МЕХАНИКА

Закон Ньютона

Предмет динамики: всевозможные взаимодействия тел, приводящие к ускоренным движениям.

Изменение движения тела (ускорение) вызывается действием на него других тел. При изучении изменений движения тела удобно изображать действие на него других тел векторами — силами.

• Сила — это мера действия одного тела на другое, вызывающего ускорение последнего (векторная величина).
  

  Систему сил можно заменить эквивалентной ей, не изменяющей состояние тела. Если силы действуют вдоль прямых пересекающихся в одной точке, то их действие можно заменить равнодействующей силой равной векторной сумме сил.
  

• Инерция — явление сохранения телом скорости движения при отсутствии действия на него со стороны других тел (либо взаимной компенсации их действий).
  

• Инертность — свойство тела, характеризуемое массой, сохранять состояние своего движения (покоя).
  

• I закон Ньютона (закон инерции) 1687 г. (Галилей, 1636 г.)
  Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если действие на не. со стороны других тел взаимно компенсируется.
  

• Инерциальными системами отсчета называются системы отсчета, в которых выполняется I закон Ньютона. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью (прямолинейно и равномерно) также является инерциальной.
  

• Принцип относительности Галилея : все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
  

• II закон Ньютона
  

  Ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием силы, направлено также как сила, по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела.
  

  
  

  — экспериментальный закон
  

  отсюда
  

  
  

  
  

• III закон Ньютона
  

  Два взаимодействующих тела действующих друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению
  

  
  

  
  

• Принцип независимости действия сил: каждая действующая сила сообщает телу ускорение, величина которого не зависит ни от состояния движения тела, ни от действия на тело других сил.
  

   

   

  Закон Всемирного тяготения
  

  Изучая движение планет и падение тел в земных условиях на основании опытных данных Кеплера и Галилея, Ньютон установил закон всемирного тяготения:
  

• Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними
  

  
  

  где — гравитационная постоянная, впервые измеренная Кавендишем в 1798 г. на крутильных весах.
  Тяготение (гравитационное взаимодействие) между телами осуществляется через гравитационное поле, порождаемое телами.
  

  Если на тело действует только гравитационное поле, оно совершает свободное падение: движение тела в вакууме под действием силы тяжести.
  Земля и тело притягивают друг друга, двигаясь навстречу. При этом перемещение Земли бесконечно малое, т.к. е. масса много больше массы тела.
  

  • Сила притяжения между некоторым телом и Землей равна:
    

    — сила тяготения
    

    где M — масса Земли, m — масса тела, R — радиус Земли, h — высота тела над поверхностью Земли.
    

  По II закону Ньютона под действием силы тело движется с ускорением, т.е. F = mg Приравниваем выражения для силы тяжести и силы притяжения
  

  
  

  получаем выражение для ускорения свободного падения
  

  
  

  Вблизи поверхности Земли
  g = 9,83 на полюсе, g = 9,80 на широте 45⁰, g = 9,78 на экваторе, т.к.
  

1. радиус Земли изменяется
   
2. изменяется центробежная сила.
   

   Весом тела называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору либо вертикальную подвеску в вакууме вследствие притяжения к Земле.
   

   Во всех инерциальных системах отсчета вес тела одинаков и равен силе тяжести.
   

   Земля вращается, т.е. не является инерциальной системой отсчета. На тело массой m, лежащее на поверхности Земли, действует сила тяготения , направленная к центру Земли, и сила центробежная , направленная по линии r — радиуса сегмента.
   

   Составляющая уравновешивается силой трения о земную поверхность, а составляющая противодействует силе тяготения .
   Вес тела равен разности и
   

   
   

   где φ — географическая широта места.
   

   Но , где — угловая скорость суточного вращения Земли.
   

   Учтем, что r = R cos φ , тогда вес тела выражается формулой:
   

   
   

   и зависит от широты места.
   

   Ускорение силы тяжести
   на полюсе φ = 90⁰ максимально: , на экваторе φ = 0⁰ минимально
   

   
   

   Работа сил гравитационного поля.
   

   
   

   где -потенциал гравитационного поля для i-й материальной точки.
   

    

   Закон сохранения импульса
   

   Рассмотрим случай, когда на тело массы m действует постоянная сила в течение промежутка времени Δt . Из II закона Ньютона
   

   
   

   
   

   Величина — произведение силы на время е. действия называется импульсом силы.
   

   Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела.
   

   Изменение импульса тела в единицу времени равно действующей на тело силе
   

   
   

   
   

   Импульс постоянной силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела
   

   
   

   
   

   При стремлении промежутка времени действия силы к нулю в пределе из II закона Ньютона получим — уравнение движения тела.
   

   Из II и III законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса. Для двух тел, взаимодействующих друг с другом, и не взаимодействующих с другими телами т.е. изолированной механической системы.
   По III закону:
   По II закону:
   

   Закон сохранения импульса тела:
   

1. Если V — объем сосуда с газом, то молекулы газа занимают объем b, т. е. свободным остается объем V − b, в котором и движутся молекулы реального газа. Для одного моля уравнение состояния имеет вид
   

   p(V − b) = RT
   

   т. е. p = RT ⁄ (V − b): p → ∞ V → b.
   

