 100 (по Цельсию).

    Газовый термометр: для идеального газа зависимость давления от температуры принимается линейной: 081714 2047 160 МЕХАНИКА

    Из опытов с закрытым сосудом с манометром установили, что 081714 2047 161 МЕХАНИКАа размер шкалы
    081714 2047 162 МЕХАНИКАТкип — Т0=100.

    Отсюда 081714 2047 163 МЕХАНИКА= 1.366086… 081714 2047 164 МЕХАНИКА= 273.16 .
    Абсолютная температура любого тела по Кельвину равна: 081714 2047 165 МЕХАНИКА.
    При р=0, Т=0К — абсолютный ноль температуры.

    Рассмотрим изолированный цилиндр с газом, в котором имеется подвижный поршень.

    При нагревании левого конца цилиндра поршень переместится вправо, т. к. давление слева возрастает (р~Т), и остановится, когда давление слева и справа сравняются: 081714 2047 166 МЕХАНИКА(N- число молекул, 081714 2047 167 МЕХАНИКА— концентрация).

    При перемещении поршень совершает работу, следовательно, слева направо передается энергия. После совершения ряда колебаний при прекращении нагревания поршень вернется в исходное положение. Но давление (и температура) газа стали выше, чем до нагревания. Концентрация n0 молекул осталась прежней, значит увеличилась кинетическая энергия молекул газа: 081714 2047 168 МЕХАНИКА. Обозначим характеристику температуры: 081714 2047 169 МЕХАНИКА[Дж], т. к. N=const и V=const.

    Для перевода 081714 2047 170 МЕХАНИКАв градусы введена постоянная Больцмана.

    081714 2047 171 МЕХАНИКА

    где 081714 2047 172 МЕХАНИКА

    Связь между средней кинетической энергией молекулы и температурой имеет вид

    081714 2047 173 МЕХАНИКА081714 2047 174 МЕХАНИКА

    т. е. при поступательном движении молекулы как материальной точки на каждую степень свободы приходится 081714 2047 175 МЕХАНИКА.
    При абсолютном нуле температуры Т=0 средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы 081714 2047 176 МЕХАНИКА.

    В СИ Кельвин- основная единица: 1 Кельвин равен 1/273.16 части температурного интервала от абсолютного нуля температуры до температуры тройной точки воды, при которой вода, водяной пар и лед находятся в равновесии.

    Различный наклон кривых из-за разной скрытой теплоты плавления и сублимации.
    Основное уравнение кинетической теории газов:

    081714 2047 177 МЕХАНИКА

     

     

     


     

<

Комментирование закрыто.

WordPress: 21.25MB | MySQL:123 | 1,923sec