   Молекулы при сближении подходят другу к другу на расстояние r + r = R = d диаметр молекулы. Молекулы не могут сблизиться в пределах сферы с радиусом R = d, т. е. недоступный объем ⁴⁄₃ πd³ . Тогда свободный объем сосуда равен , где N_А — число молекул, число Авогадро, а N_А ⁄ 2 — т. к. при столкновении двух молекул для них недоступна только обращенная к ним полусфера. Пренебрегая
   d << получим
   

   V′ = V — πr³N_A = V — 4V_mN_A ,
   

   где V_m = πr³ — объем молекулы, b = 4V_mN₀.
   Поправка b обусловлена силами отталкивания.
   

2. Силы притяжения между молекулами уменьшают давление на стенки сосуда на величину Δp, т. е.
   

   p = = Δp отсюда (p + Δp)(V — b) = RT.
   

   Силы притяжения пропорциональны концентрации n молекул на единицу площади пристенного слоя и соседнего с ним слоя, т. е. Δp n² . Но концентрация n обратно пропорциональна объему V, занимаемому молем газа (n V):
   

   Δp =
   

   где α — коэффициент пропорциональности. Учтем, что М/v молей занимают объем V′ = V.
   

    

   Основные положение молекулярной кинетической теории
   

   Тела, которые нас окружают (твердые, жидкие, газообразные) воспринимаются нашими органами чувств как сплошные. Однако, с давних пор известны явления, противоречащие представлениям о сплошной структуре тел: перемешивание жидкостей, распространение запахов, расширение и сжатие тел при нагревании и охлаждении и т. п. Объяснить эти физические явления возможно лишь, если предположить, что тела не сплошные, а состоят из мельчайших невидимых невооруженным глазом частичек., расположенных не вплотную друг к другу, а на некотором расстоянии. Называют эти мельчайшие частицы вещества молекулами (уменьшительное от латинского слова «масса»).
   

   Представление о том, что все тела состоят и мельчайших частиц возникло еще в Древнем мире: на Востоке — в Индии, в Европе — в Греции (Левкип, Эпикур). Демокрит (V в. до н. э.) назвал мельчайшие частицы, из которых состоят все тела в мире, атомами (неделимыми). Согласно Демокриту атомы имеют разные размеры, вес, форму и т. п. В дальнейшем атомистические представления оставались в философии, а в физике были возрождены Бойлем лишь в XVII в. развились далее в XVIII- XIX вв. Ломоносовым, Дальтоном, Больцманом, Максвеллом и др. и получили название молекулярно — кинетической теории. Ее основные положения:
   

3. Все вещества состоят из мельчайших частиц — молекул. Молекула — наименьшая частица вещества, сохраняющая все его химические свойства. Все молекулы, образующие данное вещество, совершенно одинаковы. Молекулы состоят из атомов. Атом — мельчайшая частица химического элемента (105 шт.- 94 природных и 11 искусственных).
   
4. Между молекулами тела одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания: для сил притяжения , сил отталкивания .
   
   Равновесие сил f+f- наступает при минимуме потенциальной энергии.
   
5. Молекулы, образующие тела находятся в состоянии непрерывного беспорядочного движения (осцилляции).
   

    

   Скорость молекулярных газов
   

   Скорость движения молекул тем выше, чем выше температура тела. Температура — мера средней кинетической энергии молекул тела. Скорость движения молекул тела, определяющих кинетическую энергию, определяет тепловое состояние тела, величину его внутренней энергии. Хаотическое движение молекул называют тепловым.
   

   Соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной молекул вещества определяют одно из трех его агрегатных состояний:
   

6. — газ;
   
7. — жидкость;
   
8. — твердое тело.
   

   Расщепление молекулы на атомы называется диссоциацией. Диссоциация происходит под действием 1) высокой температуры, 2) химических реакций, 3) облучения.
   

   Силы межмолекулярного взаимодействия имеют электрическую природу: молекулы состоят из электрически заряженных элементарных частиц — положительных протонов
   p (в атомных ядрах) и отрицательных электронов (в электронных оболочках), одноименно заряженные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. В целом молекулы электрически нейтральны, но центры положительных и отрицательных зарядов в молекулах могут быть смещены — это поляризация молекул (диполь, квадруполь, октуполь…).
   

   Связь между нуклонами (ядерными частицами — протонами и нейтронами) осуществляется пионами (-мезонами), между нуклонами и лептонами (электронами, мю- и тау-лептонами и их нейтрино ) — фотонами. Протоны, нейтроны, мезоны и другие элементарные частицы состоят из кварков (их заряды -1/3,2/3) и антикварков, связывает их глюонное поле.
   

   Различие числа нейтронов в ядре атомов приводит к различию химических свойств одного и того же элемента -это изотопы. Потеря или присоединение атомами электронов нарушает их нейтральность — возникают положительные или отрицательные ионы.
   

   Атом может поглощать и излучать энергию только порциями — квантами. Энергетические уровни атома дискретные — квантованные.
   

    

   Основное уравнение молекулярной кинетической теории
   

   Молекулы газа действуют на стенку сосуда. Стенки также действуют на газ с такой же силой, но направленной противоположно.
   

   Нормальная компонента силы, отнесенная к единице площади поверхности, называется давлением.
   

   (2.1)
   

   
   

   Даниил Бернули (XVIII в.) предположил, что давление есть следствие бесчисленных столкновений молекул газа со стенками. Эти удары приводят к деформации стенки и возникновению упругой силы. Допустим, что газ находится в состоянии равновесия, т. е. покоится как целое, а число молекул, движущихся в произвольном направлении равно числу молекул, движущихся в обратную сторону.
   

   Найдем давление газа на одну из стенок сосуда.
   

   Выделим слой газа толщиной . Газ в этом слое действует на стенку с силой , а стенка действует на слой с силой (-). Импульс силы по II з. Ньютона со стороны стенки равен изменению импульса газа в слое. Но газ находится в состоянии равновесия, т. е. приращение импульса не получает, т. к. из- за движений молекул слой получает импульс противоположного направления.
   

   За время в слой слева входит число молекул такое же, как и выходит справа. Если в единице объема газа содержится n₀ молекул, то слева направо входит половина
   

   молекул, находящихся на расстоянии от границы a’b’c’d’ слоя . Каждая из этих молекул обладает импульсом mv_x , т. е. суммарный импульс слева направо равен
   

   
   

   За этот же промежуток времени слой покидает вторая половина молекул с импульсом обратного знака
   

   
   

   Изменение импульса слоя равно
   

   
   

   Это изменение импульса и компенсирует импульс упругой силы со стороны стенки сосуда
   

   
   

   Разделив на обе части равенства, получим
   

   
   

   Учтем, что проекции скоростей v_x разных молекул различны и заменим средним значением
   

   
   

   Полная скорость молекулы . Из-за беспорядочности межмолекулярного движения
   

   
   

   т. е. .
   

   Подставим в формулу для давления
   

   
   

   и разделим и умножим на 2, получаем
   

   
   — основное уравнение кинетической теории газов.
   

   
   Приведенные рассуждения верны для любой площади в газе.
   

    

   Давление газа равно двум третям средней кинетической энергии молекул, содержащихся в единице объема.
   

   Формула (2.2) дает связь между микроскопическими величинами (скоростью, энергией молекулы) и макроскопической величиной (давлением), измеряемой на опыте и имеющей статистический характер.
   Величина называется средней квадратичной скоростью молекул. (но не )
   

   Внутренняя энергия газа, обусловленная кинетической энергией молекул, характеризуется макроскопической функцией- температурой, определяемой мерой нагретости тела.
   

   Температура характеризует состояние теплового равновесия тел: при тепловом равновесии температуры всех тел, входящих в данную систему, одинаковы. Теплота передается от более нагретого тела к менее нагретому телу. Температуру измеряют с помощью термометра — прибора, в котором отслеживается изменение каких-либо свойств термометрического вещества. Например, линейное изменение длины столбца ртути, спирта. Размер градуса температуры выбирают как некий интервал между реперными точками: температурой таяния льда и кипения воды при атмосферном давлении, затем делят на 100 (по Цельсию).
   

   Газовый термометр: для идеального газа зависимость давления от температуры принимается линейной:
   

   Из опытов с закрытым сосудом с манометром установили, что а размер шкалы
   Т_кип — Т₀=100.
   

   Отсюда = 1.366086… = 273.16 .
   Абсолютная температура любого тела по Кельвину равна: .
   При р=0, Т=0К — абсолютный ноль температуры.
   

   Рассмотрим изолированный цилиндр с газом, в котором имеется подвижный поршень.
   

   При нагревании левого конца цилиндра поршень переместится вправо, т. к. давление слева возрастает (р~Т), и остановится, когда давление слева и справа сравняются: (N- число молекул, — концентрация).
   

   При перемещении поршень совершает работу, следовательно, слева направо передается энергия. После совершения ряда колебаний при прекращении нагревания поршень вернется в исходное положение. Но давление (и температура) газа стали выше, чем до нагревания. Концентрация n0 молекул осталась прежней, значит увеличилась кинетическая энергия молекул газа: . Обозначим характеристику температуры: [Дж], т. к. N=const и V=const.
   

   Для перевода в градусы введена постоянная Больцмана.
   

   
   

   где
   

   Связь между средней кинетической энергией молекулы и температурой имеет вид
   

   
   

   т. е. при поступательном движении молекулы как материальной точки на каждую степень свободы приходится .
   При абсолютном нуле температуры Т=0 средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .
   

   В СИ Кельвин- основная единица: 1 Кельвин равен 1/273.16 части температурного интервала от абсолютного нуля температуры до температуры тройной точки воды, при которой вода, водяной пар и лед находятся в равновесии.
   

   Различный наклон кривых из-за разной скрытой теплоты плавления и сублимации.
   Основное уравнение кинетической теории газов: